メタプレクティック構造

微分幾何学において、メタプレクティック構造は、向き付け可能なリーマン多様体上のスピン構造のシンプレクティック類似体です。シンプレクティック多様体上のメタプレクティック構造は、メタプレクティック表現を介してメタプレクティック構造に関連付けられたヒルベルト空間束であるシンプレクティックスピノル束を定義することを可能にし、微分幾何学における シンプレクティックスピノル場の概念を生み出します

シンプレクティックスピン構造は数理物理学、特に量子場の理論に広く応用されており、シンプレクティックスピン幾何学とシンプレクティックディラック作用素がシンプレクティック幾何学とシンプレクティック位相幾何学において有用なツールとなるという考えを確立する上で不可欠な要素となっている。また、微分幾何学、代数位相幾何学、K理論においても純粋に数学的な関心を集めており、シンプレクティックスピン幾何学の基礎を形成している。

正式な定義

シンプレクティック多様体上のメタプレクティック構造 ^[1]は、シンプレクティックフレームバンドルの二重被覆に関する同変リフトである。言い換えれば、ペアが主バンドル上のメタプレクティック構造である場合、 ${\displaystyle (M,\omega)}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$ ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$

a)は 上の主-バンドルであり、${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle M}$

b )は、​​${\displaystyle F_{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to {\mathbf {R} }\,}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }}$ そしてすべてのために${\displaystyle F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} }q)=F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} })\rho (q)}$ ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

主束は上のメタプレクティックフレームの束とも呼ばれます。 ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$

同じシンプレクティック多様体上の2つのメタプレクティック構造とが同値であるとは、 -同変写像が存在し、 ${\displaystyle ({\mathbf {P} _{1}},F_{\mathbf {P} _{1}})}$ ${\displaystyle ({\mathbf {P} _{2}},F_{\mathbf {P} _{2}})}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle f\colon {\mathbf {P} _{1}}\to {\mathbf {P} _{2}}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$ そしてすべてのために${\displaystyle f({\mathbf {p} }q)=f({\mathbf {p} })q}$ ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

もちろん、この場合、 と は、与えられたシンプレクティック多様体 のシンプレクティックフレーム-バンドルの 2 つの同値な二重被覆です。 ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$ ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$ ${\displaystyle {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

妨害

すべてのシンプレクティック多様体は 必然的に偶数次元かつ向き付け可能であるため、メタプレクティック構造の存在に対する位相的な障害は、リーマンスピン幾何学における場合と全く同じであることが証明できる。^[2]言い換えれば、シンプレクティック多様体がメタプレクティック構造を許容する場合と、 の第二スティフェル・ホイットニー類が消滅する場合とで同値である。実際、第一チャーン類の法還元は第二スティフェル・ホイットニー類である。したがって、がメタプレクティック構造を許容する場合と、 が偶数である場合とで同値である。すなわち、 がゼロである場合とで同値である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} })}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

この場合、上のメタプレクティック構造の同型類は、 -係数を持つの最初のコホモロジー群によって分類されます。 ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$

多様体は方向付けられていると仮定されるため、の最初のStiefel-Whitney クラスも消滅します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$

例

メタプレクティック構造を許容する多様体

• 任意の向き付け可能な多様体の位相空間${\displaystyle (T^{\ast }N,\theta )\,,}$ ${\displaystyle N}$
• 複素射影空間は単連結なので、そのような構造は一意でなければなりません。${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,,}$ ${\displaystyle \,k\in {\mathbb {N} }_{0}\,.}$ ${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,}$
• グラスマン等${\displaystyle Gr(2,4)\,,}$

参照

• メタプレクティック群
• シンプレクティックフレームバンドル
• シンプレクティック群
• シンプレクティックスピノル束

注釈

1. ハーバーマン、カタリーナ; ハーバーマン、ルッツ (2006)、『シンプレクティック・ディラック作用素入門』、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-33420-035ページ
2. M. Forger, H. Hess (1979). 「普遍的メタプレクティック構造と幾何量子化」(PDF) . Commun. Math. Phys . 64 : 269–278 . doi :10.1007/bf01221734

参考文献

• ハーバーマン、カタリーナ、ハーバーマン、ルッツ（2006年）、シンプレクティック・ディラック作用素入門、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-33420-0