最大弾性率原理

原点（青で表示）を中心とする単位円板における、（赤で表示）の係数のプロット。定理から予測されるように、係数の最大値は円板の内側にはあり得ない（したがって、赤で表示した面の最高値は円板の端のどこかにある）。${\displaystyle \cos(z)}$ ${\displaystyle z}$

数学において、複素解析における最大係数原理とは、が正則関数である場合、係数はのドメイン内に厳密に含まれる厳密な最大値を示すことができない、というものです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$

言い換えれば、 は局所的に定数関数であるか、の定義域内の任意の点に対して、 に任意に近い他の点が存在し、その点がより大きな値を取るかのいずれかです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f|}$

正式な声明

を 複素平面の有界かつ連結な開部分集合上の正則関数とし、複素数値をとるものとする。が${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle |f(z_{0})|\geq |f(z)|}$

すべて に対しての近傍にあるとき、 はで定数です。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

この記述は、非定数正則関数が開集合を開集合に写像することを述べる開写像定理の特殊なケースとして考えることができます。 が で局所的最大値を達成する場合、 の十分に小さい開近傍の像は開集合にはならないため、 は定数です。 ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$

関連する声明

が の有界で空でない連結な開部分集合であるとする。が の閉包であるとする。 が上で正則な連続関数であるとする。すると はの境界のある点で最大値をとる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle D}$

これは最初のバージョンから次のように導かれます。はコンパクトかつ空でないため、連続関数はのある点で最大値をとります。が境界上にない場合、最大係数原理より は定数であることが示され、したがっても境界上の任意の点で同じ最大値をとります。 ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {D}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|}$

最小弾性率原理

の連結開集合上の正則関数に対して、が の 点であって、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle 0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|}$

すべて に対しての近傍にあるとき、 はで定数です。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$

証明: 最大弾性原理を に適用します。 ${\displaystyle 1/f}$

証明のスケッチ

調和関数の最大原理を用いる

平等を使うことができる

${\displaystyle \log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)}$

複素自然対数を用いて、 が調和関数であると推論できます。はこの関数においても極大値となるため、最大値原理からが 定数であることが分かります。次に、コーシー・リーマン方程式を用いて = 0であることを示すと、も定数となります。同様の推論から、 は の孤立した零点においてのみ極小値（必然的に値 0）を持つことがわかります。 ${\displaystyle \ln |f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |f(z)|}$ ${\displaystyle f(z)}$

ガウスの平均値定理を用いる

別の証明は、ガウスの平均値定理を用いて、重なり合う開円板内のすべての点が最大値と同じ値をとるように「強制」するものです。円板は、その中心が、 が最大となる値から定義域内の他の任意の点まで、かつ定義域内に完全に含まれる多角形の経路を形成するように配置されます。したがって、最大値が存在するということは、定義域内のすべての値が同じであり、したがってが一定であることを意味します。 ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$

コーシーの積分公式の使用

出典: ^{[ 1 ]}

が開いているとき、（半径 で中心が の閉球）が存在し、 となる。そして、正の向きの閉球の境界を と定義する。コーシーの積分公式を用いると、次式が得られる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle a\in D}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\subset D}$ ${\displaystyle \gamma (t)=a+re^{it},t\in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{2\pi }|f(a)|-|f(a+re^{it})|\,dt\leq 0}$

すべての に対して、なので です。これは、 を中心とし、半径が より小さいすべての球に対しても成り立ちます。したがって、すべての に対して です。 ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle |f(a)|-|f(a+re^{it})|\geq 0}$ ${\displaystyle |f(a)|=|f(a+re^{it})|}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in {\overline {B}}(a,r)}$

ここで、すべての に対して定数関数 を考えてみましょう。すると、 内の相異なる点の列を構築することができ、その中で正則関数 がゼロになります。 が閉じているので、列は 内のある点に収束します。これは、のどこでも がゼロになることを意味します。 つまり、すべての に対してが成り立ちます。${\displaystyle g(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(a,r)\in D}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f(z)=f(a)}$ ${\displaystyle z\in D}$

物理的な解釈

この原理の物理的な解釈は、熱方程式から得られます。つまり、は調和関数であるため、領域 における熱流の定常状態となります。 の内部で厳密な最大値が達成されたと仮定すると、この最大値における熱は周囲の点に拡散し、これが系の定常状態を表すという仮定と矛盾することになります。 ${\displaystyle \log |f(z)|}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

アプリケーション

最大弾性原理は複素解析において多くの用途があり、以下のことを証明するために使用できます。

• 代数学の基本定理。
• シュワルツの補題は、複素解析において多くの一般化と応用を持つ結果である。
• フラグメン-リンデレフ原理、無制限領域への拡張。
• ボレル・カラテオドリの定理は、解析関数の実部に関してその境界を定める。
• アダマールの三直線定理は、複素平面上の他の 2 本の平行線の間の直線上の有界正則関数の挙動についての結果です。

参考文献

1. Conway, John B. (1978). Axler, S.; Gehring, FW; Ribet, KA (編). Functions of One Complex Variable I (第2版). New York: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2。

• ティッチマーシュ, EC (1939). 『関数論』（第2版）. オックスフォード大学出版局.（第5章を参照）
• ED Solomentsev (2001) [1994]、「最大絶対原理」、数学百科事典、EMS Press
• Conway, John B. (1978). Axler, S.; Gehring, FW; Ribet, KA (編). Functions of One Complex Variable I (第2版). New York: Springer Science+Business Media, Inc. ISBN 978-1-4612-6314-2.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「最大弾性率の原理」。マスワールド。