マイクロストリップ

マイクロストリップ構造の断面。導体Aは誘電体基板CによってグランドプレーンDから分離されています。上部の誘電体Bは通常、空気です。

マイクロストリップは、導体が基板と呼ばれる誘電体層によってグランドプレーンから分離された、あらゆる技術で製造可能な電気伝送線路の一種です。マイクロストリップ線路は、マイクロ波周波数の信号を伝送するために使用されます。

典型的な実現技術としては、プリント基板（PCB）、誘電体層でコーティングされたアルミナ、あるいはシリコン、あるいはその他の類似技術が挙げられます。アンテナ、カプラ、フィルタ、電力分配器などのマイクロ波部品は、基板上の金属化パターンとしてデバイス全体が存在するマイクロストリップから形成できます。したがって、マイクロストリップは従来の導波管技術よりもはるかに安価であり、はるかに軽量でコンパクトです。マイクロストリップは、ストリップライン（1952年12月のIRE議事録でGriegとEngelmannによって初めて発表された）の競合としてITT研究所によって開発されました。 ^{[ 1 ]}

導波管と比較したマイクロストリップの欠点は、一般的に電力処理能力が低く、損失が大きいことです。また、導波管とは異なり、マイクロストリップは通常密閉されていないため、クロストークや意図しない放射の影響を受けやすくなります。

コストを最低限に抑えるには、マイクロストリップデバイスを通常のFR-4（標準PCB）基板上に構築することが考えられます。しかし、FR4の誘電損失はマイクロ波周波数において高すぎることが多く、誘電率も十分に厳密に制御されていないことがしばしばあります。これらの理由から、アルミナ基板が一般的に使用されています。モノリシック集積化の観点からは、集積回路／モノリシックマイクロ波集積回路技術を備えたマイクロストリップは実現可能かもしれませんが、その性能は利用可能な誘電体層と導体の厚さによって制限される可能性があります。

マイクロストリップ ラインは、高速デジタル PCB 設計でも使用されます。高速デジタル PCB 設計では、歪みを最小限に抑え、高いクロス トークと放射を回避しながら、アセンブリのある部分から別の部分に信号をルーティングする必要があります。

マイクロストリップは、平面伝送線路の多くの形式の 1 つであり、他にはストリップラインやコプレーナ導波路などがあり、これらすべてを同じ基板上に統合することが可能です。

差動マイクロストリップ（マイクロストリップラインのバランス信号ペア）は、 DDR2 SDRAMクロック、USB高速データライン、PCI Expressデータライン、LVDSデータラインなどの高速信号によく使用され、多くの場合、すべて同じPCB上で使用されます。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ほとんどのPCB設計ツールは、このような差動ペアをサポートしています。^{[ 5 ] [ 6 ]}

不均一性

マイクロストリップ線路によって運ばれる電磁波は、一部は誘電体基板内に、一部は基板上の空気中に存在します。一般に、基板の誘電率は空気の誘電率とは異なり（そして空気の誘電率よりも大きい）、電磁波は不均質な媒体中を伝搬します。その結果、伝搬速度は基板中の電波速度と空気中の電波速度の間になります。この挙動は、通常、マイクロストリップの実効誘電率によって説明されます。実効誘電率は、同等の均質媒体（つまり、同じ伝搬速度をもたらす媒体）の誘電率です。

不均質な媒体のさらなる結果は次のとおりです。

• この線路は真のTEM波を伝播しません。非ゼロ周波数では、電界と磁界の両方が縦方向の成分を持ちます（ハイブリッドモード）。^{[ 7 ]}しかし縦方向の成分は小さいため、支配的なモードは準TEMと呼ばれます。^{[ 8 ]}
• この線路は分散性がある。周波数が増加すると、実効誘電率は基板の誘電率に向かって徐々に上昇し、位相速度は徐々に低下する。^{[ 7 ] [ 9 ]}これは非分散性の基板材料の場合でも当てはまる（基板の誘電率は通常、周波数の増加とともに低下する）。
• 線路の特性インピーダンスは周波数によってわずかに変化します（これも非分散性基板材料の場合でも同様です）。非TEMモードの特性インピーダンスは明確に定義されておらず、使用される正確な定義に応じて、マイクロストリップのインピーダンスは周波数の上昇に伴って上昇、下降、または下降してから上昇のいずれかになります。^{[ 10 ]}特性インピーダンスの低周波限界は準静的特性インピーダンスと呼ばれ、すべての特性インピーダンスの定義において同じです。
• 波動インピーダンスは線路の断面にわたって変化します。
• マイクロストリップラインは放射しており、ストリップラインでは純粋なリアクタンスとなるスタブやポストなどの不連続要素は、そこからの放射により小さな抵抗成分を持ちます。^{[ 11 ]}

