マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式

物理学、特に一般相対性理論において、マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式は、重力場中を運動する質量を持つ回転体の運動を記述します。同様の名前と数学的形式を持つ他の方程式には、マティソン・パパペトルー方程式とパパペトルー・ディクソン方程式があります。これら3つの方程式はすべて、同じ物理現象を記述します。

これらの方程式は、その研究を行った マイロン・マティソン^[1]、ウィリアム・グラハム・ディクソン^[2]、アキレス・パパペトロウ[ ^{3]にちなんで名付けられました。}

この記事では全体を通して、自然単位 c = G = 1 とテンソル指数表記 を使用します。

マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式

質量回転体に対するマティソン・パパペトロウ・ディクソン（MPD）方程式は ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {Dk_{\nu }}{D\tau }}+{\frac {1}{2}}S^{\lambda \mu }R_{\lambda \mu \nu \rho }V^{\rho }&=0,\\{\frac {DS^{\lambda \mu }}{D\tau }}+V^{\lambda }k^{\mu }-V^{\mu }k^{\lambda }&=0.\end{aligned}}}$

これは軌道に沿った固有時間であり、物体の4つの運動量である。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

${\displaystyle k_{\nu }=\int _{t={\text{const}}}{T^{0}}_{\nu }{\sqrt {g}}d^{3}x,}$

ベクトルは物体のある基準点の4元速度であり、歪対称テンソルは角運動量である。 ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle S^{\mu \nu }=\int _{t={\text{const}}}\left\{\left(x^{\mu }-X^{\mu }\right)T^{0\nu }-\left(x^{\nu }-X^{\nu }\right)T^{0\mu }\right\}{\sqrt {g}}d^{3}x}$

この点の周りの物体の運動。時間スライス積分では、物体が十分にコンパクトであり、物体内部でエネルギー運動量テンソルがゼロでない平坦な座標を使用できると仮定しています。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

現状では、13 個の量を決定する方程式は 10 個しかありません。これらの量は、 の 6 個の成分、 の 4 個の成分、および の 3 個の独立成分です。したがって、これらの方程式には、物体内のどの点が速度 を持つかを決定するのに役立つ 3 個の追加制約が補足される必要があります。 Mathison と Pirani は当初、 が常に 0 であるため、4 個の成分を含むものの制約は 3 個のみである条件を課すことを選択しました。ただし、この条件では一意の解は得られず、不可解な「らせん運動」が発生する可能性があります。^[4] Tulczyjew–Dixon 条件では、運動量が であるフレーム内で物体の質量中心を基準点として選択するため、一意の解が得られます。 ${\displaystyle S^{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle V^{\mu }S_{\mu \nu }V^{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle (k_{0},k_{1},k_{2},k_{3})=(m,0,0,0)}$

トゥルチジェフ・ディクソン条件を受け入れると、MPD方程式の2番目の式を次のように変形できる。 ${\displaystyle k_{\mu }S^{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle {\frac {DS_{\lambda \mu }}{D\tau }}+{\frac {1}{m^{2}}}\left(S_{\lambda \rho }k_{\mu }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}+S_{\rho \mu }k_{\lambda }{\frac {Dk^{\rho }}{D\tau }}\right)=0,}$

これは、軌道に沿ったスピンテンソルのフェルミ・ウォーカー輸送の一種であるが、接線ベクトルではなく運動量ベクトルに対する直交性を維持している。ディクソンはこれをM輸送と呼んでいる。 ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle V^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$

参照

• 一般相対性理論の数学入門
• 測地線方程式
• パウリ・ルバンスキー擬ベクトル
• テスト粒子
• 相対論的角運動量
• 質量中心（相対論的）

参考文献

注記

1. M. マティソン (1937)。 「ノイエ・メカニック・マテリアル・システム」。アクタ フィジカ ポロニカ。 Vol. 6.  163 ～ 209 ページ。
2. WG Dixon (1970). 「一般相対論における拡張体のダイナミクス．I. 運動量と角運動量」Proc. R. Soc. Lond. A . 314 (1519): 499– 527. Bibcode :1970RSPSA.314..499D. doi :10.1098/rspa.1970.0020. S2CID  119632715.
3. A. Papapetrou (1951). 「一般相対論における回転するテスト粒子 I」Proc. R. Soc. Lond. A . 209 (1097): 248– 258. Bibcode :1951RSPSA.209..248P. doi :10.1098/rspa.1951.0200. S2CID  121464697.
4. LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). 「Mathissonのらせん運動の解明」. AIP Conf. Proc . AIP Conference Proceedings. 1458 : 367–370 . arXiv : 1206.7093 . Bibcode :2012AIPC.1458..367C. doi :10.1063/1.4734436. S2CID  119306409.

