平均保存スプレッド

確率と統計において、平均保存スプレッド（MPS）^{[1]とは、ある}確率分布Aから別の確率分布Bへの変化であり、BはAの確率密度関数または確率質量関数の1つ以上の部分を拡散させ、平均（期待値）は変えずに形成されます。したがって、平均保存スプレッドの概念は、リスクの度合いに応じて等平均ギャンブル（確率分布）の確率的な順序付けを提供します。この順序付けは部分的であり、つまり、2つの等平均ギャンブルのうち、どちらかが他方の平均保存スプレッドであるとは限らないことを意味します。分布Aは、BがAの平均保存スプレッドである場合に、Bの 平均保存収縮であると言われています。

平均保存スプレッドによるギャンブルのランキングは、2 次確率優位性によるギャンブルのランキングの特殊なケース、つまり、平均が等しい場合の特殊なケースです。つまり、B が A の平均保存スプレッドである場合、A は B に対して 2 次確率的に優位です。また、A と B の平均が等しい場合は その逆が成り立ちます。

B が A の平均保存スプレッドである場合、B の分散は A よりも高く、A と B の期待値は同一になります。ただし、分散は完全な順序付けであるのに対し、平均保存スプレッドによる順序付けは部分的であるため、逆は一般には当てはまりません。

例

この例は、平均保存スプレッドを持つために、すべてまたはほとんどの確率マスが平均から離れる必要はないことを示しています。^[2] A が、について、について、各結果 で等しい確率を持つとします。また、B が、について、およびについて、各結果 で等しい確率を持つとします。ここで、B は、確率 1% のチャンクを 198 から 100 に移動し、確率チャンク 49 個を 198 から 200 に移動し、次に確率チャンク 1 つを 202 から 300 に移動し、確率チャンク 49 個を 202 から 200 に移動することで、A から構築されています。この 2 つの平均保存スプレッドのシーケンスは、確率マスの 98% が平均 (200) に移動したという事実にもかかわらず、それ自体が平均保存スプレッドです。 ${\displaystyle 1/100}$ ${\displaystyle x_{Ai}}$ ${\displaystyle x_{Ai}=198}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,50}$ ${\displaystyle x_{Ai}=202}$ ${\displaystyle i=51,\dots ,100}$ ${\displaystyle 1/100}$ ${\displaystyle x_{Bi}}$ ${\displaystyle x_{B1}=100}$ ${\displaystyle x_{Bi}=200}$ ${\displaystyle i=2,\dots ,99}$ ${\displaystyle x_{B100}=300}$

数学的な定義

をギャンブルAとBに関連付けられた確率変数とします。すると、BがAの平均保存分布となるのは、 任意の値の に対してとなる 確率変数 に対しての場合に限ります。ここで は「の分布が と等しい」（つまり、「 と同じ分布を持つ」）という意味です。 ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle x_{B}}$ ${\displaystyle x_{B}{\overset {d}{=}}(x_{A}+z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle E(z\mid x_{A})=0}$ ${\displaystyle x_{A}}$ ${\displaystyle {\overset {d}{=}}}$

平均保存の広がりは、A と B の累積分布関数 とによって定義することもできます。Aと B の平均が等しい場合、B が A の平均保存の広がりとなるのは、すべての実数 に対して、マイナス無限大 から の領域がマイナス無限大 から の領域より小さいか等しく、ある で厳密な不等式となる場合のみです。 ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{B}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

これら 2 つの数学的定義は、平均が等しい場合の 2 次確率優位の定義を再現します。

期待効用理論との関係

BがAの平均保存スプレッドである場合、凹型効用を持つすべての期待効用最大化者によってAが好まれる。逆もまた成り立つ。AとBの平均が等しく、凹型効用を持つすべての期待効用最大化者によってAが好まれる場合、BはAの平均保存スプレッドである。

参照

• 確率的順序付け
• リスク（統計）
• スケールパラメータ

参考文献

1. ロスチャイルド、マイケル；スティグリッツ、ジョセフ（1970）「増大するリスクI：定義」経済理論ジャーナル2 （ 3）：225-243。doi ： 10.1016/0022-0531（70）90038-4。
2. Landsberger, M.; Meil​​ijson, I. (1993). 「平均保存ポートフォリオ優位性」. Review of Economic Studies . 60 (2): 479– 485. doi :10.2307/2298068. JSTOR  2298068.

さらに読む

• マス・コレル, A. ; ウィンストン, MD; グリーン, JR (1995). ミクロ経済理論. ニューヨーク: オックスフォード大学出版局. pp.  197– 199. ISBN 0-19-510268-1– Google ブックス経由。