メンガースポンジ

4回の構築プロセスを経たスポンジ_M4の図

数学において、メンガースポンジ（メンガーキューブ、メンガーユニバーサル曲線、シェルピンスキーキューブ、シェルピンスキースポンジとも呼ばれる）^{[1] [2] [3]は}フラクタル曲線の一種である。これは2次元シェルピンスキーカーペットの3次元への一般化である。1926年にカール・メンガーが位相次元の概念に関する研究の中で初めて記述した。^{[4] [5]}

カントール集合やカントールダストと同様の特性を持ちます。どちらの場合も構築に内部の 3 分の 1 の除去が必要となるためです。

工事

メンガースポンジのM ₃までの反復構築の図解（3回目の反復）

メンガースポンジの構造は次のように説明できます。

1. キューブから始めましょう。
2. ルービックキューブと同じように、立方体の各面を9つの正方形に分割します。これにより、立方体は27個の小さな立方体に分割されます。
3. 各面の中央にある小さい方の立方体を取り除き、さらに大きい方の立方体の中央にある小さい方の立方体も取り除くと、20個の小さい立方体が残ります。これがレベル1のメンガースポンジ（ボイドキューブに似ています）です。
4. 残りの小さな立方体ごとに手順 2 と 3 を繰り返し、これを無限に繰り返します。

2回目の反復ではレベル2のスポンジが得られ、3回目の反復ではレベル3のスポンジが得られ、というように続きます。メンガースポンジ自体は、無限回の反復を経たこのプロセスの限界です。

プロパティ

レベル4メンガースポンジの六角形断面。（空間対角線に​​垂直な一連の切断の一部。）

メンガースポンジの 番目のステージは、それぞれの辺の長さが(1/3) ⁿである小さな立方体で構成されています。したがって、の全体積は です。 の全表面積は式 で与えられます。^{[6] [7]}したがって、構築の体積はゼロに近づきますが、表面積は際限なく増加します。しかし、構築が進むにつれて、構築内の任意の面は完全に穴があけられるため、極限は立体でも面でもありません。その位相次元は 1 であり、したがって曲線として識別されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 20^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$

構築物の各面はシェルピンスキーカーペットとなり、スポンジと立方体の任意の対角線または面の任意の中線との交点はカントール集合となる。スポンジの重心を通り、空間対角線に​​垂直な断面は、六回対称に配置された六芒星が点在する正六角形となる。 ^[8]これらの六芒星の数は、大きさの降順で、次の再帰関係で与えられる：、となる。^[9]${\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$ ${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}$

スポンジのハウスドルフ次元は⁠ログ20/ログ3⁠ ≅ 2.727。^[10]メンガースポンジのルベーグ被覆次元は1で、任意の曲線と同じです。メンガーは1926年の構成で、スポンジは普遍曲線であり、すべての曲線がメンガースポンジのサブセットに同相であることを示しました。ここで、曲線とは、次元1を被覆するルベーグの任意のコンパクトな 距離空間を意味します。これには、任意の方法で接続された任意の可算数のエッジ、頂点、および閉ループを持つツリーとグラフが含まれます。同様に、シェルピンスキーカーペットは、2次元平面に描くことができるすべての曲線の普遍曲線です。3次元で構成されたメンガースポンジは、このアイデアを平面ではなく任意の数の次元に埋め込まれる可能性のある グラフに拡張します。

2024年、ブローデン、ナザレ、フォスは、すべての結び目がメンガースポンジ内にも存在することを証明した。^[11]

メンガースポンジは閉集合である。また有界集合でもあるため、ハイネ・ボレルの定理からコンパクト集合であることが分かる。ルベーグ測度は0である。連続路を含むため、無数集合である。

実験では、メンガースポンジのような構造を持つ立方体は、同じ材料で気孔のない立方体よりも5倍も衝撃を分散できることも示されました。 ^[12]

正式な定義

正式には、メンガースポンジは次のように定義できます（積集合を使用）。

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

単位立方体は どこにあり、${\displaystyle M_{0}}$

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\left({\begin{array}{r}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}\,\,(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{そして最大でも }}i,j,k{\text{ のうち 1 つが 1 に等しい}}\end{array}}\right)\right\}.}$

