位相ベクトル空間における測度論

数学において、位相ベクトル空間における測度論（ちょうてきベクトルかんきょう）とは、測度論を位相ベクトル空間へ拡張することを指す。このような空間はしばしば無限次元であるが、古典的な測度論の多くの結果は有限次元空間に対して定式化されており、直接転用することはできない。これは、一般の無限次元空間には存在しない ルベーグ測度の場合に既に明らかである。

本稿では、ハウスドルフ性も持つ位相ベクトル空間のみを考察する。位相を持たないベクトル空間は、収束や連続性といった概念が定義されていないため、数学的にはそれほど興味深いものではない。

σ-代数

を位相ベクトル空間 、を代数的双対空間、を位相双対空間とします。位相ベクトル空間には、3つの主要なσ-代数が存在します。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X'}$

• ボレルσ-代数 : は の開集合によって生成されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$
• 円筒形σ-代数 :は双対空間によって生成される。${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ${\displaystyle X'}$
• ベアσ-代数 : はすべての連続関数によって生成されます。ベア σ-代数も と表記されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ ${\displaystyle C(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ba}}(X)}$

次の関係が成り立ちます。

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X)}$

どこが明らかか。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)}$

円筒形σ代数

とを双対性ベクトル空間とする。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle C_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X\colon (\langle x,f_{1}\rangle ,\dots ,\langle x,f_{n}\rangle )\in B\}}$

に対して、とを円筒集合と呼び、が開円筒集合ならば、開円筒集合と呼ぶ。円筒全体の集合は であり、開円筒全体の集合は である。積 をとると、代数のみが得られる。σ-代数 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O}}$ ${\displaystyle \otimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)=\sigma \left({\mathcal {Zyl}}(X,Y)\right)=\sigma \left(\bigotimes _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}\right)}$

は円筒σ-代数と呼ばれる。^[1]円筒の集合と開いた円筒の集合は同じ円筒σ-代数、すなわち を生成する。 ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}})=\sigma ({\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}^{O})}$

弱位相の場合、円筒σ-代数は のベールσ-代数である。^[2]円筒σ-代数は、ボレルσ-代数が無限次元空間で測定可能性の問題を引き起こす可能性があるため使用される。連続関数の積分に関しては、任意のボレル集合に拡張することが困難、あるいは不可能である。^[3]非可分空間の場合、一般に であるため、ベクトルの加算がボレルσ-代数の積代数に対して測定可能ではなくなることがある。しかし、円筒σ-代数の場合は となる。^[4]${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ${\displaystyle (X,T_{s})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)\otimes {\mathcal {B}}(Y)\subset {\mathcal {B}}(X\times Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')\otimes {\mathcal {E}}(Y,Y')={\mathcal {E}}(X\times Y,X'\times Y')}$

σ-代数の等式

• を位相ベクトル空間とし、を弱位相とすると、は のベールσ-代数とまったく同じになる。^[2]${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ${\displaystyle (X,T_{s})}$
• を可分かつ計量化可能な局所凸空間とし、を弱位相とする。このとき、、、は、およびの下で同値である。^[2]${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle T_{s}:=T_{s}(X,X')}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle T_{s}}$

対策

無限次元空間上の測度を構築する一つの方法は、まず有限次元空間上の測度を定義し、それを射影系として無限次元空間に拡張することである。これは円筒測度の概念につながり、イスラエル・モイセヴィッチ・ゲルファンドとナウム・ヤコヴレヴィッチ・ヴィレンキンによれば、この概念はアンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフに由来する。^[5]

円筒形の測定器

を 上の位相ベクトル空間とし、その代数的双対空間とする。さらに、を 上の線型汎関数のベクトル空間、すなわち とする。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq X^{*}}$

集合関数

${\displaystyle \nu :{\mathcal {Zyl}}(X,F)\to \mathbb {R} +}$

が円筒測度と呼ばれるのは、 の任意の有限部分集合に対して、制約 ${\displaystyle G:=\{f_{1},\dots ,f_{n}\}\subseteq F}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \nu :{\mathcal {E}}(X,G)\to \mathbb {R} +}$

