マシューグループ

Five sporadic simple groups

抽象代数学の一分野である群論において、マシュー群はエミール・マシュー（1861, 1873）によって導入された5つの散在単純群 M _{11 、}M ₁₂、M ₂₂、M ₂₃、M ₂₄である。これらは、 11、12、22、23、または24個の対象上の多重推移的置換群である。これらは、発見された最初の散在単純群である。

関連する群（それぞれ8、9、10、20、21点の集合に作用する群）、すなわち大きな群の点の安定群に対して、 M ₈、M ₉、M ₁₀、M ₂₀、M ₂₁という表記が使われることがある。これらは散在単純群ではないが、大きな群の部分群であり、より大きな群を構成するために使用できる。ジョン・コンウェイは、この列を上に拡張して、13点に作用するマシュー類群M ₁₃を得ることができることを示した。M ₂₁は単純だが散在単純群ではなく、射影特殊線型群PSL(3,4)と同型である。

歴史

Mathieu (1861, p.271) は多重推移的置換群の研究の一環として群M _{12を導入し、(274 ページで) 群}M _{24について簡単に触れてその位数を示した。 Mathieu (1873) では、その群の明示的な}生成集合を含む詳細を示したが、生成された群が単なる交代群ではないことを彼の議論から理解するのは容易ではなく、彼の群の存在は数年間議論の的となった。 Miller (1898) は、 M _{24 が}存在しないことを証明したと誤って主張する論文を発表したが、その後まもなく (Miller 1900) で彼はその証明が誤りであると指摘し、Mathieu 群が単純であるとの証明を示した。カーマイケル(1931) とその後のウィット (1938a、1938b) は、これらの群をシュタイナー系の自己同型群だけでなく順列群の連続的な推移的拡張として構築することで、最終的にこれらの群の存在に関する疑問を払拭しました。

マシュー群の後、1965 年にJ ₁群が発見されるまで、新しい散発群は発見されませんでした。

推移群の乗算

Mathieu は多重推移的置換群を見つけることに興味を持っていましたが、これをこれから定義します。自然数kに対して、 n 個の点に作用する置換群Gがk推移的であるとは、すべてのa _iが異なり、すべてのb _iが異なっているという性質を持つ 2 組の点a ₁、... a _kとb ₁、... b _kが与えられたとき、 1 からkまでの各iについてa _iをb _iに写す群元gがGに存在することを意味します。このような群は、元gが一意である場合（つまり、 k組への作用が推移的ではなく正則である場合）、鋭くk推移的であると呼ばれます。

M ₂₄は5-推移的であり、M ₁₂は鋭く5-推移的である。他のマシュー群（単純群またはそうでないもの）はm点の安定群に対応する部分群であり、したがって推移性は低くなる（M _{23は4-推移的であるなど）。これらは、}対称群でも交代群でもない5-推移的な群の唯一の2つである（Cameron 1992, p. 139）。

4 次元推移群は、 kが4 以上のときの対称群 S _k 、 kが6 以上のときの交代群A _{k 、およびマシュー群}M ₂₄、M ₂₃、M ₁₂、M ₁₁のみです(Cameron 1999、p. 110)。完全な証明には有限単純群の分類が必要ですが、いくつかの特殊なケースはずっと以前から知られています。

対称群と交代群(それぞれ次数kとk + 2)、およびM ₁₂とM _11が、kが少なくとも 4 の場合に唯一の鋭くk推移的な置換群であるというのは、ジョーダンの古典的な結果です。

多重推移群の重要な例としては、2-推移群とザッセンハウス群が挙げられる。ザッセンハウス群には、有限体上の射影直線の射影一般線型群PGL(2, F _q )が含まれる。これは元に関して鋭く3-推移的である（複比を参照）。 $q+1$

順序と推移表

グループ	注文	注文（商品）	因数分解順序	推移性	単純	散発的
M ₂₄	244823040	3·16·20·21·22·23·24	2 ¹⁰ ·3 ³ ·5·7·11·23	5推移的	はい	散発的な
M ₂₃	10200960	3·16·20·21·22·23	2 ⁷ ·3 ² ·5·7·11·23	4推移的	はい	散発的な
M ₂₂	443520	3·16·20·21·22	2 ⁷ ·3 ² ·5·7·11	3推移的	はい	散発的な
M ₂₁	20160	3·16·20·21	2 ⁶ ·3 ² ·5·7	2推移的	はい	≈ PSL ₃ (4)
M ₂₀	960	3·16·20	2 ⁶ ·3·5	1推移的	いいえ	≈2 ⁴ :A ₅

M ₁₂	95040	8·9·10·11·12	2 ⁶ ·3 ³ ·5·11	鋭く5推移的	はい	散発的な
M ₁₁	7920	8·9·10·11	2 ⁴ ·3 ² ·5·11	鋭く4推移的	はい	散発的な
M ₁₀	720	8·9·10	2 ⁴ ·3 ² ·5	鋭く3推移的	ほとんど	M ₁₀ ' ≈ Alt ₆
M9	72	8·9	2 ³ ·3 ²	鋭く2推移的	いいえ	≈ PSU ₃ (2)
M8	8	8	2 ³	鋭く1推移的（正則）	いいえ	≈ Q

