距離空間は部分空間を狙う

数学において、その部分空間を対象とする距離空間は、直接的な幾何学的意味を持つ圏的構成である。これはまた、距離空間の圏の基本的（単射的）対象である距離包絡線（あるいはタイトスパン）の構築に向けた有用なステップでもある。

( Holsztyński 1966 )に従って、部分空間Xを対象とする距離空間Yの概念が定義されます。

非公式な紹介

非公式には、地形Yとその一部Xを想像してください。 Yのどこにでも狙撃手を置き、Yの別の場所にリンゴを置き、狙撃手が発砲すると、弾丸はリンゴを貫通して必ずXの点に当たるか、少なくともXの点の任意の近くを飛びます。この場合、 YはXに向けられていると言えます。

演繹的には、与えられたXに対して、 Xを目標とする超空間Yは任意に大きく、あるいは少なくとも巨大になり得るように思えるかもしれない。しかし、これは当てはまらないことが分かる。Xに等長な部分空間を目標とする空間の中には、（等長性を除いて）唯一の普遍空間Aim( X ) が存在する。これは、標準的な等長埋め込みの意味で、 X（の等長像）を目標とする他の任意の空間を含む。また、任意のコンパクト計量空間Xの特殊なケースにおいては、任意の計量空間YのXを目標とするすべての有界部分空間は完全に有界である（すなわち、その計量完備化はコンパクトである）。

定義

を計量空間とする。をの部分集合とし、 （から への計量制限を持つ集合）が の計量部分空間となるようにする。すると、 ${\displaystyle (Y,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,d|_{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y,d)}$

定義空間が を目指す場合、のすべての点、および任意の実数 に対して、の点が存在し、 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |d(p,y)-d(p,z)|>d(y,z)-\epsilon .}$

を の（非収縮的な）実数値計量写像全体の空間とする。定義 ${\displaystyle {\text{Met}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Aim}}(X):=\{f\in \operatorname {Met} (X):f(p)+f(q)\geq d(p,q){\text{すべての}}p,q\in X\}に対して。}$

それから

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|<\infty }$

任意の に対して は上の計量である。さらに、（ただし ）はの への等長埋め込みである。これは本質的に、有界計量空間のへのクラトフスキー・ヴォイディスワフスキー埋め込みの一般化である。ここでは任意の計量空間（有界または非有界）を考える。空間が を対象としていることは明らかである。 ${\displaystyle f,g\in {\text{目標}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{目標}}(X)}$ ${\displaystyle \delta _{X}\colon x\mapsto d_{x}}$ ${\displaystyle d_{x}(p):=d(x,p)\,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {目標} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {目標} (X)}$ ${\displaystyle \delta_{X}(X)}$

プロパティ

を等長埋め込みとする。すると、自然な計量写像が存在し、次のようになる： ${\displaystyle i\colon X\to Y}$ ${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {目標} (X)}$ ${\displaystyle j\circ i=\delta _{X}}$

${\displaystyle (j(y))(x):=d(x,y)\,}$

すべてのおよびについて。 ${\displaystyle x\in X\,}$ ${\displaystyle y\in Y\,}$

定理上記の空間Yは、自然なマッピングが等長埋め込みである場合に限り、サブスペースXに向けられます。${\displaystyle j\colon Y\to \operatorname {目標} (X)}$

したがって、Xを対象とするすべての空間は、いくつかの追加の（必須の）カテゴリ要件を満たした状態で、 Aim( X )に等角的にマッピングできることになります。

空間Aim( X )は単射( Aronszajn -Panitchpakdiの意味で超凸)である - Aim( X )を計量部分空間として含む計量空間Mが与えられたとき、 MからAim( X )への標準的な(明示的な)計量後退が存在する( Holsztyński 1966 )。

参考文献

• Holsztyński, W. (1966)、「部分空間を対象とする計量空間について」、Prace Mat.、10 : 95–100、MR0196709