質点幾何学

質点幾何学（ほうきょうてきけい）は、幾何学における問題解決の技法の一つで、物理的原理である質量の中心を三角形や交差する三角形を含む幾何学の問題に応用する。^{[1]質点幾何学を用いて解ける問題はすべて、}相似三角形、ベクトル、面積比 を用いても解けるが^[2]、多くの学生は質点を用いることを好んでいる。現代の質点幾何学は1960年代にニューヨークの高校生によって開発されたが^{[3] 、その概念は1827年には}アウグスト・フェルディナント・メビウスが同次座標の理論においてすでに使用していたことが分かっている。^[4]

定義

質点加算の例

質点理論は以下のように定義される。^[5]

• 質点- 質点とは、平面上にある質量、および通常の点を含む（ とも表記）のペアです。${\displaystyle (m,P)}$ ${\displaystyle mP}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$
• 一致– 2 つの点がおよびの場合に限り一致すると言います。${\displaystyle mP}$ ${\displaystyle nQ}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle P=Q}$
• 加法- 2つの質点と の和は質量と点を持ち、はとなる点上の点です。言い換えれば、は とを完全につり合わせる支点です。質点の加法の例を右に示します。質点の加法は閉じており、可換性があり、結合的です。${\displaystyle mP}$ ${\displaystyle nQ}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle PR:RQ=n:m}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$
• スカラー乗算- 質点と正の実数スカラーが与えられたとき、乗算は と定義されます。質点のスカラー乗算は、質点の加算に対して分配法則に従います。${\displaystyle mP}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k(m,P)=(km,P)}$

方法

同時発生のセビアン

まず、ある点に質量（通常は整数ですが、問題によって異なります）を割り当てます。これは、他の質量も整数であるのと同じです。計算の原理は、セビアン（球面体）の足は、（上記で定義したように）2つの頂点（足がある辺の端点）の和です。各セビアンにおいて、一致点は頂点と足の和です。各点の長さの比は、各点の質量から計算できます。例については、問題1を参照してください。

質量の分割

質量の分割は、問題にセビアンに加えて横断線が含まれる場合に必要となる、やや複雑な方法です。横断線が交差する両側にある頂点は、質量が分割されます。質量が分割された点は、通常の質点として扱うことができますが、3つの質量を持ちます。1つは点が位置する2つの辺それぞれに使用され、もう1つは他の2つの質量の合計で、点が持つセビアンに使用されます。例については、問題2を参照してください。

その他の方法

• ラウスの定理- 三角形とセビアンを含む多くの問題では面積が問われますが、質点の面積計算法は存在しません。しかし、質点と密接に関連するラウスの定理は、長さの比を用いて、三角形と3つのセビアンで形成される三角形の面積比を計算します。
• 特殊なセビアン-角の二等分線や高度のような特殊な性質を持つセビアンが与えられた場合、質点幾何学と併せて、長さの比を決定する他の定理が用いられることがあります。同様に用いられる非常に一般的な定理の一つに、角の二等分線定理があります。
• スチュワートの定理- 長さの比率ではなく実際の長さ自体が求められた場合、スチュワートの定理を使用してセグメント全体の長さを決定し、次に質点を使用して比率を決定し、セグメントの部分の必要な長さを決定することができます。
• 高次元- 質点幾何学に関わる方法は 2 次元に限定されません。同じ方法は四面体やさらに高次元の形状に関わる問題にも使用できますが、4 次元以上の問題で質点の使用が必要になることは稀です。

例

問題1の解決図

問題2の解決策の図

問題3の図

問題3、システム1の図

問題3、システム2の図

問題1

問題：三角形 において、は 上にあり、は上にあり、 となります。と が で交差し、直線が で交差する場合、と を計算します。 ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle CE=3AE}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle BF=3AF}$ ${\displaystyle BE}$ ${\displaystyle CF}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle AO}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}}$

