ミンコフスキー平面

数学において、ミンコフスキー平面（ヘルマン・ミンコフスキーにちなんで名付けられた）は、ベンツ平面の 1 つです（他の 2 つはメビウス平面とラゲール平面です）。

古典的な実ミンコフスキー平面

古典ミンコフスキー平面：2D/3Dモデル

ユークリッド距離の代わりに2 点に擬似ユークリッド距離を適用すると、双曲線の幾何学が得られます。擬似ユークリッド円は中点⁠ ⁠を持つ双曲線だからです。 ${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x'_{i},y'_{i})}$ ${\displaystyle \{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,M)=r\}}$ ${\displaystyle M}$

座標変換⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}=x'_{i}+y'_{i}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$ により、擬ユークリッド距離は⁠ ⁠${\displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}$ と書き直すことができます。すると、双曲線はプライム記号のない座標軸に平行な 漸近線を持ちます。

次の完成形 (メビウス平面とラゲール平面を参照) は双曲線の幾何学 を均質化します。

• 点の集合：$${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\left(\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}\right)^{2}=\mathbb {R} ^{2}\cup \left(\left\{\infty \right\}\times \mathbb {R} \right)\cup \left(\mathbb {R} \times \left\{\infty \right\}\right)\ \cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\ ,\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$$
• サイクルのセット $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:={}&\left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax+b\right\}\cup \left\{\left(\infty ,\infty \right)\right\}\mid a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}\\&\quad \cup \left\{\left\{\left(x,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\frac {a}{x-b}}+c,x\neq b\right\}\cup \left\{\left(b,\infty \right),\left(\infty ,c\right)\right\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}.\end{aligned}}}$$

入射構造は 古典的な実ミンコフスキー平面と呼ばれます。 ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

点の集合は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 、 の 2 つのコピー、および点⁠ ⁠で構成されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$

任意の直線は点⁠ ⁠で完成し、任意の双曲線は2 つの点で完成します (図を参照)。 ${\displaystyle y=ax+b,a\neq 0}$ ${\displaystyle (\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle y={\frac {a}{x-b}}+c,a\neq 0}$ ${\displaystyle (b,\infty ),(\infty ,c)}$

または⁠ ⁠の場合にのみ、 2 つのポイントはサイクルで接続できません。 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

定義：2点 は、の場合には(+)-平行( ⁠ ⁠ )であり、の場合には(−)-平行( ⁠ ⁠ )です。 これらの関係はどちらも点の集合上の 同値関係です。${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

または⁠ ⁠のとき、 2 点は平行( ⁠ ⁠ ) であるといわれます。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{+}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}\parallel _{-}P_{2}}$

上記の定義から次のことがわかります。

補題:

• 平行でない点のペア⁠ ⁠${\displaystyle A}$ に対して、⁠ ⁠となる点が 1 つだけ存在します。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• 任意の点と任意のサイクルに対して、 ⁠ ⁠となる点がちょうど 2 つ存在します。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B\in z}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A}$ 、⁠ ⁠${\displaystyle B}$ 、⁠ ⁠${\displaystyle C}$ の 3 つの点が互いに平行でない場合、⁠ ⁠を含むサイクルが1 つだけ存在します。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• 任意のサイクル⁠ ⁠${\displaystyle z}$ 、任意の点、任意の点、に対して、 ⁠ ⁠、つまり点⁠ ⁠で接するようなサイクルが 1 つだけ存在します。${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

古典的なメビウス平面やラゲール平面と同様に、ミンコフスキー平面は、適切な二次曲面の平面切断の幾何学として記述できます。しかし、この場合、二次曲面は射影三次元空間に存在します。つまり、古典的な実ミンコフスキー平面は、 1枚双曲面（指数2の退化した二次曲面ではない） の平面切断の幾何学と同型です。

ミンコフスキー平面の公理

を点の集合、閉路の集合、および集合 上の2 つの同値関係((+)-平行) と((−)-平行) を持つ接続構造とします。について、およびを定義します 。同値類または は、それぞれ(+)-生成元および(−)-生成元と呼ばれます(古典的なミンコフスキー平面の空間モデルでは、生成元 は双曲面上の直線です)。2 点は、またはのとき平行( )と呼ばれます。 ${\displaystyle \left({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in \right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle \parallel _{+}}$ ${\displaystyle \parallel _{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{+}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{+}P\right\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}:=\left\{Q\in {\mathcal {P}}\mid Q\parallel _{-}P\right\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{+}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}_{-}}$
${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}B}$ ${\displaystyle A\parallel _{-}B}$

次の公理が成り立つ場合、入射構造はミンコフスキー平面と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {M}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

ミンコフスキー公理-c1-c2

ミンコフスキー公理-c3-c4

• C1 : 平行でない点の任意のペアに対して、となる点が 1 つだけ存在します。${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}C\parallel _{-}B}$
• C2 : 任意の点と任意のサイクルに対して、となる点がちょうど 2 つ存在します。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B\in z}$ ${\displaystyle A\parallel _{+}P\parallel _{-}B}$
• C3 :平行でない 2 つの点のいずれに対しても、を含むサイクルが 1 つ存在します。${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• C4 : 任意のサイクル、任意の点、任意の点 、および に対して、、つまりが点 で接するようなサイクルが 1 つだけ存在します。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q,P\not \parallel Q}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$
• C5 : 任意のサイクルには少なくとも3つの点が含まれます。少なくとも1つのサイクルと、に含まれない点が存在します。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$

調査には、並列クラス (それぞれ C1、C2 に相当) に関する次のステートメントが有利です。

• C1′ : 任意の2点⁠ ⁠${\displaystyle A}$ について、⁠ ⁠が成り立ちます。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \left|{\overline {A}}_{+}\cap {\overline {B}}_{-}\right|=1}$
• C2′ : 任意の点と任意のサイクルに対して次が成り立ちます: ⁠ ⁠ .${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left|{\overline {P}}_{+}\cap z\right|=1=\left|{\overline {P}}_{-}\cap z\right|}$