はσ加法関数、つまり測度である。^[1]${\displaystyle \nu }$

とする。上の円筒測度は、次の弱モーメントが存在するとき、 弱位数（または弱型）を持つという。${\displaystyle \Gamma \subset X^{*}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \int _{E}|\langle f,x\rangle |^{p}d\mu (f)<\infty }$

全てのために。^[6]${\displaystyle f\in \Gamma }$

ラドン測定

すべてのラドン測度は円筒測度を誘導するが、その逆は成り立たない。^[7]とを2つの局所凸空間とすると、像測度が上のの位数の円筒測度に対して上の の位数のラドン測度となるとき、演算子は -ラドン化演算子と呼ばれる。^{[8] [9] [10]}${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T:E\to G}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle T_{*}\mu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$

いくつかの結果

円筒形の測度がラドン測度に拡張できる場合については、ミンロスの定理^[11]やサゾノフの定理^[12]など多くの結果がある。

を局所凸空間の均衡凸有界閉部分集合とし、の部分空間が によって生成される場合をと表記する。局所凸ハウスドルフ空間の均衡凸有界部分集合は、バナッハ空間がヒルベルト空間構造を持つ場合、すなわち のノルムがスカラー積から演繹でき、完備である場合、ヒルベルト集合と呼ばれる。^[13]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{E_{A}}}$ ${\displaystyle E_{A}}$ ${\displaystyle E_{A}}$

サゾノフ・バドリキアンの定理

を準完備局所凸ハウスドルフ空間とし、をその双対で、のコンパクト部分集合上の一様収束位相を備えるものとする。 のすべての部分集合が均衡凸コンパクトヒルベルト集合に含まれると仮定する。上の正の型の関数が上のラドン測度のフーリエ変換となることと、その関数が の位相に関連付けられたヒルベルト・シュミット位相に対して連続となることは同じである。 [ ^14]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'_{c}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E'_{c}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'_{c}}$

ミンロス・サソノフの定理

この定理のわずかな変形はミンロス・サゾノフの定理であり、円筒測度は σ 加法であり、フーリエ変換がサゾノフ位相でゼロで連続する場合、ラドンであると述べます。

参考文献

1973年にローラン・シュワルツによって出版された本は、今でも有効な標準参考文献です。

• シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局.
• スモリャノフ、オレグ；ウラジミール・I・ボガチェフ (2017).位相ベクトル空間とその応用. ドイツ: Springer International Publishing.

参考文献

1. Bogachev, Vladimir Igorevich; Smolyanov, Oleg Georgievich (2017).位相ベクトル空間とその応用. Springer Monographs in Mathematics. Springer Cham. pp.  327– 333. doi :10.1007/978-3-319-57117 (2025年7月1日非アクティブ). LCCN  87004931.
2. Fremlin, David H. (2003).測度論 第4巻: 位相測度空間. 第4巻. Torres Fremlin. p. 479. ISBN 0-9538129-4-4。
3. Fremlin, David H. (2003).測度論 第4巻: 位相測度空間. 第4巻. Torres Fremlin. ISBN 0-9538129-4-4。
4. タラグラン、ミシェル；ルドゥ、ミシェル (1991).バナッハ空間における確率：等周法と過程. 数学の古典. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-642-20212-4. ISBN 978-3-642-20211-7。
5. Gelfand, Israel Moiseevich; Vilenkin, Naum Yakovlevich (1964).一般化関数第4巻：調和解析の応用 第4巻 調和解析の応用第4巻 p. 374.
6. Vakhania, NN; Tarieladze, VI; Chobanyan, SA (1987).バナッハ空間上の確率分布. ドルドレヒト: Springer. p. 414.
7. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学・物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. pp.  172– 174.
8. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. p. 299.
9. Vakhania, NN; Tarieladze, VI; Chobanyan, SA (1987).バナッハ空間上の確率分布. ドルドレヒト: Springer. p. 416.
10. シュワルツ、ローラン。 「アプリケーション $p$-sommantes と $p$-radonifiantes」。セミネール・モーリー・シュワルツ (1972–1973) (講演番号 3): 8.
11. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. p. 233.
12. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. p. 215.
13. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. p. 230.
14. シュワルツ、ローラン (1973).任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度. KR パルタサラシーによるノート, タタ基礎研究所数学物理学講義. ロンドン: オックスフォード大学出版局. p. 239.