最大機能

極大関数は、調和解析（数学の一分野）において様々な形で現れます。その中で最も重要なものの1つが、ハーディ・リトルウッド極大関数です。ハーディ・リトルウッド極大関数は、例えば関数の微分可能性、特異積分、偏微分方程式などを理解する上で重要な役割を果たします。これらの分野における問題を理解する上で、他の手法よりも深く、かつより簡略化されたアプローチを提供することがしばしばあります。

ハーディ・リトルウッド最大関数

GHハーディとJEリトルウッドは、原著論文において、クリケットの平均値を用いて最大不等式を説明した。R n上に定義された関数fが与えられたとき、 fの非中心ハーディ・リトルウッド最大関数Mfは次のように定義される 。

（ M f ） （ × ） ＝ すする B ∋ × 1 | B | ∫ B | f | {\displaystyle (Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|}

R nの各xにおいて、最大値はR n内の点xを含む球Bについてとられ、| B | はBの測度（この場合、球の半径のn乗の倍数）を表します。中心最大関数を調べることもできます。この場合、最大値は中心xを持つ球Bについてとられます。実際には、この2つにほとんど違いはありません。

基本的なプロパティ

以下の記述はハーディ・リトルウッド最大作用素の有用性の中心となるものである。[1]

  • ( a) f∈Lp ( Rn ) ( 1≤p≤∞ )に対して、Mfはほぼどこでも有限である。
  • (b) f ∈ L 1 ( R n ) ならば、すべてのα > 0 に対して、
| { ×   :   （ M f ） （ × ） > α } | ≤ c α ∫ R n | f | 。 {\displaystyle |\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f|.}
  • (c) f ∈ L p ( R n ) (1 < p ≤ ∞) ならば、Mf ∈ L p ( R n ) であり、
‖ M f ‖ L p ≤ あ ‖ f ‖ L p 、 {\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},}
ここで、A はpとcのみに依存します。

特性 (b) はMfの弱境界と呼ばれる。積分可能関数の場合、これは基本的なマルコフ不等式に対応する。しかし、ほとんどどこでもf = 0 でない限り、 Mfは決して積分可能ではない。そのため、 Mfの弱境界 (b) の証明には、ヴィタリ被覆補題などの幾何学的測度論からのそれほど基本的ではない議論が必要となる。特性 (c) は、演算子MがL p ( R n )で有界であるということである。これは、 p = ∞のときに明らかに真である。なぜなら、有界関数の平均を取って関数の最大値よりも大きな値を得ることはできないからである。pの他のすべての値に対する特性 (c) は、これら 2 つの事実から補間議論によって演繹することができる。

(c) はp = 1の場合には成り立たないことは注目に値します。これはM χ を計算することで簡単に証明できます。ここで、χ は原点を中心とする単位球の特性関数です。

アプリケーション

ハーディ・リトルウッド最大演算子はさまざまな場所で使用されますが、最も顕著な使用例は、ルベーグ微分定理とファトゥの定理の証明、および特異積分演算子の理論です。


非接線極大関数

非接線極大関数は上半平面上で定義された 関数Fをとる。

R + n + 1 := { （ × 、 t ）   :   × ∈ R n 、 t > 0 } {\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\ :\x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}}

そして、 R n上で定義される関数F* を次の式 で生成する。

F ∗ （ × ） ＝ すする | × − y | < t | F （ y 、 t ） | 。 {\displaystyle F^{*}(x)=\sup _{|xy|<t}|F(y,t)|.}

固定されたxに対して、集合はR nの境界に垂直な軸を持ち、頂点が ( x ,0) にある円錐となることに注意されたい。したがって、非接線極大作用素は、 R nの境界に頂点を持つ円錐上の関数Fの最大値を取るだけである。 { （ y 、 t ）   :   | × − y | < t } {\displaystyle \{(y,t)\ :\ |xy|<t\}} R + n + 1 {\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}}

恒等式の近似

非接線極大関数の研究が重要となる関数Fの特に重要な形の一つは、恒等関数の近似から形成される。すなわち、 R n上の積分可能な滑らかな関数Φを次のように 固定する。

∫ R n Φ ＝ 1 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi =1}

そして設定

Φ t （ × ） ＝ t − n Φ （ × t ） {\displaystyle \Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})}

t > 0 の場合、定義する

F （ × 、 t ） ＝ f ∗ Φ t （ × ） := ∫ R n f （ × − y ） Φ t （ y ） d y 。 \displaystyle F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(xy)\Phi _{t}(y)\,dy.}

