シュタインハウス・モーザー記法

数学において、シュタインハウス・モーザー記法（シュタインハウス・モーザーきょうほう）は、特定の大きな数を表す記法である。これは、ヒューゴ・シュタインハウスの多角形記法を拡張したもの（レオ・モーザーによって考案された）である。 ^{[ 1 ]}

定義

三角形の中の数字nはn ⁿを意味します。

正方形内の数字n は、「すべて入れ子になっているn個の三角形内の数字n」と同等です。

五角形内の数字nは、「すべて入れ子になっているn個の正方形内の数字n」と同等です。

等：( m +1 )角形に書かれたnは、「 n個のm角形が入れ子になったものの中にある数n 」と等しくなります。入れ子になった多角形は、内側に向かって連結されます。2つの三角形の中にある数nは、1つの三角形の中にある数n ⁿに等しく、これはn ⁿのn ⁿ乗に等しくなります。

シュタインハウスは三角形、正方形、円のみを定義しましたが、これは上で定義した五角形と同等です。

特別な値

シュタインハウスは次のように定義しました。

• メガは円内の2に相当する数です：②
• メギストンは円の中に10を表す数です：⑩

モーザー数は、「メガゴンの2」で表される数です。ここでのメガゴンとは、「メガ」辺を持つ多角形の名前です（100万辺を持つ多角形と混同しないでください）。

代替表記:

• square(x)とtriangle(x)関数を使用する
• M ( n , m , p )をm個の入れ子になったp辺の多角形における数nで表される数とすると、規則は次のようになります。
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• そして
  • メガ = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • メギストン = ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • モーザー = ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

メガ

メガ ② は、すでに非常に大きな数です。なぜなら、 ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2 ² )) = square(triangle(4)) = square(4 ⁴ ) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 個の三角形] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256 ²⁵⁶ )...))) [255 個の三角形] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 個の三角形] ... だからです。

他の表記法を使用すると：

メガ =${\displaystyle M(2,1,5)=M(256,256,3)}$

関数では、mega = となります。ここで、上付き文字は数値の累乗ではなく、関数の累乗を表します。 ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$

次式が得られます (べき乗は右から左に評価されるという規則に注意してください)。

• ${\displaystyle M(256,2,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$ ≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

同様に:

• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,5,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,6,3)\approx }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

等

したがって：

• mega = 、ここで は関数 のべき乗を表します。${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$ ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

もっと粗く丸めると（末尾の 257 を 256 に置き換える）、Knuth の上矢印表記法を使用して、 mega ≈ になります。 ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

最初の数ステップを過ぎると、 の値は毎回 にほぼ等しくなります。実際、 は にほぼ等しくなります（非常に大きな数 の近似演算も参照）。10を底とするべき乗を用いると、以下のようになります。 ${\displaystyle n^{n}}$ ${\displaystyle 256^{n}}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ （616に追加されます）${\displaystyle \log_{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ （は に追加されますが、これは無視できるほど小さいので、下部に 10 が追加されるだけです）${\displaystyle 619}$ ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• メガ = 、ここで は関数 のべき乗を表す。したがって${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

モーザー数

コンウェイ連鎖矢印記法では、

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

そして、クヌースの上矢印記法では、

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

したがって、モーザー数は理解できないほど大きいが、グラハム数と比較すると無視できるほど小さい：^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

参照

• アッカーマン関数

参考文献

1. ヒューゴ・シュタインハウス『数学スナップショット』オックスフォード大学出版局 1969年³月ISBN 0195032675、28-29ページ
2. G >> M の証明

外部リンク

• ロバート・ムナフォの「Large Numbers」
• 大きな数字に関する豆知識
• mathworld.wolfram.com の Megistron (Steinhaus はこの数を「r」なしの「megiston」と呼んでいました。)
• mathworld.wolfram.com の円表記
• シュタインハウス・モーザー記法 - 無意味な大きな数