マシュー群の構成

マシュー群はさまざまな方法で構築できます。

順列群

M _{12 は}位数660の単純部分群、すなわち最大部分群を持つ。この部分群は、11個の元からなる体上の射影特殊線型群PSL ₂ ( F ₁₁ )と同型である。-1 をa、無限大をbと書くと、2つの標準的な生成元は(0123456789a)と(0b)(1a)(25)(37)(48)(69)である。M _{12を与える3つ目}の生成元は、 F 11_の元x を 4 x 2 − 3 x 7 ; に送り、その順列^は ( 26a7 ⁾ (3945)となる。

この群は有限単純群の無限族のどの要素とも同型ではないことがわかり、散在群と呼ばれる。M _11はM ₁₂の点の安定群であり、これも散在単純群であることがわかる。2点の安定群M ₁₀は散在群ではないが、その交換子部分群が交代群A ₆であるほぼ単純群である。したがって、これはA ₆の例外的な外部自己同型と関連している。3点の安定群は射影特殊ユニタリ群PSU(3,2 ² ) であり、これは解ける。4点の安定群は四元数群である。

同様に、M _{24 はPSL}₂ ( F ₂₃ )と同型な位数 6072 の極大単純部分群を持つ。一方のジェネレータは体の各元に 1 を加える（点Nは無限大に固定）、すなわち (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ) であり、もう一方のジェネレータはx を−1/ xに送る、すなわち (0N)(1M)(2B)(3F)(4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI) である。M _{24を生成する3つ目のジェネレータは}F ₂₃の元xを 4 x ⁴ − 3 x ¹⁵に送る（これはx ^{4を経由して完全平方数を、 7}x ⁴を経由して非完全平方数を送る）。計算により、順列としてはこれが (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF) となることが分かる。

1点と2点の安定群M ₂₃とM ₂₂も散在単純群となる。3点の安定群は単純であり、射影特殊線型群PSL ₃ (4)と同型である。

これらの構成はカーマイケル（1956, pp. 151, 164, 263）によって引用されている。ディクソンとモーティマー（1996, p.209）はこれらの順列をマシューに帰している。

シュタイナー系の自己同型群

同値性を除き、 S (5,8,24)シュタイナー系W ₂₄（ウィット設計）は唯一存在する。群M ₂₄はこのシュタイナー系の自己同型群、すなわち、任意のブロックを他のブロックに写す順列の集合である。部分群M ₂₃とM ₂₂は、それぞれ一点と二点の安定群として定義される。

同様に、 S (5,6,12)シュタイナー系W ₁₂も同値性を除いて唯一存在し、群M ₁₂はその自己同型群である。部分群M ₁₁は点の安定群である。

W _{12 は}ベクトル空間F ₃ × F ₃上のアフィン幾何学、S (2,3,9)系から構築できる。

W ₁₂の別の構成としては、カーティス (1984) の「Kitten」があります。

RT Curtis の Miracle Octad Generator と Conway の W 12 類似物であるminiMOGを介し_たW ₂₄の構築の概要は、Conway とSloaneの著書に記載されています。

ゴレイコード上の自己同型群

群M _24は、拡張二元ゴレイ符号Wの順列自己同型群、すなわち、 Wを自身に写す24座標上の順列の群である。すべてのマシュー群は、二元ゴレイ符号上の順列の群として構成できる。

M _{12 は}自己同型群の指数が2であり、M _{12 :2 は}M ₂₄の部分群と同型である。M _{12 は}12個の1からなる符号語である12進数の安定化因子であり、 M ₁₂ :2 は2つの相補的な12進数への分割を安定化する。

マシュー群とより大きなコンウェイ群の間には自然なつながりがあります。なぜなら、リーチ格子は二元ゴレイコード上に構築され、実際には両方とも24次元空間に存在するからです。コンウェイ群はモンスター群に含まれています。ロバート・グリースは、モンスター群に含まれる20個の散在群を「ハッピーファミリー」と呼び、マシュー群を第一世代と呼んでいます。

子供の絵

マシューグループは、子供の絵を介して構築できます。M ₁₂に関連付けられたこの絵は、le Bruyn (2007) によって「Monsieur Mathieu」という暗示的な名前が付けられています。

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外部リンク

ATLAS: マシューグループ M10
ATLAS: マシューグループ M11
ATLAS: マシューグループ M12
ATLAS: マシューグループ M20
ATLAS: マシューグループ M21
ATLAS: マシューグループ M22
ATLAS: マシューグループ M23
ATLAS: マシューグループ M24
le Bruyn、Lieven (2007)、Monsieur Mathieu、2010 年 5 月 1 日のオリジナルからアーカイブ
リヒター、デビッド・A.、「マシュー群M24の作り方」、 2010年4月15日閲覧。
GroupNames の Mathieu グループ M9
Scientific American マシュー群の数学に基づいたパズルのセット
_{散発的M12 M12}に基づくパズルを実装したiPhoneアプリ。1つの「スピン」順列と選択可能な「スワップ」順列として表示されます。