解答：点 の質量を と任意に割り当てることができます。長さの比により、 と における質量は両方とも でなければなりません。質量を合計すると、とにおける質量は両方とも です。さらに、における質量はであるため、 における質量はでなければなりません。 したがって、および です。右の図を参照してください。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle 4+1=5}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 5-3=2}$ ${\displaystyle {\tfrac {OB}{OE}}}$ ${\displaystyle =4}$ ${\displaystyle {\tfrac {OD}{OA}}={\tfrac {3}{2}}}$

問題2

問題：三角形 において、、、、はそれぞれ、、、上にあるので、、、、が成り立ちます。と が で交差する場合、と を計算します。 ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AE=AF=CD=2}$ ${\displaystyle BD=CE=3}$ ${\displaystyle BF=5}$ ${\displaystyle DE}$ ${\displaystyle CF}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}}$

解答：この問題は横断線を含むため、点 における分割された質量を用いる必要がある。点 の質量を と任意に割り当てることができる。長さの比により、 における質量はでなければならず、における質量はと に分割される。質量を合計すると、、 、における質量はそれぞれ、、 となる。したがって、 と となる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle {\tfrac {OD}{OE}}={\tfrac {25}{15}}={\tfrac {5}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {OC}{OF}}={\tfrac {21}{10+9}}={\tfrac {21}{19}}}$

問題3

問題：三角形 において、点および はそれぞれ辺および上にあり、点 およびは、との間の辺 上にあります。 は点 で交差し、は点 で交差します。、、および の場合、 を計算します。 ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BE}$ ${\displaystyle CF}$ ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle BE}$ ${\displaystyle DG}$ ${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle FG=1}$ ${\displaystyle AE=AF=DB=DC=2}$ ${\displaystyle BG=CE=3}$ ${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}}$

解答:この問題には2つの中心交点（と）が含まれるため、複数のシステムを使用する必要があります。 ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle O_{2}}$

• システム1。最初のシステムでは、中心点として線分と点、、を無視します。 における質量を と任意に割り当て、長さの比により、 および における質量はそれぞれ および となります。質量を合計すると、、 、における質量はそれぞれ10、9、13となります。したがって、およびとなります。${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle DG}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BO_{1}}}={\tfrac {3}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {EO_{1}}{BE}}={\tfrac {3}{13}}}$
• システム2。2つ目のシステムでは、中心点を とするため、線分と点およびは無視できます。このシステムには横断線が含まれるため、点 上の分割質量を使用する必要があります。における質量を と任意に割り当てることができ、長さの比により、における質量は に、における質量はに、 2 は に分割されます。質量を合計すると、、 、における質量はそれぞれ 4、6、10 になります。したがって、および です。${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle CF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{EO_{2}}}={\tfrac {5}{3+2}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {BO_{2}}{BE}}={\tfrac {1}{2}}}$
• 元のシステム。これで、求められている比率を組み立てるために必要なすべての比率がわかりました。最終的な答えは次のようになります。$${\displaystyle {\tfrac {O_{1}O_{2}}{BE}}={\tfrac {BE-BO_{2}-EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {BO_{2}}{BE}}-{\tfrac {EO_{1}}{BE}}=1-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {3}{13}}={\tfrac {7}{26}}.}$$

参照

• セビアン
• チェバの定理
• メネラウスの定理
• スチュワートの定理
• 角の二等分線定理
• ラウスの定理
• 重心座標
• レバー

注記

1. Rhoad, R., Milauskas, G., Whipple, R. 『Geometry for Enjoyment and Challenge』マクドゥーガル・リテル・アンド・カンパニー、1991年。
2. “アーカイブコピー”. 2010年7月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2009年6月13日閲覧。
3. Rhoad, R., Milauskas, G., Whipple, R. 『Geometry for Enjoyment and Challenge』マクドゥーガル・リテル社、1991年
4. D. Pedoe「幾何学思想の歴史に関するノートI：同次座標」Math Magazine（1975年）、215-217ページ。
5. HSM Coxeter,幾何学入門, pp. 216-221, John Wiley & Sons, Inc. 1969

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの質量点幾何学に関連するメディア