最小エントロピー

情報理論における最小エントロピーは、レーニイエントロピー族の中で最小のものであり、一連の結果の予測不可能性を測定する最も保守的な方法、すなわち最も起こりそうな結果の確率の負の対数に対応する。様々なレーニイエントロピーは、一様分布の場合はすべて等しいが、非一様分布の予測不可能性を測定する方法は異なる。最小エントロピーは、通常のエントロピーまたはシャノンエントロピー（結果の平均的な予測不可能性を測定する）よりも大きくなることはなく、また、通常のエントロピーまたはシャノンエントロピーは、確率がゼロでない結果の数の対数として定義されるハートレーエントロピーまたは最大エントロピーよりも大きくなることはない。

古典的なシャノンエントロピーとその量子一般化であるフォン・ノイマンエントロピーと同様に、最小エントロピーの条件付きバージョンを定義することができます。条件付き量子最小エントロピーは、条件付き量子エントロピーのワンショット、あるいは保守的な類似物です。

条件付き情報測度を解釈するために、アリスとボブが二部量子状態 を共有すると仮定します。アリスは系 にアクセスでき、ボブは系 にアクセスできます。条件付きエントロピーは、ボブが自身の系からサンプリングした際にアリスの状態について抱く平均的な不確実性を測定します。最小エントロピーは、ある状態から最大エンタングルメント状態までの距離として解釈できます。 ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

この概念は量子暗号のプライバシー強化の文脈で有用である（例えば^[1]を参照）。

古典分布の定義

が古典的な有限確率分布である場合、その最小エントロピーは^[2]のように定義できます。この量の名称を正当化する一つの方法は、より標準的なエントロピーの定義と比較することです。これは と読み、簡潔には分布上の の期待値と書き表すことができます。この量の期待値を取る代わりに最小値を取ると、 の上記の定義と全く同じになります。 ${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$ $${\displaystyle H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})=\log {\frac {1}{P_{\rm {max}}}},\qquad P_{\rm {max}}\equiv \max _{i}p_{i}.}$$ ${\displaystyle \textstyle H({\boldsymbol {P}})=\sum _{i}p_{i}\log(1/p_{i})}$ ${\displaystyle \log(1/p_{i})}$ ${\displaystyle H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})}$

操作的な観点から見ると、最小エントロピーは、 からランダムに抽出した要素の結果を推測する確率の負の対数に等しくなります。これは、最も確率の高い要素を推測することが最適であり、成功の確率はその要素の確率に等しいためです。 ${\displaystyle P}$

量子状態の定義

「最小エントロピー」を古典状態から量子状態へ一般化する自然な方法は、量子状態が何らかの基底で測定されたときに古典的な確率分布を定義するという単純な観察を利用することです。しかし、単一の量子状態が、測定方法に応じて無限に多くの可能な確率分布をもたらす可能性があるという難しさが加わります。そこで、量子状態 が与えられた場合、自然な方法は をと定義することですが、今回はを測定して得られる最大可能確率 を と定義し、すべての可能な射影測定を最大化します。これを使用して、 の最小エントロピーは の任意の測定結果を正しく推測する確率の負の対数に等しいという操作的定義が得られます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )}$ ${\displaystyle \log(1/P_{\rm {max}})}$ ${\displaystyle P_{\rm {max}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

正式には、これは、すべての射影測定 のセットに対して最大化する定義につながり 、POVM形式での測定結果を表し、したがって、測定が であるときに 番目の結果を観測する確率になります。 $${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=\max _{\Pi }\log {\frac {1}{\max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}}=-\max _{\Pi }\log \max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$$ ${\displaystyle \Pi =(\Pi _{i})_{i}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Pi }$

二重最大化をより簡潔に記述する方法は、任意の POVM の任意の要素が となるエルミート演算子であることに注目することです。したがって、これらを直接最大化して を得ることができます。実際、この最大化は明示的に実行でき、が の最大固有値 (のいずれか) への射影であるときに最大値が得られます。したがって、最小エントロピーの別の式は次のようになります。エルミート正半正定値演算子の 演算子ノルムは、その最大固有値に等しいことを思い出してください。${\displaystyle 0\leq \Pi \leq I}$ $${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=-\max _{0\leq \Pi \leq I}\log \operatorname {tr} (\Pi \rho ).}$$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle H_{\rm {min}}(\rho )=-\log \|\rho \|_{\rm {op}},}$$