特性インピーダンス

マイクロストリップ線路の準静的特性インピーダンスの閉形式の近似式はWheelerによって開発された：^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),}$

ここで、w _effは実効幅であり、これはストリップの実際の幅に、金属化の非ゼロの厚さを考慮した補正を加えたものである。

${\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}$

ここで、Z ₀は自由空間のインピーダンス、ε _rは基板の比誘電率、 wはストリップの幅、hは基板の厚さ（「高さ」）、tはストリップ金属化の厚さです。

この式は、次の 3 つの異なるケースで正確な解に漸近します。

1. w ≫ h、任意のε _r（平行板伝送線路）、
2. w ≪ h、 ε _r = 1（グランドプレーン上の配線）、および
3. w ≪ h , ε _r ≫ 1。

その他のほとんどの場合では、インピーダンスの誤差は1%未満で、常に2%未満であると主張されています。^{[ 14 ]}すべてのアスペクト比を1つの式でカバーすることにより、Wheeler 1977はWheeler 1965 ^{[ 13 ]}を改良しました。Wheeler 1965 [13]はw / h > 3.3に対して1つの式を提供し、 w / h ≤ 3.3に対して別の式を提供しました（したがって、 w / h = 3.3で結果に不連続が生じます）。

ハロルド・ウィーラーは「マイクロストリップ」と「特性インピーダンス」という用語を嫌い、論文ではそれらを使用することを避けました。

特性インピーダンスに関する近似式は、他の著者によっても数多く提案されています。しかし、そのほとんどは、限られたアスペクト比の範囲にしか適用できないか、あるいは範囲全体を部分的にしかカバーできません。

特に、ホイーラー^{[ 12 ] [ 13 ]}を修正したハマースタッド^{[ 15 ]}によって提案された一連の方程式は、おそらく最も頻繁に引用されている。

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}$

ここでεeff_は実効誘電率であり、次のように近似される：^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}$

金属製の囲いの効果

マイクロストリップ回路は、用途によっては金属製の筐体を必要とする場合がある。筐体の上部カバーがマイクロストリップ内に侵入すると、プレートとフリンジ容量のための追加経路のために、マイクロストリップの特性インピーダンスが低下する可能性がある。このような場合、マイクロストリップの空気中（ε _r = 1）における特性インピーダンスを調整するための式が開発されている。ここで、、および は空気中におけるカバーされていないマイクロストリップのインピーダンスである。 の式は金属カバーを考慮して調整することができ、次式を用いて誘電体を含むZ _{o を}計算するために使用できる。 、ここで は金属カバーを考慮して調整された である。有限ストリップ厚補正は、すべての空気計算とすべての誘電体計算を用いて、上記のと の両方の計算に を代入することで計算できる。以下の式において、c はカバーの高さ、つまり誘電体の上部から金属カバーまでの距離である。^{[ 17 ]}${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle w_{\textrm {eff}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}$

の方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=\tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}$ 。

の式は ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-\tanh {\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-\tanh ^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$ 。

の式は ${\displaystyle Z_{om}}$

${\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}$ 。

以下の式は 1% 以内の精度であるとされています。

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}$ 。

サスペンドおよび反転マイクロストリップ

誘電体層が空気層によって下部グランドプレーン上に吊り下げられている場合、その基板は吊り下げ基板と呼ばれ、これはページ右上のマイクロストリップの図で層Dが非ゼロであることに似ています。従来のマイクロストリップに比べて吊り下げ基板を使用する利点は、分散効果の低減、設計周波数の向上、ストリップ形状の広さ、構造的不正確さの低減、より正確な電気特性、より高い特性インピーダンスの実現です。欠点は、吊り下げ基板が従来のマイクロストリップ基板よりも大きく、製造がより困難なことです。導体が誘電体層の上ではなく下に配置されている場合、そのマイクロストリップは逆マイクロストリップと呼ばれます。^{[ 18 ] [ 19 ]}

