最小フィッシャー情報量
情報理論で使用される原理

情報理論において、最小フィッシャー情報量原理（MFI）は変分原理であり、経験的に既知の期待値を再現するために必要な適切な制約を適用することで、システムを特徴付ける最良の確率分布を決定します。（フィッシャー情報量も参照。）

情報の尺度

情報測度（IM）は情報理論における最も重要なツールです。IMは、観察者が関心のある任意のシステムに関して有する正の情報量、あるいは「欠落」情報量のいずれかを測定します。最も有名なIMは、いわゆるシャノンエントロピー （1948）です。これは、観察者が与えられたシステムSに関する利用可能なすべての知識を得るために、そのシステムの適切な要素について定義された確率密度関数（PDF）しか持っていない場合に、さらにどれだけの情報量が必要かを決定します。これは「欠落」情報測度です。IMはPDFのみの関数です。観察者がそのようなPDFを持っておらず、経験的に決定されたシステムの平均値の有限集合しか持っていない場合、最大エントロピー（ MaxEnt）と呼ばれる基本的な科学的原理は、「最良の」PDFとは、既知の期待値を再現し、そうでなければシャノンのIMを最大化するPDFであると主張します。

フィッシャーの情報量

ロナルド・フィッシャー（1925） にちなんで名付けられたフィッシャー情報量（FIM）は、 2つの点で別の種類の尺度である。

1) 観察者の (正の) 情報量を反映する、
2) PD だけでなくその 1 次導関数にも依存し、それが局所量となる特性を持つ (シャノンの導関数はグローバル量である)。

MaxEntに対応するものはFIM最小化です。これは、フィッシャー測度が増大するとシャノン測度が増大し、その逆もまた同様であるためです。ここで言及する最小化（MFI）は、物理学をはじめとする様々な分野において重要な理論的ツールです。ある意味では、MFIはMaxEntよりも明らかに優れています。なぜなら、後者の手順では常に指数関数的なPDが解として得られるのに対し、MFIの解はPDの 微分方程式であり、より柔軟で汎用性が高いからです。

MFIの応用

熱力学

フィッシャーの情報測度には多大な努力が払われ、多様な物理的応用に光を当ててきた。[1] [2 ] [3] [4] [5] [6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [引用過剰]小さなサンプルではあるが、熱力学の全分野（平衡および非平衡の両方）がMFIアプローチから導出できることが示される。[16]ここで、FIMは並進族、すなわち並進変換によって形が変化しない分布関数の特殊だが重要なケースに特化されている。この場合、フィッシャー測度はシフト不変になる。このようにフィッシャー測度を最小化すると、確率振幅に関するシュレーディンガーのような方程式が得られ、基底状態は平衡物理を記述し、励起状態は非平衡状況を説明する。[17]

スケール不変現象

さらに最近では、尺度不変性がMFIの変分解として現れることが示され、この規則性が第一原理から初めて説明されました。[18]また、MFIは並進不変性の代わりにスケール不変性に基づく熱力学を定式化するために使用できることも示されており、これにより、理想気体のスケール不変等価物であるスケールフリー理想気体の定義が可能になります。[19]

参考文献

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