メガメンガー

メガメンガーは、ロンドン大学クイーン・メアリー校のマット・パーカーとジェームズ・マディソン大学のローラ・タールマンが先駆者となった、世界最大のフラクタルモデルの構築を目指したプロジェクトです。各小さな立方体は6枚の折り畳まれた名刺を連結して作られ、レベル4のスポンジは合計96万枚の名刺で構成されています。外面は、より美しい外観となるよう、シェルピンスキーカーペットのデザインが印刷された紙または段ボール製のパネルで覆われています。 ^[13] 2014年には、レベル3のメンガースポンジが20個構築され、これらを組み合わせることで分散型レベル4のメンガースポンジが構成されました。^[14]

• 
  バース大学のメガメンジャーの一人
• 
  2015年のケンブリッジ科学フェスティバルで、ケンブリッジレベル3メガメンガーの中心から見たテトリックスの模型

類似フラクタル

エルサレムキューブ

エルサレム・キューブは、2011年にエリック・ベアードによって初めて記述されたフラクタル物体です。立方体にギリシャ十字型の穴を再帰的に開けることで作成されます。 ^{[15] [16]}構造はメンガー・スポンジに似ていますが、2つの異なるサイズの立方体で構成されています。名前は、立方体の表面がエルサレム十字の模様に似ていることに由来しています。^[17]

エルサレム キューブの構築は次のように説明できます。

1. キューブから始めましょう。
2. 立方体の各面を十字に切り、元の立方体の角に 8 個の立方体 (ランク +1) を残し、ランク +1 の立方体の間に元の立方体の端の中央に 12 個の小さい立方体 (ランク +2) を残します。
3. ランク 1 と 2 のキューブでもこのプロセスを繰り返します。

これを無限回繰り返すと、エルサレム キューブが生成されます。

N 階の立方体の辺の長さは、N+1 階の立方体 2 個と N+2 階の立方体の辺の長さに等しいため、スケーリング係数は を満たす必要があり、したがって、フラクタルは有理格子上の点を使用して構築できないことを意味します。 ${\displaystyle k^{2}+2k=1}$ ${\displaystyle k={\sqrt {2}}-1}$

N階の立方体はN+1階の立方体8個とN+2階の立方体12個に分割されるため、ハウスドルフ次元は を満たす必要がある。正確な解は ${\displaystyle 8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

これは約2.529である

メンガースポンジと同様に、エルサレム立方体の面は、同じスケール係数を持つフラクタル^[17]である。この場合、ハウスドルフ次元はを満たす必要がある。厳密解は ${\displaystyle 4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1}$

${\displaystyle d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}}$

これは約1.786である

• 
  エルサレムキューブの3番目の反復
• 
  3Dプリントされたエルサレムキューブの模型

その他

シェルピンスキー・メンガースノーフレーク

• モーズリースノーフレークは、角が再帰的に削除された立方体ベースのフラクタルです。^[18]
• テトリックスは、四面体に配置された4つの小さなコピーから作られた四面体ベースのフラクタルです。^[19]
• シェルピンスキー＝メンガーのスノーフレークは、立方体をベースにしたフラクタルであり、8つのコーナーキューブと1つの中心キューブが、下から上へと段階的に変化していくたびに保持されます。この特異な3次元フラクタルは、平面のような本来2次元の物体のハウスドルフ次元、すなわち⁠ログ9/ログ3⁠ =2

参照

• カンターキューブ
• コッホ・スノーフレーク
• ハウスドルフ次元によるフラクタル一覧
• シェルピンスキ絨毯
• シェルピンスキー四面体
• シェルピンスキー三角形