条件付きエントロピー

を空間 上の二部密度演算子とします。を条件とするの最小エントロピーはと定義され、 最小値は空間 上のすべての密度演算子にわたって変化します。この測度は最大相対エントロピーで、 と定義されます 。滑らかな最小エントロピーは、最小エントロピーを用いて定義されます。 ここで、 sup と inf は、に -close な密度演算子にわたって変化します。この -close の測度は、の忠実度尺度 である純粋な距離 を用いて定義されます 。 ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle H_{\min }(A|B)_{\rho }\equiv -\inf _{\sigma _{B}}D_{\max }(\rho _{AB}\|I_{A}\otimes \sigma _{B})}$$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{B}}$ ${\displaystyle D_{\max }}$ $${\displaystyle D_{\max }(\rho \|\sigma )=\inf _{\lambda }\{\lambda :\rho \leq 2^{\lambda }\sigma \}}$$ $${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }=\sup _{\rho '}H_{\min }(A|B)_{\rho '}}$$ ${\displaystyle \rho '_{AB}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ $${\displaystyle P(\rho ,\sigma )={\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )^{2}}}}$$ ${\displaystyle F(\rho ,\sigma )}$

これらの量は、フォン・ノイマン・エントロピーの一般化と見ることができます。実際、フォン・ノイマン・エントロピーは次のように表すことができます 。これは、完全量子漸近等分割定理と呼ばれます。^[3] 平滑化エントロピーはフォン・ノイマン・エントロピーと多くの興味深い性質を共有しています。例えば、平滑化最小エントロピーは、データ処理不等式を満たします。^[4]$${\displaystyle S(A|B)_{\rho }=\lim _{\epsilon \to 0}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H_{\min }^{\epsilon }(A^{n}|B^{n})_{\rho ^{\otimes n}}~.}$$ $${\displaystyle H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }\geq H_{\min }^{\epsilon }(A|BC)_{\rho }~.}$$

平滑化最小エントロピーの操作的解釈

今後は、コンテキストからどのような状態が評価されるかが明らかな場合は、最小エントロピーの 添え字を削除します。${\displaystyle \rho }$

古典情報に関する不確実性としての最小エントロピー

あるエージェントが、状態が何らかの古典変数 に依存する量子系にアクセスできたとする。さらに、その各要素が何らかの分布 に従って分布しているとしよう。これは、系 上の次の状態 によって記述できる。 ここで は直交基底を形成する。エージェントが古典変数 について何を学習できるかを知りたい。 は、エージェントが最適な測定戦略を用いる際に 推測する確率とすると、 はこの式を最大化する POVM である。[5] によれば 、^この最適値は最小エントロピーを用いて次のように表せる 。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \rho _{B}^{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{X}(x)}$ ${\displaystyle XB}$ $${\displaystyle \rho _{XB}=\sum _{x}P_{X}(x)|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{B}^{x},}$$ ${\displaystyle \{|x\rangle \}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{g}(X|B)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle p_{g}(X|B)=\sum _{x}P_{X}(x)\operatorname {tr} (E_{x}\rho _{B}^{x}),}$$ ${\displaystyle E_{x}}$ $${\displaystyle p_{g}(X|B)=2^{-H_{\min }(X|B)}~.}$$

状態が積状態、すなわちある密度演算子とに対して、系との間には相関がない。この場合、${\displaystyle \rho _{XB}}$ ${\displaystyle \rho _{XB}=\sigma _{X}\otimes \tau _{B}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2^{-H_{\min }(X|B)}=\max _{x}P_{X}(x)~.}$

条件付き最小エントロピーは常に条件付きフォン・ノイマン・エントロピーよりも小さいので、 $${\displaystyle p_{g}(X|B)\geq 2^{-S(A|B)_{\rho }}~.}$$

最大エンタングルメント状態との重なりとしての最小エントロピー

二部系における最大エンタングルメント状態は と定義され 、 ここでと はそれぞれ空間 と の直交基底を形成する。二部量子状態 において、最大エンタングルメント状態との重なりの最大値は と定義される。 ここで、最大値はすべてのCPTP演算にわたって であり、は部分系 の次元である。これは、状態がどの程度相関しているかを示す尺度である。 であることが示される。 に含まれる情報が古典的な情報である場合、これは上記の推測確率の式に簡約される。 ${\displaystyle |\phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ $${\displaystyle |\phi ^{+}\rangle _{AB}={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{x_{A},x_{B}}|x_{A}\rangle |x_{B}\rangle }$$ ${\displaystyle \{|x_{A}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|x_{B}\rangle \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$ $${\displaystyle q_{c}(A|B)=d_{A}\max _{\mathcal {E}}F\left((I_{A}\otimes {\mathcal {E}})\rho _{AB},|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|\right)^{2}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho _{AB}}$ ${\displaystyle q_{c}(A|B)=2^{-H_{\min }(A|B)}}$ ${\displaystyle A}$

