最小全位置エネルギー原理

全位置エネルギー最小原理は、物理学と工学において用いられる基本的な概念です。低温において、構造物または物体は、全位置エネルギーを（局所的に）最小化する位置まで変形または変位し、失われた位置エネルギーは運動エネルギー（具体的には熱） に変換されるという原理です。

いくつかの例

• 自由陽子と自由電子は、水素原子の最も低いエネルギー状態（基底状態）を形成するように結合する傾向があります。これは最も安定した構成です。これは、この状態のエネルギーが、2つの粒子が無限に離れている場合よりも13.6電子ボルト（eV）低いためです。この系における散逸は、電磁放射の自然放出という形で現れ、周囲のエントロピーを増加させます。
• 転がるボールは、丘の底、つまり位置エネルギーが最小となる地点で静止します。これは、ボールが重力の影響下で転がり落ちる際に、その運動によって生じる摩擦によってエネルギーが熱という形で周囲に伝達され、それに伴いエントロピーが増加するためです。
• タンパク質は最も低いポテンシャルエネルギーの状態に折り畳まれます。この場合、散逸はタンパク質内またはタンパク質に隣接する原子の振動という形で現れます。

構造力学

全位置エネルギーは、変形した物体に蓄えられた弾性ひずみエネルギーUと、加えられた力に関連する位置エネルギーVの合計である。 ^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}=\mathbf {U} +\mathbf {V} }$$

1

このエネルギーは、その位置からの微小な変化がエネルギーの変化を伴わないとき、静止位置にある： ^[1]

$${\displaystyle \delta {\boldsymbol {\Pi }}=\delta (\mathbf {U} +\mathbf {V} )=0}$$

2

最小全位置エネルギーの原理は、保存力を受ける弾性システムの仮想仕事原理の特殊なケースとして導くことができる。

外部仮想仕事と内部仮想仕事（仮想変位による）の等式は次のようになります。

$${\displaystyle \int _{S_{t}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS+\int _{V}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV=\int _{V}\delta {\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

3

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ = 変位のベクトル
• ${\displaystyle \mathbf {T} }$ =表面の一部に作用する分布力のベクトル${\displaystyle S_{t}}$
• ${\displaystyle \mathbf {f} }$ = 物体力のベクトル

弾性体の特殊なケースでは、式（ 3 ）の右辺は、実変位の微小変化による弾性ひずみエネルギーUの変化、 と見なすことができます。また、外力が保存力である場合、式（ 3 ）の左辺は、力の位置エネルギー関数Vの変化と見ることができます。関数Vは次のように定義されます。^[2] ここで、マイナス符号は、力がその方向に変位するときに位置エネルギーが失われることを意味します。これら 2 つの補助条件により、式 3は次のようになります。 これにより、目的どおりに式（2）が得られます。 変分形式（2 ）は、構造力学における有限要素法の開発の基礎としてよく使用されます。 ${\displaystyle \delta \mathbf {U} }$ $${\displaystyle \mathbf {V} =-\int _{S_{t}}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS-\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV}$$ $${\displaystyle -\delta \ \mathbf {V} =\delta \ \mathbf {U} }$$

参考文献

1. Reddy, JN (2006). 弾性板とシェルの理論と解析（第2版イラスト入り改訂版）CRC Press. p. 59. ISBN 978-0-8493-8415-8。59ページの抜粋
2. Reddy, JN (2007). 連続体力学入門. ケンブリッジ大学出版局. p. 244. ISBN 978-1-139-46640-0。244ページの抜粋