平均粒子間距離

平均粒子間距離（または平均粒子間分離）は、巨視的物体内の 微視的粒子（通常は原子または分子）間の平均距離です。

曖昧さ

非常に一般的な考察から、平均粒子間距離は粒子当たりの体積の大きさに比例する、すなわち、 ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle \langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},}$

ここでは粒子密度である。しかし、理想気体モデルのようないくつかの単純なケースを除いて、比例係数の正確な計算は解析的に不可能である。そのため、近似式がしばしば用いられる。そのような推定値の一つにウィグナー・ザイツ半径がある。${\displaystyle n=N/V}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},}$

これは、粒子当たりの体積を持つ球の半径に相当する。もう一つの一般的な定義は ${\displaystyle 1/n}$

${\displaystyle 1/n^{1/3}}$ 、

立方体の辺の長さに相当し、粒子あたりの体積は である。2つの定義は約 倍異なるため、論文でこのパラメータが正確に定義されていない場合は注意が必要である。一方、このパラメータは、そのような数値因子が無関係であるか、あるいは重要でない役割を果たすような定性的な記述においてしばしば用いられる。例えば、 ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 1.61}$

• 「位置エネルギーは粒子間距離rのn乗に比例する」（ビリアル定理）
• 「粒子間の距離は熱ド・ブロイ波長よりもはるかに大きい」（運動論）

理想気体

最近傍分布

理想気体における NN 距離の PDF。

最近接粒子（NN）までの距離の確率分布関数を計算します。（この問題はポール・ヘルツによって初めて検討されました。 ^[1]現代的な導出については、例えば^[2]を参照してください。 ）体積 の球体内に粒子が存在すると仮定します。理想気体中の粒子は相互作用しないため、ある粒子が別の粒子から特定の距離にある確率は、他の任意の点から同じ距離にある粒子が見つかる確率と同じであることに注意してください。ここでは球の中心を使用します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=N/V}$

ある距離にある NN 粒子は、その距離に粒子の 1 つだけが存在し、残りの 粒子はそれよりも遠い距離、つまり半径 の球の外側のどこかにあることを意味します。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle r}$

原点からの距離が と の間の粒子を見つける確率はであり 、さらにどの粒子を選ぶかという選択肢がある。一方、その球面の外側に粒子を見つける確率は である。したがって、求める式は次のようになる。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$ ${\displaystyle (4\pi r^{2}/V)dr}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-4\pi r^{3}/3V}$

${\displaystyle P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,}$

ここで代用した

${\displaystyle {\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.}$

はウィグナー・ザイツ半径であることに注意してください。最後に、極限を取り、 を用いると、次式を得ます 。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$

${\displaystyle P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.}$

すぐに確認できるのは

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.}$

分布のピークは

${\displaystyle r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.}$

平均距離と高次モーメント

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,}$

あるいは、置換を使って、 ${\displaystyle t=x^{3}}$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,}$

ここではガンマ関数である。したがって、 ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.}$

特に、

${\displaystyle \langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.}$

参考文献

1. ポール・ハーツ (1909). 「Über den gegenseitigen durchschnittlichen Abstand von Punkten, die mit bekannter mittlerer Dichte im Raume angeordnet sind」。数学アンナレン。67 (3): 387–398。土井:10.1007/BF01450410。ISSN  0025-5831。S2CID  120573104。
2. Chandrasekhar, S. (1943-01-01). 「物理学と天文学における確率的問題」.現代物理学レビュー. 15 (1): 1– 89.書誌コード:1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1.

参照

• ウィグナー・ザイツ半径