特性インピーダンス

プラマニックとバーティアは、サスペンド型および反転型マイクロストリップの特性インピーダンス（Zo）と実効誘電率（Ere）を近似するために使用される一連の式を文書化しました。^{[ 18 ]} これらの式は参考文献から直接アクセスできるため、ここでは繰り返しません。

ジョン・スミスは、電荷分布のフーリエ級数展開を用いて、吊り下げられた基板内の結合マイクロストリップ線路アレイの偶モードおよび奇モードのフリンジ容量を求める方程式を導き出し、その関数を実行する1960年代風のFortranコードを提供しています。スミスの研究については、以下のセクションで詳しく説明します。単一のマイクロストリップ線路は、無限に広いギャップを持つ結合マイクロストリップのように動作します。したがって、スミスの方程式は、他の結合マイクロストリップが単一のマイクロストリップの電気的特性に大きな影響を与えなくなるような大きなギャップ値を方程式に入力することで、単一のマイクロストリップ線路のフリンジ容量を計算するために使用できます。この値は、通常、基板の高さの7倍以上です。反転したマイクロストリップは、カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を入れ替えることで計算できます。金属筐体のないマイクロストリップは、金属カバーの高さに大きな変数を入力することで計算できます。金属カバーがマイクロストリップの電気的特性に大きな影響を与えなくなるような大きなギャップ値（通常、基板上の導体の高さの50倍以上）です。反転マイクロストリップは、金属カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を入れ替えることによって計算することができる。^{[ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

ここで、B、C、および D は、ページの右上に示されているマイクロストリップの形状によって定義されます。

懸架型または反転型マイクロストリップのZoとEreの値を計算するには、マイクロストリップ線路の各辺のフリンジ容量にプレート容量を加算して、誘電体の場合（εr）と空気の場合（_εra ）の_両方の合計容量を計算し、その結果を使用してZoとEreを次のように計算します。^{[ 22 ] [ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}$

曲げ

マイクロストリップで完全な回路を構築するには、ストリップの経路を大きく曲げる必要がある場合が多い。マイクロストリップを急激に90°に曲げると、ストリップ上の信号の大部分が反射して発生源に戻り、曲げの周りを透過する信号はごく一部となる。反射率の低い曲げを実現する方法の一つは、ストリップの経路をストリップ幅の少なくとも3倍の半径の円弧状に曲げることである。^{[ 23 ]}しかし、はるかに一般的な手法であり、基板面積を小さく抑える方法として、斜め曲げが挙げられる。

マイクロストリップの90°マイター曲げ。マイター率は100 x / dです。

第一近似として、急激な曲げは、グランドプレーンとストリップの曲げ部の間にシャント容量として作用します。曲げ部をマイター加工することでメタライゼーション面積が縮小され、余分な容量が除去されます。パーセンテージマイターとは、曲げ部の内側と外側の角の間の対角線のうち、切り取られた部分の割合です。

広範囲のマイクロストリップ形状に対する最適なマイターは、ドゥヴィルとジェームズによって実験的に決定されている。^{[ 24 ]}彼らは、最適なパーセンテージマイターの適合度は次のように与えられることを発見した。

${\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}$

ただし、w / h ≥ 0.25かつ基板の誘電率ε _r ≤ 25となります。この式はε _rとはまったく関係ありません。Douville と James が証拠を示している実際のパラメータの範囲は、0.25 ≤ w / h ≤ 2.75および2.5 ≤ ε _r ≤ 25です。彼らは、式で与えられたものから 4% (元のdの) 以内のパーセンテージマイターに対して、 VSWRが 1.1 より良好 (つまり、リターンロスが -26 dB より良好) であると報告しています。 w / hが最小の 0.25 の場合、パーセンテージマイターは 98.4% となり、ストリップはほぼ切断された状態になります。

曲線曲げと斜め曲げの両方において、電気長はストリップの物理的な経路長よりもいくらか短くなります。

不連続接合

マイクロストリップの不連続性には、上記のような曲がり（コーナーとも呼ばれる）のほか、開放端、ビアホール（グランドプレーンへの接続）、幅の段差、マイクロストリップ間の隙間、 T字型接合、交差接合などがある。これらの接合のモデル開発には広範な研究が行われており、Quiteユニバーサル回路シミュレータ（QUCS）などの公開文献にも記載されている。^{[ 25 ]}

