量子力学の数学的基礎
ジョン・フォン・ノイマン著、1932年

量子力学の数学的基礎
著者ジョン・フォン・ノイマン
原題Quantenmechanik の数学
言語ドイツ語
主題量子力学
出版1932
出版社シュプリンガー
出版場所ベルリン、ドイツ

量子力学の数学的基礎（ドイツ語： Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）は、 1932年にジョン・フォン・ノイマンによって書かれた量子力学の書籍である。これは、量子力学の数学的定式化の発展における初期の重要な著作である。 [1]この本は主に、フォン・ノイマンが以前の論文で発表した結果を要約している。 [2]

フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間と線型作用素の概念を用いて量子力学を定式化した。 [3]彼はポール・ディラックによる量子力学の数学的定式化の研究を認めていたが、ディラックのデルタ関数の使用には懐疑的だった。彼はディラックよりも数学的に厳密であろうと試みて、この本を執筆した。[4]これはフォン・ノイマンの最後のドイツ語著作であり、その後彼は英語での出版を開始した。[5]

出版履歴

この本は1932年にシュプリンガー社からドイツ語で初版が出版された。[2] 1946年にはアレクサンドル・プロカによってフランス語に翻訳され、 [6] 1949年にはスペイン語に翻訳された。[7]ロバート・T・ベイヤーによる英語訳は1955年にプリンストン大学出版局から出版された。ニコライ・ボゴリュボフ編集のロシア語訳は1964年にナウカ社から出版された。ニコラス・A・ウィーラー編集の新英語版は2018年にプリンストン大学出版局から出版された。[8]

目次

2018年版によると、主な章は次のとおりです。[8]

  1. 導入時の考慮事項
  2. 抽象ヒルベルト空間
  3. 量子統計
  4. 理論の演繹的展開
  5. 一般的な考慮事項
  6. 測定プロセス

測定プロセス

第6章では、フォン・ノイマンは量子測定理論を展開している。フォン・ノイマンは、2種類のプロセスを概説することで測定を論じている。[a] [9]

フォン・ノイマンは、二つの相容れないプロセスが存在することは、彼が心理物理的並列性の原理と呼ぶものに違反するのではないかと懸念し、あらゆる精神プロセスは物理的プロセスとして記述できる必要があることを示唆した。[9]フォン・ノイマンは、この問題は量子力学では観測対象と観測者の境界をサブシステムの系列に沿って恣意的に設定するため、現れないと主張している。[9]

この連鎖は、観測可能な量子系から始まる。系が測定装置と相互作用すると、両者はエンタングルメント状態になる。その結果、系は観測可能なものの明確な固有状態にはならず、測定装置は特定の値を表示しない。観測者がこの図に加わると、観測者の体（脳を含む）も測定装置および系とエンタングルメント状態にあることが示唆される。この連鎖はフォン・ノイマン連鎖として知られている。問題は、この連鎖からどのようにして固有状態の一つへの崩壊が生じるのかを理解することになる。[10]フォン・ノイマンは、最終的な結果に関して言えば、連鎖はいつでも中断することができ、波動関数の崩壊をどの時点でも導入することで結果を説明できることを実証した。[11] [9]

解釈

フォン・ノイマン測定法は、波動関数の崩壊を仮定する正統的なコペンハーゲン解釈の一部であるが、この考えから量子力学の代替解釈が生まれた。[12] ユージン・ウィグナーは、フォン・ノイマン連鎖は意識が波動関数の崩壊を引き起こすことを示唆していると考えた。しかし、量子デコヒーレンスの形式論が発展した後、ウィグナーはこの考えを否定した。[10] ヒュー・エヴェレット3世は、フォン・ノイマン過程に基づく多世界解釈を展開し、過程IIのみを保持した。 [11]

隠れた変数がない証明

重要な一節は、隠れた変数 の概念に対する数学的な反論である。フォン・ノイマンの主張は、エルミート演算子の任意の線形結合が観測可能量を表し、そのような結合演算子の期待値は演算子自体の期待値の結合に従うという仮定に基づいていた。[13]

