三相電力の数学

三相システムの電圧サイクルの1つ。時間軸に沿って0～360°（2πラジアン）の範囲で示されています。プロットされた線は、瞬時電圧（または電流）の時間変化を表しています。このサイクルは、電力システムに依存する周波数で繰り返されます。

電気工学において、三相電力システムには、周期の3分の1だけ時間的にオフセットされた交流電圧を運ぶ少なくとも3本の導体があります。三相システムは、デルタ（∆）またはスター（Y）（一部の地域では、記号的に文字「Y」に似ているため、Yyeとも表記されます）に配置できます。Y字型システムでは、3相すべてで2つの異なる電圧を使用できます。たとえば、230/400 Vシステムでは、中性線（中心ハブ）と任意の1つの相の間に230 Vを供給し、任意の2つの相にわたって400 Vを供給します。デルタシステム配置では1つの電圧しか供給されませんが、3つの供給巻線の1つがオフラインでも、全容量の57.7%では通常どおり動作を継続できるため、冗長性が向上します。^{[ 1 ]}非線形負荷が接続されている場合、中性線の高調波電流が非常に大きくなる可能性があります。

定義

スター（Y）接続トポロジでは、回転シーケンス L1 - L2 - L3 で、時間とともに変化する瞬間電圧は、次のように各相 A、C、B ごとに計算できます。

${\displaystyle V_{L1-N}=V_{P}\sin \left(\theta \right)\,\!}$

${\displaystyle V_{L2-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)}$

${\displaystyle V_{L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)}$

どこ：

${\displaystyle V_{P}}$ ピーク電圧は

${\displaystyle \theta =2\pi ft\,\!}$ 位相角（ラジアン）

${\displaystyle t}$ 秒単位の時間です

${\displaystyle f}$ は1秒あたりのサイクル数で表した周波数であり、

電圧 L1-N、L2-N、および L3-N はスター接続ポイントを基準とします。

図表

以下の画像は、オルタネーターから三相電力を供給する6本の電線システムを3本に置き換える方法を示しています。三相変圧器も示されています。

• 
  基本的な 6 線式 3 相交流発電機。各相で別々の伝送線ペアを使用します。
• 
  基本的な 3 線式 3 相オルタネーター。各相が 3 本の伝送線のみを共有できることを示しています。
• 
  三相変圧器の各相には、コアを共有する独自の巻線のペアがあります。

バランスの取れた負荷

一般的に、電力系統では、負荷は各相間で可能な限り均等に分散されます。まず平衡系統について議論し、次に不平衡系統の影響を基本的なケースからの逸脱として説明するのが一般的です。

一定の電力伝達

三相電力の重要な特性は、抵抗負荷に供給される瞬時電力が常に一定であるということです。実際、 ${\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}}$

数学を簡素化するために、中間計算のための無次元化べき乗を定義する。${\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R}$

${\displaystyle p=\sin^{2}\theta +\sin^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}$

したがって（元に戻すと）：

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.}$

を消去したので、総電力は時間とともに変化しないことがわかります。これは、大型発電機やモーターをスムーズに稼働させるために不可欠です。 ${\displaystyle \theta}$

また、実効二乗平均電圧を使用すると、上記の式は次のようなより典型的な形式になることにも注意してください。 ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}}$ 。

負荷は、瞬時電力を一定にするために抵抗性である必要はありません。なぜなら、負荷がすべての位相で平衡しているか同じである限り、虚数単位、電圧と電流の位相シフトを用いて、次のように表すことが できるからです。${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}$

ピーク電流は

${\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}$

すべての相と瞬間電流は

${\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

さて、各位相の瞬時電力は

${\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

角度減算式の使用:

${\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

これらを合計すると、瞬間電力は

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}$

角括弧で囲まれた3つの項は三相システムなので、合計するとゼロになり、総電力は次のようになります。

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }$

または

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }$

上記の主張を示します。

ここでも、二乗平均平方根電圧を用いると、通常の形式で表すことができる。 ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi }$ 。

中性電流なし

三相それぞれに等しい負荷がかかっている場合、中性線には正味電流は流れません。中性線電流は線電流の逆ベクトル和です。キルヒホッフの回路法則を参照してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}}$

無次元化された電流を定義する。 ${\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}}$

中性電流がゼロであることが示されているため、システムがバランスしている限り、中性コアを取り外しても回路に影響がないことがわかります。このような接続は、通常、三相負荷が同一の機器（例えば三相モーター）の一部である場合にのみ使用されます。そうでない場合、負荷の切り替えやわずかな不均衡によって大きな電圧変動が生じるためです。

不均衡なシステム

実際には、三相すべてにおいて負荷、電流、電圧、インピーダンスが完全に平衡したシステムはほとんどありません。不平衡ケースの解析は、対称コンポーネントの手法を用いることで大幅に簡素化されます。不平衡システムは、それぞれ正、負、または零相の平衡電圧を持つ3つの平衡システムの重ね合わせとして解析されます。