公理の最初の帰結は

補題—ミンコフスキー平面の場合、次が成り立つ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

1. 任意の点は少なくとも 1 つのサイクルに含まれます。
2. どのジェネレータにも少なくとも 3 つのポイントが含まれます。
3. 2 つの点が平行でない場合にのみ、それらの点を循環で接続できます。

メビウス平面やラゲール平面と同様に、剰余を介して線形幾何学への接続が得られます。

ミンコフスキー平面の場合、局所構造を定義し 、それを点 P における剰余と呼びます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus {\overline {P}},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{E\setminus {\overline {P}}\mid E\in {\mathcal {E}}\setminus \{{\overline {P}}_{+},{\overline {P}}_{-}\}\},\in )}$$

古典的なミンコフスキー平面は 実アフィン平面です。${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{(\infty ,\infty )}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

公理 C1 から C4 および C1′、C2′ から直接得られる結論は次の 2 つの定理です。

定理-ミンコフスキー平面の場合、任意の剰余はアフィン平面である。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel ,\in )}$

定理— 2 つの同値関係を持つ接続構造と点の集合(上記参照) があるとします。${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle \parallel _{+}}$ ${\displaystyle \parallel _{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

そして、任意の点に対して剰余がアフィン平面である 場合に限り、 はミンコフスキー平面となります。${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$

最小モデル

ミンコフスキー平面：最小モデル

ミンコフスキー平面の最小モデルは、次の 3 つの要素の 集合上で確立できます。${\displaystyle {\overline {K}}:=\{0,1,\infty \}}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}:={\overline {K}}^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}:\!&=\left\{\{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})\}\mid \{a_{1},a_{2},a_{3}\}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}={\overline {K}}\right\}\\&=\{\{(0,0),(1,1),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,0),(1,\infty ),(\infty ,1)\},\\&\qquad \{(0,1),(1,0),(\infty ,\infty )\},\;\{(0,1),(1,\infty ),(\infty ,0)\},\\&\qquad \{(0,\infty ),(1,1),(\infty ,0)\},\;\{(0,\infty ),(1,0),(\infty ,1)\}\}\end{aligned}}}$$

平行点:

• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{+}(x_{2},y_{2})}$ もし、そして、もし、${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\parallel _{-}(x_{2},y_{2})}$ ⁠ ⁠${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$ の場合にのみ。

したがって、そして⁠ ⁠。 ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=9}$ ${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=6}$

有限ミンコフスキー平面

有限ミンコフスキー平面の場合、C1′、C2′から次式が得られます。

補題—を有限ミンコフスキー平面、すなわち とします。任意のサイクルのペアと任意の生成元のペアに対して、次が成り立ちます 。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$ ${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|<\infty }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ ${\displaystyle \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|e_{1}\right|=\left|e_{2}\right|}$

これにより、定義が生まれます。
有限ミンコフスキー平面と のサイクルに対して、整数をの位数と呼びます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle n=\left|z\right|-1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

単純な組み合わせの考察から、

補題—有限ミンコフスキー平面の場合、次が成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

1. 任意の剰余（アフィン平面）には順序があります。${\displaystyle n}$
2. ⁠ ⁠${\displaystyle \left|{\mathcal {P}}\right|=(n+1)^{2}}$ 、
3. ⁠ ⁠${\displaystyle \left|{\mathcal {Z}}\right|=(n+1)n(n-1)}$ .

ミケリアン・ミンコフスキーの飛行機

古典的な実モデルを一般化することで、 ミンコフスキー平面の最も重要な例が得られます。任意のフィールドに置き換えるだけで、いずれの場合でもミンコフスキー平面が得られます。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}};\parallel _{+},\parallel _{-},\in )}$

メビウス平面やラゲール平面と同様に、ミゲルの定理はミンコフスキー平面の特徴的な性質です 。${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

ミケルの定理

定理 (ミケル):ミンコフスキー平面については次のことが成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

立方体の頂点に割り当てることができる8 つの非平行な点があり、5 つの面の点が同心円状の四重点に対応する場合、6 番目の点の四重点も同心円状になります。${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$

(図では概要を把握しやすくするために、双曲線ではなく円が描かれています。)

定理 (Chen):ミンコフスキー平面だけがミケルの定理を満たします。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

最後の定理により、ミケリアン・ミンコフスキー平面と呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$

注:ミンコフスキー平面の最小モデルはミケリアン です。

これは、 (体⁠ ⁠ )を持つミンコフスキー平面と同型です。${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (2)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

驚くべき結果は

定理 (Heise):偶数次 のミンコフスキー平面はすべてミケリアンである。

注意:適切な立体射影により、次が示されます。 は、体 上の射影 3 次元空間における 1 枚の双曲面 (指数 2 の二次曲面) 上の平面切断の幾何学に同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K)}$ ${\displaystyle K}$

注：ミケリアンではないミンコフスキー平面は数多く存在します（下記のウェブリンクを参照）。しかし、メビウス平面やラゲール平面とは異なり、「卵形ミンコフスキー平面」は存在しません。なぜなら、射影的3次元空間における指数2の任意の二次集合は二次曲面だからです（二次集合を参照）。

参照

• 共形幾何学

参考文献

• ヴァルター・ベンツ(1973) Vorlesungen über Geomerie der Algebren、Springer
• フランシス・ビューケンハウト（編）（1995）『Handbook of Incidence Geometry』エルゼビア ISBN 0-444-88355-X

外部リンク

• 数学百科事典のベンツ飛行機
• 講義ノート 平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門