選定された論文

• C. Chicone; B. Mashhoon; B. Punsly (2005). 「重力場における回転粒子の相対論的運動」. Physics Letters A. 343 ( 1–3 ) : 1–7 . arXiv : gr-qc/0504146 . Bibcode :2005PhLA..343....1C. doi :10.1016/j.physleta.2005.05.072. hdl :10355/8357. S2CID  56132009.
• N. Messios (2007). 「ねじれを伴う時空における回転粒子」.国際理論物理学ジャーナル. 一般相対性理論と重力. 46 (3). Springer: 562– 575. Bibcode :2007IJTP...46..562M. doi :10.1007/s10773-006-9146-8. S2CID  119514028.
• D. Singh (2008). 「古典回転粒子動力学に対する解析的摂動法」.国際理論物理学ジャーナル. 一般相対性理論と重力. 40 (6). Springer: 1179–1192 . arXiv : 0706.0928 . Bibcode : 2008GReGr..40.1179S. doi : 10.1007/s10714-007-0597-x. S2CID  7255389.
• LFO Costa; J. Natário; M. Zilhão (2012). 「Mathissonのらせん運動の解明」. AIP Conf. Proc . AIP Conference Proceedings. 1458 : 367–370 . arXiv : 1206.7093 . Bibcode :2012AIPC.1458..367C. doi :10.1063/1.4734436. S2CID  119306409.
• RM Plyatsko (1985). 「シュワルツシルト場におけるマティソン-パパペトロウ方程式へのピラニ条件の付加」.ソビエト物理学ジャーナル. 28 (7). Springer: 601– 604. Bibcode : 1985SvPhJ..28..601P. doi : 10.1007/BF00896195. S2CID  121704297.
• RR Lompay (2005). 「相対論的擬力学からのマティソン-パパペトルー方程式の導出」arXiv : gr-qc/0503054 .
• R. Plyatsko (2011). 「マティソン・パパペトルー方程式は天体物理学におけるいくつかの問題の解決に手がかりを与えるか？」arXiv : 1110.2386 [gr-qc].
• M. Leclerc (2005). 「ラグランジアン定式化による計量重力理論とゲージ重力理論におけるマティソン-パパペトロウ方程式」.古典重力と量子重力. 22 (16): 3203– 3221. arXiv : gr-qc/0505021 . Bibcode :2005CQGra..22.3203L. doi :10.1088/0264-9381/22/16/006. S2CID  2569951.
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn; M. Fenyk (2011). 「シュワルツシルト背景とカー背景におけるマティソン・パパペトロウ・ディクソン方程式」.古典重力と量子重力. 28 (19) 195025. arXiv : 1110.1967 . Bibcode :2011CQGra..28s5025P. doi :10.1088/0264-9381/28/19/195025. S2CID  119213540.
• R. Plyatsko; O. Stefanyshyn (2008). 「異なる条件下におけるマティソン方程式の共通解について」. arXiv : 0803.0121 .書誌コード:2008arXiv0803.0121P. {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
• RM Plyatsko; AL Vynar; Ya. N. Pelekh (1985). 「重力超相対論的スピン軌道相互作用の出現条件」.ソビエト物理学ジャーナル. 28 (10). Springer: 773– 776. Bibcode : 1985SvPhJ..28..773P. doi : 10.1007/BF00897946. S2CID  119799125.
• K. Svirskas; K. Pyragas (1991). 「シュワルツシルト場におけるスピン粒子の球対称軌道」.天体物理学と宇宙科学. 179 (2). Springer: 275– 283. Bibcode : 1991Ap&SS.179..275S. doi : 10.1007/BF00646947. S2CID  120108333.