[1]は次 のように示している。

すする t > 0 | f ∗ Φ t （ × ） | ≤ （ M f ） （ × ） ∫ R n Φ {\displaystyle \sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi }

結果として、1 ≤ p < ∞ の任意の条件において、 L p ( R n )においてfに収束することがわかる。この結果は、 L p ( R n ) 関数の上半平面への調和拡張が、その関数に非接線収束することを示すために使用できる。同様の手法を用いて、ラプラシアンを楕円演算子に置き換えることで、より一般的な結果を得ることができる。 f ∗ Φ t （ × ） {\displaystyle f\ast \Phi _{t}(x)}

さらに、 に適切な条件を課すと、 Φ {\displaystyle \Phi }

F ∗ （ × ） ≤ C （ M f ） （ × ） {\displaystyle F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)} 。

鋭い最大関数

R n上の局所積分可能な関数fに対して、鋭い極大関数は次のように定義される。 f ＃ {\displaystyle f^{\sharp}}

f ＃ （ × ） ＝ すする × ∈ B 1 | B | ∫ B | f （ y ） − f B | d y {\displaystyle f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy}

R nの各xに対して、最大値はすべてのボールBについて取られ、ボール 上のの積分平均である。[2] f B {\displaystyle f_{B}} f {\displaystyle f} B {\displaystyle B}

シャープ関数は特異積分に関する点ごとの不等式を得るために用いることができる。L 2 ( R n )に有界な演算子Tがあるとすると、

‖ T （ f ） ‖ L 2 ≤ C ‖ f ‖ L 2 、 {\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}

滑らかでコンパクトに支えられたすべてのfに対して、 TがカーネルKに対する畳み込みとして実現できると仮定する。つまり、fとgが滑らかで互いに素な支えを持つ ときはいつでも、

∫ グラム （ × ） T （ f ） （ × ） d × ＝ ∬ グラム （ × ） K （ × − y ） f （ y ） d y d × 。 {\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.}

最後にカーネルKのサイズと滑らかさの条件を仮定します。

| K （ × − y ） − K （ × ） | ≤ C | y | γ | × | n + γ 、 {\displaystyle |K(xy)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},}

のとき、 r > 1を 固定すると、 | × | ≥ 2 | y | {\displaystyle |x|\geq 2|y|}

（ T （ f ） ） ＃ （ × ） ≤ C （ M （ | f | r ） ） 1 r （ × ） {\displaystyle (T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)}

R nのすべてのxについて。[1]

エルゴード理論における最大関数

を確率空間とし、T  : X → X をXの測度保存準同型とする。f ∈ L 1 ( X , m )の極大関数 は （ X 、 B 、 メートル ） {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},m)}

f ∗ （ × ） := すする n ≥ 1 1 n ∑ 私 n − 1 | f （ T 私 （ × ） ） | 。 {\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.}

fの極大関数は、ハーディ・リトルウッドの極大不等式に類似した弱い境界を証明する。

メートル （ { × ∈ X   :   f ∗ （ × ） > α } ） ≤ ‖ f ‖ 1 α 、 {\displaystyle m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},}

これは最大エルゴード定理の言い換えです。

マルチンゲール最大関数

がマルチンゲールである場合、マルチンゲール極大関数 を によって定義できます。 が存在する場合、古典的なケースで成立する多くの結果（例えば、 における有界性や弱不等式）がおよびに関して成立します。[3] { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} f ∗ （ × ） ＝ すする n | f n （ × ） | {\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|} f （ × ） ＝ リム n → ∞ f n （ × ） {\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)} L p 、 1 < p ≤ ∞ {\displaystyle L^{p},1<p\leq \infty } L 1 {\displaystyle L^{1}} f {\displaystyle f} f ∗ {\displaystyle f^{*}}

参考文献

  • L. Grafakos著『古典的および現代的フーリエ解析』、Pearson Education, Inc.、ニュージャージー州、2004年
  • EMスタイン『調和解析』プリンストン大学出版局、1993年
  • EMスタイン『特異積分と関数の微分可能性』プリンストン大学出版局、1971年
  • EMスタイン『リトルウッド・ペイリー理論に関連する調和解析の話題』プリンストン大学出版局、1970年

注記

  1. ^ abc スタイン、エリアス（1993年）「調和解析」プリンストン大学出版局。
  2. ^ Grakakos, Loukas (2004). "7".古典的および現代的フーリエ解析. ニュージャージー州: Pearson Education, Inc.
  3. ^ Stein, Elias M. (2004). 「第4章：一般リトルウッド＝ペイリー理論」.リトルウッド＝ペイリー理論に関連する調和解析の話題. プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局.
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