フォン・ノイマンは次のような仮定を立てている。[14]

  1. 観測可能な の場合、その観測可能な の関数は によって表されます。 R {\displaystyle R} f {\displaystyle f} f （ R ） {\displaystyle f(R)}
  2. 観測可能な値との合計は、相互交換関係とは無関係に、演算 によって表されます。 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} R + S {\displaystyle R+S}
  3. 観測可能量とエルミート演算子の対応は 1 対 1 です。
  4. 観測可能値が非負の演算子である場合、その期待値は です。 R {\displaystyle R} ⟨ R ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle R\rangle \geq 0}
  5. 加法性公理: 任意の観測可能量および、実数およびに対して、すべての可能な集合に対してが成り立ちます。 R {\displaystyle R} S {\displaystyle S} 1つの {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ⟨ 1つの R + b S ⟩ ＝ 1つの ⟨ R ⟩ + b ⟨ S ⟩ {\displaystyle \langle aR+bS\rangle =a\langle R\rangle +b\langle S\rangle }

フォン・ノイマンは次のように書けることを証明した。

⟨ R ⟩ ＝ ∑ メートル 、 n ρ n メートル R メートル n ＝ T r （ ρ R ） {\displaystyle \langle R\rangle =\sum _{m,n}\rho _{nm}R_{mn}=\mathrm {Tr} (\rho R)}

ある に対して、と はある基底の行列要素である。証明は、が構成上エルミートかつ非負定値 ( ) でなければならないことを指摘して結論づけている。 [14]フォン・ノイマンにとって、これは状態の統計的演算子表現が公理から演繹できることを意味した。したがって、「分散のない」状態は存在しない。[b]すべての測定が予測可能な結果を​​持つようにシステムを準備することは不可能である。しかし、隠れた変数が存在する場合、隠れた変数の値を知ることですべての測定結果が予測可能になり、したがって隠れた変数は存在しないことになる。[14]フォン・ノイマンは、分散のない状態が見つかった場合、仮定1から3を修正する必要があると主張している。[15] ρ {\displaystyle \rho } R メートル n {\displaystyle R_{mn}} ρ n メートル {\displaystyle \rho _{nm}} ρ {\displaystyle \rho } ⟨ ρ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \rho \rangle \geq 0}

フォン・ノイマンは次のように結論づけている。[16]

量子力学の演算子によって表される物理量に加えて、まだ発見されていない物理量が存在するとすれば、量子力学が想定する関係は、既に既知の量、すなわち上で議論した量については既に成り立たないことになる。したがって、しばしば想定されるように、これは量子力学の再解釈の問題ではなく、統計的な記述とは異なる基本過程の記述を可能にするためには、現在の量子力学体系が客観的に誤りでなければならないことになる。

— 324-325ページ

拒絶

この証明は、証明に欠陥があることを発見したグレーテ・ヘルマンによって、早くも 1935 年に否定されました。 [15]上記の加法公理は量子状態に対して成り立ちますが、分散のない状態の測定、特に非可換な観測量を考慮する場合には、この公理は適用する必要はありません。 [ 14] [13]分散のない状態では、隠れたパラメータを平均化するときにのみ加法性を回復する必要があります。[14] [13]例えば、スピン 1/2システムの場合、の測定では分散のない状態の値をとることができますが、とを独立に測定した場合は、の値しかとれません(それらの和はまたは になります)。[17]そのため、隠れた変数理論によって量子力学が統計的に再現される可能性がまだ残っています。[13] [14] [15] （ σ × + σ y ） {\displaystyle (\sigma _{x}+\sigma _{y})} ± 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}} σ × {\displaystyle \sigma _{x}} σ y {\displaystyle \sigma _{y}} ± 1 {\displaystyle \pm 1} ± 2 {\displaystyle \pm 2} 0 {\displaystyle 0}