結合マイクロストリップ

マイクロストリップ線路は、他のマイクロストリップ線路に十分近接して敷設される場合があり、その結果、線路間に電気的結合相互作用が生じる可能性があります。これは、線路の敷設時に意図せず発生する場合もあれば、所望の伝達関数を形成するために意図的に発生する場合や、分布定数フィルタを設計するために意図的に発生する場合もあります。2本の線路の幅が同じ場合、結合伝送線路の偶モード解析と奇モード解析 によって特性評価できます。

特性インピーダンス

偶モードおよび奇モードの特性インピーダンス（Zoe、Zoo）および実効誘電率（εree、εreo）の閉形式の式は、規定の条件下_{で定義された精度で開発されている。これらの式}は参考文献^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}から入手可能であり、ここでは繰り返さない。

フーリエ級数の解

ジョン・スミスは、金属カバー付き結合マイクロストリップ線路アレイ（サスペンション付きマイクロストリップを含む）の偶モードおよび奇モードのフリンジ容量の方程式を電荷分布のフーリエ級数展開を用いて導き出し、その関数を実行する1960年代スタイルのFortranコードを提供している。カバーなしのマイクロストリップは、カバーの高さをグランドプレーンからの導体高さの50倍以上とすることでサポートされる。反転マイクロストリップは、カバーの高さとサスペンションの高さの変数を逆にすることでサポートされる。スミスの方程式は、導体幅、導体間隔、誘電率、カバーの高さ、および誘電体サスペンションの高さのあらゆる値に対して理論的に有効であるという利点がある。^{[ 20 ]}

スミス方程式には、楕円積分比の逆関数 を解かなければならないというボトルネック（429ページの式37）があります。ここでは第一種完全楕円積分、は既知、 は解かなければならない変数です。スミスは、の解に収束する精巧な探索アルゴリズムを提供しています。しかし、ニュートン法や補間表を用いると、 のより迅速で包括的な解が得られる場合があります。 ${\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}$ ${\displaystyle K(,)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

非結合マイクロストリップの偶モードおよび奇モードのZoおよびε _re値を計算するには、プレート容量をマイクロストリップ内部の偶モードおよび奇モードのフリンジ容量と、外側の非結合フリンジ容量に加算します。非結合フリンジ容量は、導体間のギャップまたは分離値を無限大とすることで計算できます。これは、グランドプレーンからの導体高さの7倍以上の値で近似できます。次に、誘電体の場合（ε _r）および空気の場合（ε _r =1）について、偶モードおよび奇モードのZoおよびε _reを偶モードおよび奇モードの容量の関数として計算します。 ^{[ 22 ] [ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}}$ 。

ジョン・スミスの詳細な解決策

スミスのフーリエ級数は、楕円積分比 の逆解kを必要とします。ここで、K () は第一種完全楕円積分です。スミスはk を求めるための精巧な探索アルゴリズムを提供していますが、ニュートン法 を用いることでより高速かつ正確な収束を達成できる場合があり、あるいは補間表を用いることもできます。k が0および1に近づくにつれて は極めて非線形になるため、関数 に対してはニュートン法の方が適しています。値k _lgを解くと、kは によって得られます。 ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}$ ${\displaystyle k=e^{k_{lg}}}$

ニュートン法を用いてk _lgを解く式は、標準的な微分規則を用いて以下のように表されます。楕円積分の微分については、楕円積分のページで解説しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}$

k _lgおよびkを見つけるための補間表を以下に示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}&k_{lg}{\text{ and }}k{\text{ as an inverse function of }}{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle F(x)={\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}}$	${\displaystyle k_{lg}=ln(k)=\ln {\big (}F^{-1}(x){\big )}}$	${\displaystyle k=F^{-1}(x)=e^{k_{lg}}}$
440.643 90	-690.77552	1. × 10 ^−300
30.199 966	−46.051 702	1. × 10 ^−20
14.075 383	−20.723 266	1. × 10 ^−9
8.211 8984	−11.512 925	1. × 10 ^−5
5.280 1558	−6.907 7553	0.001
3.814 2689	−4.605 1702	0.01
2.346 8155	−2.302 5851	0.1
1.900 6702	−1.609 4379	0.2
1.279 2616	−0.693 147 18	0.5
1	−0.346 573 59	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$
< 1	${\displaystyle ln{\bigg (}{\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}{\bigg )}}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}}$
0.877 437 66	−0.223 143 55	0.8
0.725 534 32	−0.105 360 52	0.9
0.470 326 97	−0.010 050 336	0.99
0.349 582 59	−0.001 000 5003	0.999
0.197 6472	−1.000 0005 × 10 ^−6	0.999 999
0.137 7727	−9.999 9997 × 10 ^−10	1 −10 ^−9
0.085 791 287	−9.992 0072 × 10 ^−16	1 −10 ^−15