三相システムで配線サイズを指定する場合、相電流と中性線電流の大きささえ分かれば十分です。中性線電流は、三相電流を複素数として加算し、直交座標から極座標に変換することで決定できます。三相の実効値（RMS）電流が、、、の場合、中性線RMS電流は次のようになります。 ${\displaystyle I_{L1}}$ ${\displaystyle I_{L2}}$ ${\displaystyle I_{L3}}$

${\displaystyle I_{L1}+I_{L2}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+jI_{L2}\sin \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3}}\pi \right)}$

これは次のように解決される

${\displaystyle I_{L1}-I_{L2}{\frac {1}{2}}-I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)}$

この極座標は実数部と虚数部の平方和の平方根であり、^{[ 2 ]となる。}

${\displaystyle {\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}}$

非線形荷重

線形負荷の場合、相間の不均衡により、中性線のみが電流を流します。整流器とコンデンサをフロントエンドに用いた機器（コンピュータやオフィス機器などのスイッチング電源など）は、3次高調波を発生させます。3次高調波電流は各電源相で同相であるため、中性線で加算され、Y字型システムでは中性線電流が相電流を超える可能性があります。^{[ 3 ] [ 4 ]}

回転磁場

多相システムでは、各相の電流の時間的なずれを利用することで、線路周波数で回転する磁界を容易に生成できます。このような回転磁界によって、多相誘導モーターが可能になります。実際、誘導モーターを単相電源（家庭で一般的に使用されているものなど）で動作させる場合、モーターには回転磁界を生成するための何らかの機構が組み込まれている必要があります。そうでなければ、モーターは停止時のトルクを発生できず、始動しません。単相巻線によって生成される磁界は、既に回転しているモーターにエネルギーを供給できますが、補助機構がなければ、モーターは停止状態から加速できません。

一定振幅の回転磁界を得るには、三相電流の振幅が等しく、かつ位相が正確に1/3周期ずれている必要があります。不平衡動作は、モーターや発電機に悪影響を及ぼします。

他の位相システムへの変換

2 つの電圧波形が時間軸上で半サイクルの倍数以外の相対的な変位を少なくとも持っている場合、受動変圧器のアレイによって他の任意の多相電圧セットを得ることができます。このようなアレイは、ソースシステムの位相間で多相負荷を均等にバランスさせます。たとえば、バランスの取れた 2 相電力は、一次電圧の 50% と 86.6% にタップを持つ 2 つの特別に設計された変圧器を使用して、3 相ネットワークから取得できます。このスコット T接続により、位相間に 90° の時間差がある真の 2 相システムが生成されます。もう 1 つの例は、より滑らかなDC出力を生成し、電源内の 高調波電流を削減するための、大規模整流システム用の高相システムの生成です。

三相電力が必要なのに、電力会社から単相電力しか供給できない場合、位相変換器を使用して単相電源から三相電力を生成することができます。モータージェネレーターは、工場などの産業用途でよく使用されます。

システム測定

三相システムでは、中性線がない場合には少なくとも2つのトランスデューサーが、中性線がある場合は3つのトランスデューサーが電力を測定するために必要となる。^{[ 5 ]}ブロンデルの定理によれば、必要な測定要素の数は電流を流す導体の数より1つ少ない。^{[ 6 ]}

参照

• チャールズ・プロテウス・シュタインメッツ
• ガリレオ・フェラーリス
• ジョン・ホプキンソン
• ミハイル・ドリヴォ＝ドブロヴォルスキー
• ニコラ・テスラ
• 多相システム
• 三相電力
• Y-Δ変換

参考文献

1. 「デルタ結線とワイ結線による3相回路」（PDF）。2013年5月13日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2012年11月21日閲覧。パブリックドメイン
2. ケルジク、ジェフリー（2008年）『電力3：発電と供給』クリフトンパーク、ニューヨーク州：センゲージ・ラーニング／デルマー、p.49、ISBN 978-1435400290。
3. Lowenstein, Michael. 「第3高調波ブロッキングフィルタ：高調波電流軽減のための確立されたアプローチ」 IAEI Magazine. 2011年3月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年11月24日閲覧。
4. Enjeti, Prasad. 「低電圧三相四線式配電システムにおける高調波とフィルタリングソリューション」(PDF)テキサスA&M大学パワーエレクトロニクス・電力品質研究所。2010年6月13日時点のオリジナルよりアーカイブ( PDF)。 2012年11月24日閲覧。
5. 「2ワットメーター法による三相電力の測定」 。 2020年7月3日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2014年2月4日閲覧。
6. 「THE TWO-METER WATTMETER METHOD」（PDF） 。2014年2月21日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。

• スティーブンソン、ウィリアム・D・ジュニア (1975). 『電力系統解析の要素』 マグロウヒル電気電子工学シリーズ（第3版） ニューヨーク：マグロウヒルISBN 0-07-061285-4。