行列要素（物理学）

物理学、特に量子摂動論において、行列要素とは、ディラック記法を用いた修正ハミルトニアンの線形作用素のことを指します。実際には、異なる量子状態間の遷移確率を計算するために使用されるハミルトニアン作用素の行列要素を指します。

行列要素は、新しく修正されたハミルトニアン（つまり、摂動を受けていないハミルトニアンと相互作用ポテンシャルの線形重ね合わせ）が量子状態に与える影響を考慮します。

行列要素は、原子物理学、核物理学、粒子物理学において重要です。

簡単に言えば、ハミルトニアンまたはその他の演算子/観測量が、以下の式が成り立つ場合に、初期量子状態から最終量子状態への遷移を引き起こすと言える。ここで、最後の行は、ある演算子によって引き起こされる遷移の確率振幅と、この情報を包含する行列要素である。実際には、この計算は、2つの状態間の遷移に関する情報を与えるH演算子の行列要素を求めることを含む。この例としては、原子核物理学におけるベータ崩壊遷移、ニュートリノレス二重ベータ崩壊、二重ベータ崩壊が挙げられる。 ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle |f\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f|{\hat {H}}|i\rangle =M^{i,f}\neq 0\\|\langle f|{\hat {H}}|i\rangle |^{2}=|M^{i,f}|^{2},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle M^{i,f}}$

摂動論

次のハミルトニアン演算子によって表される、摂動を受けない初期システムを考えます。ここで、V はシステムの位置エネルギー、m は粒子の質量です。分離可能な解の集合について波動関数のシュレーディンガー方程式を解くと、時間に依存しないシュレーディンガー方程式の次の固有方程式が得られます。ここで、上付き文字は摂動補正レベルを表します。0 は摂動を受けないシステムを表し、n > 0 の任意の整数はシステムに対する補正レベルを表します (例: は摂動による固有エネルギーへの 1 次補正を表します)。 ハミルトニアン演算子の添え字は、ハミルトニアン行列が表される基底を示します。この場合、基底セットによって表されます。これにより、対角要素がこの演算子の唯一の非ゼロ行列要素である対角行列形式でハミルトニアンを置くことができます。 $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V,}$$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\psi }^{(0)}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{n}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle .}$$ ${\displaystyle E_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \{|\psi _{n}^{0}\rangle |n\in \mathbb {N} \}}$

の固有状態の直交性により、非対角行列要素がゼロであることが容易に観察されます。物理的には、ここでの行列要素は、非摂動ハミルトニアンによって支配される相互作用により、固有状態nにある粒子が固有状態mに遷移する遷移確率振幅を表しています。非摂動ハミルトニアン系ではこれらの固有状態は分離されているため、このような遷移は発生しません。数学的には、すべての非対角要素が0であるため、上記の期待値によって計算される行列要素は常に0を返します。 ${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =\delta _{nm}}$ $${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}_{\psi }^{0}|\psi _{n}^{0}\rangle =E_{m}\delta _{nm}.}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\psi }^{(0)}}$

新しい相互作用ハミルトニアンまたは摂動ハミルトニアン を線形追加してシステムを摂動すると、新しいハミルトニアンは次の形式になります。ここで は摂動の強度を表し、0 から 1 までの値をとります。この新しい相互作用ハミルトニアンは、非ゼロの非対角要素 V' を持つ場合があり、したがって上記と同じ計算を行列要素に対して行うと、次のようになります。この結果は、摂動されていないハミルトニアンに摂動を追加すると、固有状態が相互に遷移する確率がゼロではないことを示しています。この例として、水素原子の電子波動関数とヘリウムの電子が挙げられます。電子波動関数の固有状態を摂動されていないハミルトニアンで表すことができる場合、- 位置エネルギーは陽子と電子の相互作用を表します。ヘリウム原子のハミルトニアンは水素原子のハミルトニアンのようになりますが、ヘリウムは水素よりも電子を1つ多く持つため、新たな電子間相互作用を表す項が追加されます。実際、この電子間相互作用は、新たな相互作用項によって簡潔に表すことができます。この初期の水素系へのエネルギー摂動（新たな電子の追加）は、電磁相互作用によって電子間の結合が生じるため、固有状態の遷移を引き起こします。 ${\displaystyle {\hat {H}}^{int}}$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\psi }^{(0)}+\lambda {\hat {H}}^{int},}$$ ${\displaystyle \lambda}$ $${\displaystyle \langle \psi _{m}^{0}|{\hat {H}}^{int}|\psi _{n}^{0}\rangle =V'.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\hat {H}}^{int}=V'}$

このため、相互作用ハミルトニアンの行列要素を計算することは、異なる原子元素や核種における粒子のエネルギー準位と波動関数を求める上で非常に重要になります。この多体ハミルトニアンの問題は、周期表の他の元素に移るにつれて、電子、陽子、中性子の数が増えるにつれて非常に複雑になります。

参照

• フェルミの黄金律