の値については 、表に示されている関係式を適用して、ニュートン法や補間法で使用する関数、または関数の線形性を最大化すると便利です。例えば、。 ${\displaystyle F(x)<1}$ ${\displaystyle k_{lg}}$ ${\displaystyle ln(k)}$ ${\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}$

スミスの研究に基づいて、楕円積分とヤコビ楕円関数^{[ 29 ]}を用いて偶数モードと奇数モードの全容量を計算する。スミスは、楕円関数のページにある3番目の高速ヤコビ楕円関数推定アルゴリズムを使用している。 ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}$

総静電容量を求めるには：^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

ここで、これはグランドプレーン上の導体の高さの 1 倍以上 で近似できます。${\displaystyle (G=\infty )}$ ${\displaystyle (G=7)}$

例と精度の比較

スミスは、フーリエ級数静電容量解の精度を当時公表された表と比較しています。 しかし、より現代的なアプローチは、偶数モードと奇数モードのインピーダンスおよび実効誘電率の結果を、ソネットなどの電磁気シミュレーションから得られる結果と比較することです。 以下の例は、次の条件下で実行されています。 B = 2.5 mm、C = 0.4 mm、D = 0.6 mm、W = 1.5 mm、G = 0.5 mm、Er = 12。ここで、B、C、および D は、ページの右上に表示されるマイクロストリップの形状によって定義されます。 この例では、最初に log( k ) の値を計算し、次にkを計算し、次にk、ε _{r 、基板の形状、および導体の形状を使用して静電容量を計算し、続いて偶数モードと奇数モードのインピーダンスと実効誘電率 (} Z _oe、Z _oo、ε _re 、およびε _ro )を計算します。

Sonnetシミュレーションは、4096 × 4096の高解像度グリッド解像度、各辺7 mmの基準面を用いて実行され、10 mmの長さに沿って結合線路をシミュレートします。Yパラメータの結果は、結合伝送線路のYパラメータ方程式を代数的に逆変換することにより、偶モードおよび奇モードのZ o およびε _rに変換されます。

楕円積分比と逆関数の結果

	有限のギャップ 0.5 mmの	無限のギャップ 7 mmで近似
${\displaystyle {\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}}$	1	4.25
ln(k)	−0.346 574	−5.289 60
け	0.707 106	0.005 043 80

静電容量の結果

	1メートルあたりの静電容量 誘電体付き	1メートルあたりの静電容量 空気で
Cプレート	26.2830 pF/m	18.5938 pF/m
Cf even	4.241 82  pF/m	2.676 72  pF/m
奇数を参照	104.822 pF/m	18.5938 pF/m
参照	26.5304 pF/m	8.115 05  pF/m
合計 C偶数	57.0552 pF/m	29.3856 pF/m
合計 C奇数	157.636 pF/m	44.3730 pF/m

John Smith の偶数モードと奇数モードのインピーダンスと有効誘電率の結果、および Sonnet emシミュレーションとの比較。

	スミス	ソネット	％ 違い
ゾーイ	81.4638	81.5178	0.0662%
動物園	39.8834	39.3512	1.35%
εリー	1.941 61	1.921 35	1.05%
εレオ	3.552 51	3.615 19	1.73%

非対称結合マイクロストリップ

2本のマイクロストリップ線路が結合が生じるほど近接しているものの、線路幅が対称でない場合、偶モード解析と奇モード解析は線路の特性評価に直接適用できません。この場合、線路は一般的に自己インダクタンス、相互インダクタンス、および容量によって特性評価されます。定義手法と式は参考文献に記載されています。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

