メートル法投影

数学において、計量射影とは、計量空間の各要素を、ある固定された部分空間内のその要素に最も近い点の集合に写像する関数である。 ^{[1] [2]}

正式な定義

正式には、距離計量dを持つ計量空間Xと、Xの固定部分集合Mとする。このとき、 Mに関連付けられた計量射影p _Mは、 XからMへの次の集合値関数である。

${\displaystyle p_{M}(x)=\arg \min _{y\in M}d(x,y)}$

同様に:

${\displaystyle p_{M}(x)=\{y\in M:d(x,y)\leq d(x,y')\forall y'\in M\}=\{y\in M:d(x,y)=d(x,M)\}}$

集合内の要素は、最良近似元とも呼ばれます。この用語は制約付き最適化に由来します。つまり、解がMの部分集合でなければならないという制約の下で、 xに近い要素を見つけたいということです。関数p _Mは、最良近似演算子とも呼ばれます。^[要出典]${\displaystyle \arg \min _{y\in M}d(x,y)}$

チェビシェフ集合

一般に、p _Mは集合値を持つ。つまり、任意のxに対して、xへの最短距離が等しい要素がM内に複数存在する可能性がある。 p _Mが単値である特殊なケースでは、集合Mはチェビシェフ集合と呼ばれる。例えば、 ( X , d ) がユークリッド空間（ユークリッド距離を持つR ⁿ）である場合、集合Mがチェビシェフ集合となる必要十分条件は、それが閉かつ凸集合であることである。^[3]

連続

Mが空でないコンパクト集合の場合、計量射影p _Mは上半連続となるが、下半連続とは限らない。しかし、Xがノルム空間でMが有限次元チェビシェフ集合の場合、p _M は連続となる。^[要出典]

さらに、Xがヒルベルト空間でMが閉凸空間である場合、p _Mはリプシッツ連続でリプシッツ定数1で ある。 ^{[引用が必要]}

アプリケーション

計量射影は、関数解析における理論的な問題の調査と実用的な近似手法の両方に使用されます。^[4]また、制約付き最適化にも使用されます。^[5]

外部リンク

• 凸集合への射影により距離は常に減少しますか?

参考文献

1. 「メトリック投影 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2024年6月13日閲覧。
2. Deutsch, Frank (1982-12-01). 「計量射影のための線形選択」 . Journal of Functional Analysis . 49 (3): 269– 292. doi :10.1016/0022-1236(82)90070-2. ISSN  0022-1236.
3. 「チェビシェフ集合 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2024年6月13日閲覧。
4. Alber, Ya I. (1993-11-24),バナッハ空間における計量演算子と一般化射影演算子：特性と応用, arXiv : funct-an/9311001 , Bibcode :1993funct.an.11001A
5. Gafni, Eli M.; Bertsekas, Dimitri P. (1984年11月). 「制約付き最適化のための2メトリック射影法」. SIAM Journal on Control and Optimization . 22 (6): 936– 964. doi :10.1137/0322061. hdl : 1721.1/2817 . ISSN  0363-0129.