参考文献

1. ベック、クリスチャン、シェーグル、フリードリヒ (1995). カオス系の熱力学：入門. ケンブリッジ大学出版局. p. 97. ISBN 9780521484510。
2. ブンデ、アーミン、ハヴリン、シュロモ (2013). 『フラクタルと科学』 シュプリンガー. p. 7. ISBN 9783642779534。
3. メンガー、カール (2013). 『ウィーン学団と数学コロキウムの回想録』 シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 11. ISBN 9789401111027。
4. カール、メンガー (1928)、寸法理論、BG Teubner、OCLC  371071
5. カール、メンガー (1926)、「Allgemeine Räume und Cartesische Räume. I.」、アムステルダム科学アカデミーへの通信英語訳は、エドガー、ジェラルド・A.編（2004年）『フラクタルの古典』『非線形性の研究』ウェストビュー・プレス、アドバンスト・ブック・プログラム、ボルダー、コロラド州、ISBNに転載されている。 978-0-8133-4153-8、MR  2049443
6. Wolfram Demonstrations Project、メンガースポンジの体積と表面積
7. ブリティッシュコロンビア大学科学数学教育研究グループ、数学幾何学：メンガースポンジ
8. チャン、ケネス（2011年6月27日）「メンガースポンジの謎」ニューヨーク・タイムズ。 2017年5月8日閲覧– NYTimes.com経由。
9. "A299916 - OEIS". oeis.org . 2018年8月2日閲覧。
10. クイン, ジョン・R. (2013). 「縮約写像原理の応用」. カーフィ, デイヴィッド; ラピダス, ミシェル・L.; ピアース, エリン・PJ; ヴァン・フランケンホイセン, マキエル (編).純粋数学および応用数学におけるフラクタル幾何学と力学系. II. 応用数学におけるフラクタル. 現代数学. 第601巻. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp.  345– 358. doi :10.1090/conm/601/11957. ISBN 978-0-8218-9148-3. MR  3203870。351ページの例2を参照。
11. バーバー、グレゴリー (2024年11月26日). 「10代の数学者が驚異的なフラクタルを通して結び目を解く」. Quanta Magazine . 2024年11月29日閲覧。
12. Dattelbaum, Dana M.; Ionita, Axinte; Patterson, Brian M.; Branch, Brittany A.; Kuettner, Lindsey (2020-07-01). 「界面支配型多孔質構造による衝撃波消散」. AIP Advances . 10 (7): 075016. Bibcode :2020AIPA...10g5016D. doi : 10.1063/5.0015179 .
13. Tim Chartier (2014年11月10日). 「100万枚の名刺が数学の挑戦を生む」HuffPost . 2015年4月7日閲覧。
14. “メガメンジャー” . 2015 年 2 月 15 日に取得。
15. ロバート・ディカウ (2014-08-31)。 「クロスメンジャー（エルサレム）キューブフラクタル」。ロバート・ディカウ。2017-05-08に取得。
16. Eric Baird (2011年8月18日). 「エルサレムキューブ」. Alt.Fractals . 2013年3月13日閲覧。、雑誌Tangente 150号「フラクタルアート」（2013年）45ページに掲載。
17. Eric Baird (2011年11月30日). 「エルサレム広場」. Alt.Fractals . 2021年12月9日閲覧。
18. ウェイド、リジー. 「49,000枚の名刺から作るフラクタルアート」. Wired . 2017年5月8日閲覧。
19. W., Weisstein, Eric. 「Tetrix」. mathworld.wolfram.com . 2017年5月8日閲覧。

さらに読む

• イワニエツ、タデウシュ、マーティン、ガヴェン(2001). 『幾何関数論と非線形解析』 オックスフォード数学モノグラフ. クラレンドン・プレス オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-850929-5. MR  1859913。。
• 周, 李 (2007). 「問題11208：メンガースポンジの彩色数」アメリカ数学月刊誌. 114 (9): 842. JSTOR  27642353.

外部リンク

• Wolfram MathWorldのMengerスポンジ
• ジャンニーン・モーズリー博士による「名刺メンガースポンジ」 - フィギュリング研究所でこの巨大な折り紙フラクタルに関するオンライン展示
• インタラクティブなメンガースポンジ
• インタラクティブなJavaモデル
• パズルハント — メンガー・シェルピンスキースポンジを使ってゼノンのパラドックスを説明するビデオ
• SunFlowでレンダリングされたメンガー球
• ポストイット メンガースポンジ – ポストイットで作られたレベル3のメンガースポンジ
• メンガースポンジの謎。斜めに切ると星が現れます
• OEISシーケンスA212596（折り紙でレベルnのメンガースポンジを作るのに必要なカードの数）
• 2人の「数学者」による、ウールリー・ソウツ レベル2 メンガー・スポンジ
• ディッカウ、R.：エルサレム・キューブ――さらなる議論
• ミラー、P.：3Dディスプレイおよびレンダリングシステムのストレステストのための明示的に定義されたメンガースポンジの議論