複数の結合マイクロストリップ

場合によっては、複数のマイクロストリップ線路が結合することがあります。この場合、各マイクロストリップ線路は自己容量と、隣接していないマイクロストリップ線路を含む他のすべての線路との間のギャップ容量を持ちます。解析は上記の非対称結合の場合と同様ですが、容量行列とインダクタンス行列はNXN（Nは結合したマイクロストリップの数）のサイズになります。隣接していないマイクロストリップの容量は、有限要素法（FEM）を用いて正確に計算できます。^{[ 34 ] [ 35 ] [ 33 ]}

損失

マイクロストリップのシミュレーションでは、導体と誘電体からの損失による減衰が一般的に考慮されます。総損失はマイクロストリップの長さの関数であるため、減衰量は通常、単位長さあたりの減衰量で計算されます。総損失は減衰量×長さで計算され、減衰の単位はネーパーですが、アプリケーションによってはdB単位の減衰が使用される場合もあります。マイクロストリップの特性インピーダンス（Zo）、実効誘電率（Ere）、および総損失（）がすべて既知の場合、マイクロストリップは標準伝送線路としてモデル化できます。 ${\displaystyle \alpha l}$

導体損失

導体損失は導体材料の「比抵抗」または「抵抗率」によって定義され、文献では一般的に次のように表現されます。^{[ 36 ]} 各導体材料には、通常、それに関連する公表された抵抗率があります。例えば、一般的な導体材料である銅の公表された抵抗率は、${\displaystyle \rho }$ 1.68 × 10 ⁻⁸  Ω⋅m . ^{[ 37 ]} E. HammerstadとØ. Jensenは導体損失による減衰について次の式を提案した: ^{[ 38 ] [ 39 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}}$ そして

${\displaystyle R^{s}}$ =導体のシート抵抗

${\displaystyle K_{i}}$ = 電流分布係数

${\displaystyle K_{r}}$ =表面粗さによる補正項

${\displaystyle u_{o}}$ =真空透過率( )${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m}$

${\displaystyle \rho }$ =導体の比抵抗、または抵抗率

${\displaystyle \Delta }$ =基板の実効表面粗さ（rms）

${\displaystyle \delta }$ =皮膜深さ

${\displaystyle n_{o}}$ =真空中の波動インピーダンス（376.730 313 412 (59) Ω ^{‍ [40 ]} )

表面粗さを無視すると、式から が消えることが多くなることに注意してください。 ${\displaystyle K_{\text{r}}}$

^{一部の著者は、}シート抵抗Rsを計算するために、表皮深さの代わりに導体の厚さを使用しています。^{[ 41 ]} この場合、

${\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}$

ここでtは導体の厚さです。

誘電損失

誘電損失は誘電体材料の「誘電正接」によって定義され、文献では一般的に次のように表現されます。各誘電体材料には、通常、それに関連する誘電正接が公表されています。例えば、一般的な誘電体材料であるアルミナの誘電正接は、次のように公表されています。${\displaystyle tan\delta _{d}}$ 周波数に応じて0.0002から0.0003である。 ^{[ 42 ]} ウェルチとプラット、シュナイダーは、誘電損失による減衰について次の式を提案した。^{[ 43 ] [ 44 ] [ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$ 。

一般に、誘電損失は導体損失よりもはるかに小さいため、一部のアプリケーションでは無視されることがよくあります。

結合マイクロストリップ損失

結合マイクロストリップの損失は、特性インピーダンス、誘電率、および単線マイクロストリップの実効誘電率の解析と同じ偶数モードおよび奇数モード解析を用いて推定できます。結合線路の偶数モードと奇数モードはそれぞれ、対応する単線路のZoとEreから独立して計算された導体損失と誘電損失を持ちます。 ^{[ 45 ] [ 46 ]}

ウィーラーは導体間の距離を考慮した導体損失の解法を提案した。^{[ 45 ]} ここで、 ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$

h = グランドプレーン上の導体の高さ

S = 導体間の距離

W = 導体の幅

t = 導体の厚さ。

導体の間隔、厚さ、幅に関する偏微分はデジタルで計算でき ます。

参照

• 分散要素フィルタ
• スローウェーブカプラ
• Spurline、マイクロストリップノッチフィルタ

参考文献

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外部リンク

• マイクロ波百科事典におけるマイクロストリップ
• マイクロストリップ解析/合成計算機