しかし、ヘルマンの批判は1974年にマックス・ジャマーによって再発見されるまで、あまり知られていないままだった。[15] 1952年、デイヴィッド・ボームは統計的議論の観点から量子力学のボーム解釈を構築し、フォン・ノイマンの証明の妥当性に限界があることを示唆した。[14] [13]この問題は1966年にジョン・スチュワート・ベルによって再び広く注目された。[13] [14]ベルは、その仮定の結果が、フォン・ノイマンの考察には明示的に考慮されていない、互換性のない測定の結果と矛盾することを示した。[14]

受付

この本は出版当時、量子力学に関する最も完成度の高い本と考えられていた。[2] [18]この本は公理的なアプローチが高く評価された。[2]ヤコブ・タマルキンによる書評では、フォン・ノイマンの本を、 19世紀におけるニールス・ヘンリク・アーベルやオーギュスタン＝ルイ・コーシーの研究が量子力学において数学的解析にもたらした成果と比較した。 [19] [20]

フリーマン・ダイソンは、この本から量子力学を学んだと述べています。[5]ダイソンは、1940年代にはフォン・ノイマンの研究は英語圏ではあまり引用されていなかったと述べています。この本が英語に翻訳されたのは1955年だったからですが、当時は数学と物理学の世界がかなりかけ離れていたことも原因の一つでした。[5]

マックス・ジャマーは、ポール・ディラックが『量子力学の原理』 （1930年）を執筆した主な動機は、数学を道具として扱い、物理学の解説書を作成することだったと指摘した。この点において、数学的厳密さを徹底的に重視したジョン・フォン・ノイマンの『量子力学の数学的基礎』は、ディラックの著書の補足として位置づけられた。[21] : 367 

本書に採用された作品

  • フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Mathematische Begründung der Quantenmechanik [量子力学の数学的基礎]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 1–57 .
  • フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik [量子力学の確率論]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen、数学物理学クラス: 245–272 .
  • フォン・ノイマン、J. (1927)。 「Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten [量子力学的量の熱力学]」。Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse。102 : 273–291 .
  • フォン・ノイマン、J. (1929)。 「Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren [エルミート関数演算子の一般固有値理論]」。Mathematische Annalen : 49–131 . doi :10.1007/BF01782338。
  • フォン・ノイマン、J. (1931)。 「Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren [シュレディンガー演算子の独自性]」。数学アンナレン。104 : 570–578 .土井:10.1007/bf01457956. S2CID  120528257。

参照

注記

  1. ^ 一部の著者は、プロセス III を波動関数の崩壊 (状態の縮小) であると考えています。
  2. ^ 分散のない状態は、すべての場合(固有状態かどうかに関係なく)の特性を持ちます。 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } σ R ＝ ⟨ ψ | R 2 | ψ ⟩ − ⟨ ψ | R | ψ ⟩ 2 ＝ 0 {\displaystyle \sigma _{R}=\langle \psi |R^{2}|\psi \rangle -\langle \psi |R|\psi \rangle ^{2}=0} R {\displaystyle R}

