ミケルの定理

三角形ABCの頂点と、三角形の隣接辺上の点A´、B´、C´を通り、共通点Mで交差する円を示す図。

さまざまな三角形のピボット定理

ミゲルの定理は、幾何学における結果であり、オーギュスト・ミゲル^[1]にちなんで名付けられ、三角形の1つの頂点とその両辺上の2点を通る3つの円の交差に関するものである。これは、ミゲルによるユークリッド幾何学における円に関するいくつかの結果の一つであり、彼の研究はリウヴィルが新たに創刊した学術誌『純粋数学と応用数学』に掲載された。

正式には、三角形ABCとし、任意の点A´、B´、C´をそれぞれBC、AC、AB（またはその延長線）上に置きます。三角形AB´C´、A´BC´、A´B´Cに3つの外接円（ミゲルの円）を描きます。ミゲルの定理によれば、これらの円はミゲル点と呼ばれる1点Mで交わります。さらに、3つの角MA´B、MB´C、MC´A（図の緑色）はすべて等しく、3つの補角MA´C、MB´A、MC´Bも等しくなります。^{[2] [3]}

この定理（およびその系）は、円周四辺形の性質から導かれます。A'B'CとAB'C'の外接円がで交わるとします。したがって、BA'MC'は期待通り円周四辺形です。 ${\displaystyle M\neq B'.}$ ${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$

ピボット定理

ミゲルの定理の記述において、点A´、B´、C´が三角形を形成する（つまり、同一線上にない）場合、その定理はForder（1960、p.17）でピボット定理と名付けられました。 ^[4]（図では、これらの点はP、Q 、 Rと表記されています。）

もしA´、B´、C´が同一線上にあるならミゲル点は∆ABCの外接円上にあり、逆にミゲル点がこの外接円上にあるならA´、B´、C´は一直線上にある。^[5]

ミゲル点の三線座標

BC ( a )、CA ( b )、AB ( c ) の辺に沿ったA´、B´、C´の分数距離がそれぞれd _a、d _b、d _cである場合、ミゲル点は三線座標( x  : y  : z ) で次のように表されます。

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

ここで、d' _a = 1 - d _aなどです。

d _a = d _b = d _c = ½の場合、ミゲル点は外心 (cos α : cos β : cos γ)です。

ミケルの定理の逆

この定理は逆に解釈することもできます。M で交差する3つの円について、1つの円上の任意の点Aから、別の円との交点C´を通る直線B（2番目の交点）を引きます。次に、 Bも同様に、 2番目と3番目の円の交点A´を経由して結ばれ、点Cとなります。すると、点C、A、そして残りの交点B´は同一線上に並び、三角形ABC は常に円の交点A´、B´、C´を通ることになります。

ミゲルとシュタイナーの四辺形定理

ミケルの五角形定理

ミゲルの六円定理は、 5つの円が4つの三重交点を共有する場合、残りの4つの交点は6番目の円上にあることを述べています。

相似な内接三角形

内接三角形XYZが基準三角形ABCに相似である場合、 3つの円の合致点MはそのようなすべてのXYZに対して固定されます。^{[6] ：p.257}

ミゲルとシュタイナーの四辺形定理

完全な四辺形を構成する4つの三角形の外接円はすべて点Mで交わります。^[7]上の図では、これらは∆ABF、∆CDF、∆ADE、∆BCEです。

この結果は、1827/1828年に発行されたジェルゴンヌの数学年報^[8]でヤコブ・シュタイナーによって2行で発表されましたが、詳細な証明はミゲルによって与えられました^{[7] 。}

ミケルの五角形定理

ABCDEを凸五角形とする。すべての辺を延長し、5点F、G、H、I、Kで交わるようにし、5つの三角形CFD、DGE、EHA、AIB、BKCの外接円を描く。すると、2番目の交点（A、B、C、D、E以外の点）、すなわち新しい点M、N、P、R、Qは同心円状（円周上）となる。^[9]図を参照。

逆の結果は五円定理として知られています。

ミケルの六円定理

円上の点A、B、C、Dと、隣接する各点を通る円が与えられている場合、これら4つの円の交点W、X、Y、Zは共通の円上に存在します。これは六円定理として知られています。^[10]これは四円定理としても知られており、一般的にはヤコブ・シュタイナーに帰属していますが、唯一知られている証明はミゲルによるものです。^[11]デビッド・G・ウェルズはこれをミゲルの定理と呼んでいます。^[12]

ミケルの定理の3次元バージョン

3 次元の場合: 4 つの球が黒い円の上で他の球と交差します。

3次元の類似物もあり、正四面体の一点と四面体の辺上の点を通る4つの球が共通点で交差する。^[3]

参照

• クリフォードの円定理
• 束定理
• ミケル構成

注記

1. フランスの田舎（ナンチュア）の高校教師、Ostermann & Wanner 2012、p. 94より
2. Miquel, Auguste (1838)、「Mémoire de Géométrie」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、1 : 485–487、2013年 2 月 13 日のオリジナルからアーカイブ
3. Wells 1991, p. 184 - Wellsはミケルの定理をピボット定理と呼んでいる。
4. コクセター＆グレイツァー 1967年、62ページ
5. スマート 1997、177ページ
6. Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n、「相似内接三角形の重心の軌跡」、Forum Geometricorum 16、2016、257–267。http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
7. Ostermann & Wanner 2012、p. 96
8. Steiner , J. (1827/1828)、「Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet」、Annales de Mathématiques、18 : 302–304
9. Ostermann & Wanner 2012、pp. 96–97
10. ペドー 1988、424ページ
11. Ostermann & Wanner 2012、p. 352
12. ウェルズ 1991、151～152ページ

参考文献

• Coxeter, HSM; Greitzer, SL (1967)、「Geometry Revisited」、New Mathematical Library、vol. 19、ワシントン D.C. : Mathematical Association of America、ISBN 978-0-88385-619-2、Zbl  0166.16402
• フォーダー、HG（1960）、幾何学、ロンドン：ハッチンソン
• オスターマン、アレクサンダー；ワーナー、ゲルハルト（2012）『歴史から見た幾何学』、シュプリンガー、ISBN 978-3-642-29162-3
• ペドー、ダン（1988）[1970]、幾何学/総合コース、ドーバー、ISBN 0-486-65812-0
• スマート、ジェームズ・R.（1997年）、モダンジオメトリーズ（第5版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-35188-3
• ウェルズ、デイビッド（1991年）、ペンギン辞典、ニューヨーク：ペンギンブックス、ISBN 0-14-011813-6、Zbl  0856.00005

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ミケルの定理」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック・W.「ミケルの五円定理」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ミケル五芒星定理」。マスワールド。
• ワイスタイン、エリック W.「ピボット定理」。マスワールド。
• ダイナミックジオメトリスケッチにおけるナポレオンの定理の一般化の特殊ケースとしてのミゲルの定理