最小エントロピーの操作特性の証明

証明はケーニヒ、シャフナー、レナーによる2008年の論文^{[6]による。[7]}半正定値計画の仕組みが関係している。ある二部密度演算子が与えられたとする。最小エントロピーの定義から、 ${\displaystyle \rho _{AB}}$ $${\displaystyle H_{\min }(A|B)=-\inf _{\sigma _{B}}\inf _{\lambda }\{\lambda |\rho _{AB}\leq 2^{\lambda }(I_{A}\otimes \sigma _{B})\}~.}$$

これは、条件に従って 書き直すことができる。 $${\displaystyle -\log \inf _{\sigma _{B}}\operatorname {Tr} (\sigma _{B})}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{B}&\geq 0,\\I_{A}\otimes \sigma _{B}&\geq \rho _{AB}~.\end{aligned}}}$$

最小値はコンパクト集合に渡されるため、最小値に置き換えることができることに気づく。これは半正定値計画法として簡潔に表現できる。原始問題を考えてみよう。 $${\displaystyle {\begin{cases}{\text{min:}}\operatorname {Tr} (\sigma _{B})\\{\text{subject to: }}I_{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}\\\sigma _{B}\geq 0~.\end{cases}}}$$

この基本問題は、上の部分トレースの随伴行列によって完全に規定することもできる。上の作用素の作用素は次のように書ける。 ${\displaystyle (\rho _{AB},I_{B},\operatorname {Tr} ^{*})}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} ^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} ^{*}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {Tr} ^{*}(X)=I_{A}\otimes X~.}$$

この双対問題は、空間上の作用素の最大化として表現できる。 ${\displaystyle E_{AB}}$ ${\displaystyle AB}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\text{max:}}\operatorname {Tr} (\rho _{AB}E_{AB})\\{\text{subject to: }}\operatorname {Tr} _{A}(E_{AB})=I_{B}\\E_{AB}\geq 0~.\end{cases}}}$$

Choi–Jamiołkowski同型を用いると、となるような チャネルを定義できます。 ここで、ベル状態は空間 上で定義されます。これは、双対問題の目的関数を 希望どおりに と表現できることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ $${\displaystyle d_{A}I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dagger }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)=E_{AB}}$$ ${\displaystyle AA'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \rho _{AB},E_{AB}\rangle &=d_{A}\langle \rho _{AB},I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dagger }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)\rangle \\&=d_{A}\langle I_{A}\otimes {\mathcal {E}}(\rho _{AB}),|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)\rangle \end{aligned}}}$$

システムが上記のように部分的に古典的な状態である場合、我々が求めている量は に減少することに 注目してください。これは推測戦略として 解釈することができ、これは次に、システム を介して量子情報にアクセスした場合に敵が文字列を見つけようとする上記の解釈に減少します。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \max P_{X}(x)\langle x|{\mathcal {E}}(\rho _{B}^{x})|x\rangle ~.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$

参照

• フォン・ノイマン・エントロピー
• 一般化相対エントロピー
• 最大エントロピー

参考文献

1. Vazirani, Umesh; Vidick, Thomas (2014年9月29日). 「完全にデバイスに依存しない量子鍵配送」. Physical Review Letters . 113 (14) 140501. arXiv : 1210.1810 . Bibcode :2014PhRvL.113n0501V. doi :10.1103/physrevlett.113.140501. ISSN  0031-9007. PMID  25325625. S2CID  119299119.
2. König, Robert; Renner, Renato ; Schaffner, Christian (2009). 「最小エントロピーと最大エントロピーの操作的意味」. IEEE Transactions on Information Theory . 55 (9). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 4337– 4347. arXiv : 0807.1338 . doi :10.1109/tit.2009.2025545. ISSN  0018-9448. S2CID  17160454.
3. Tomamichel, Marco; Colbeck, Roger; Renner, Renato (2009). 「完全量子漸近的等分割特性」. IEEE Transactions on Information Theory . 55 (12). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 5840– 5847. arXiv : 0811.1221 . doi :10.1109/tit.2009.2032797. ISSN  0018-9448. S2CID  12062282.
4. Renato Renner、「量子鍵配送のセキュリティ」、博士論文、ETH No. 16242 arXiv : quant-ph/0512258
5. König, Robert; Renner, Renato ; Schaffner, Christian (2009). 「最小エントロピーと最大エントロピーの操作的意味」. IEEE Transactions on Information Theory . 55 (9). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 4337– 4347. arXiv : 0807.1338 . doi :10.1109/tit.2009.2025545. ISSN  0018-9448. S2CID  17160454.
6. König, Robert; Renner, Renato ; Schaffner, Christian (2009). 「最小エントロピーと最大エントロピーの操作的意味」. IEEE Transactions on Information Theory . 55 (9). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE): 4337– 4347. arXiv : 0807.1338 . doi :10.1109/tit.2009.2025545. ISSN  0018-9448. S2CID  17160454.
7. ジョン・ワトラス「量子情報理論」2011年秋学期講義ノート、https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/LectureNotes/07.pdf