参考文献

  1. ^ Van Hove, Léon (1958). 「フォン・ノイマンの量子論への貢献」. Bull. Amer. Math. Soc . 64 (3): 95– 100. doi : 10.1090/s0002-9904-1958-10206-2 .
  2. ^ abcd マルゲノー、ヘンリー(1933)。 「書評：数学グルンドラーゲン・デア・クァンテンメカニク」。アメリカ数学協会の会報。39 (7): 493–495。土井: 10.1090/S0002-9904-1933-05665-3。MR1562667  。
  3. ^ 「ジョン・フォン・ノイマン｜伝記、業績、発明、事実｜ブリタニカ」www.britannica.com . 2024年10月24日. 2024年12月4日閲覧。
  4. ^ Kronz, Fred; Lupher, Tracy (2024)「量子理論と数学的厳密性」、Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (編)、『スタンフォード哲学百科事典』（2024年春版）、Metaphysics Research Lab、スタンフォード大学、 2024年12月4日閲覧。
  5. ^ abc Dyson, Freeman (2013-02-01). 「ジョニー・フォン・ノイマンの庭を歩く」アメリカ数学会報60 (2): 154. doi : 10.1090/noti942. ISSN  0002-9920.
  6. ^ “NEUMANN (von) : Les Fondements mathématiques de la Mécanique quantique、1946”. www.gabay-editeur.com (フランス語) 。2024 年 12 月 4 日に取得。
  7. ^ Halmos, PR (1973). 「ジョン・フォン・ノイマンの伝説」 .アメリカ数学月刊誌. 80 (4): 382– 394. doi :10.2307/2319080. ISSN  0002-9890. JSTOR  2319080.
  8. ^ ab ジョン・フォン・ノイマン(2018). ニコラス・A・ホイーラー編. 量子力学の数学的基礎. 新版. ロバート・T・ベイヤー訳. プリンストン大学出版局. ISBN 9781400889921。
  9. ^ abcd レデイ、ミクロス;シュテルツナー、マイケル (2013-03-09)。ジョン・フォン・ノイマンと量子物理学の基礎。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-94-017-2012-0。
  10. ^ ab エスフェルド、マイケル。エッセイレビュー「ウィグナーの物理的現実観」。
  11. ^ ab Thaheld, Fred H. (2005-08-01). 「意識は本当に波動関数を崩壊させるのか？：測定問題の客観的な生物物理学的解決の可能性」 . Biosystems . 81 (2): 113– 124. arXiv : quant-ph/0509042 . Bibcode :2005BiSys..81..113T. doi :10.1016/j.biosystems.2005.03.001. ISSN  0303-2647. PMID  16009281.
  12. ^ Zeh, HD (2000). 「[タイトルが見つかりません]」 . Foundations of Physics Letters . 13 (3): 221– 233. doi :10.1023/A:1007895803485.
  13. ^ abcdef ベル, ジョン・S. (1966-07-01). 「量子力学における隠れた変数の問題について」 .現代物理学レビュー. 38 (3): 447– 452. Bibcode :1966RvMP...38..447B. doi :10.1103/RevModPhys.38.447. ISSN  0034-6861. OSTI  1444158.
  14. ^ abcdefghi Ballentine, LE (1970-10-01). 「量子力学の統計的解釈」 . Reviews of Modern Physics . 42 (4): 358– 381. Bibcode :1970RvMP...42..358B. doi :10.1103/RevModPhys.42.358. ISSN  0034-6861.
  15. ^ abcd Mermin, N. David; Schack, Rüdiger (2018). 「ホーマーのうなずき：フォン・ノイマンの驚くべき見落とし」. Foundations of Physics . 48 (9): 1007– 1020. arXiv : 1805.10311 . Bibcode :2018FoPh...48.1007M. doi : 10.1007/s10701-018-0197-5 . ISSN  0015-9018.
  16. ^ アルバートソン, ジェームズ (1961-08-01). 「フォン・ノイマンの隠れたパラメータの証明」 .アメリカン・ジャーナル・オブ・フィジックス. 29 (8): 478– 484.書誌コード:1961AmJPh..29..478A. doi :10.1119/1.1937816. ISSN  0002-9505.
  17. ^ Bub, Jeffrey (2010). 「フォン・ノイマンの『隠れた変数なし』の証明：再評価」. Foundations of Physics . 40 ( 9–10 ): 1333–1340 . arXiv : 1006.0499 . Bibcode :2010FoPh...40.1333B. doi :10.1007/s10701-010-9480-9. ISSN  0015-9018.
  18. ^ Hove, Léon van (1958). 「フォン・ノイマンの量子論への貢献」アメリカ数学会報. 64 (3.P2): 95– 99. doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10206-2 . ISSN  0002-9904.
  19. ^ 「ジョン・フォン・ノイマンの本」.数学史. 2024年12月4日閲覧。
  20. ^ タマルキン、JD (1935)。「数学グルンドラーゲン・デア・クァンテンメカニクのレビュー」。アメリカ数学月刊誌。42 (4): 237–239。土井:10.2307/2302105。ISSN  0002-9890。JSTOR  2302105。
  21. ^ ジャマー、マックス（1966年）『量子力学の概念的展開』マグロウヒル社、ISBN 9780883186176。
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