行方不明のドルの謎

行方不明のドルの謎は、非形式的誤謬を伴う有名な謎です。この謎は少なくとも1930年代にまで遡りますが、類似の謎はもっと古いものもあります。^[¹^]

声明

言葉遣いや詳細は異なる場合がありますが、パズルは次のようになります。

3人の宿泊客がホテルの部屋にチェックインしました。マネージャーは請求額が30ドルだと告げ、各宿泊客は10ドルずつ支払いました。しかし後になって、マネージャーは請求額が25ドルだったことに気づきます。そこで、マネージャーはベルボーイに5ドルを1ドル札5枚にして渡し、宿泊客に返却するように指示しました。
ベルボーイは、客の部屋へ返金に向かう途中、5枚の1ドル札を3人の客で均等に分けることができないことに気づきました。客は請求額の合計を知らないため、ベルボーイは1ドルずつを返し、2ドルをチップとして残すことに決め、そのまま支払いを進めました。
ゲストはそれぞれ1ドルずつ返金されたため、各自が支払うのは9ドルとなり、合計は27ドルになりました。ベルボーイは2ドルを受け取り、これを27ドルと合わせると29ドルになります。では、ゲストが最初に30ドルを渡していたとしたら、残りの1ドルはどうなったのでしょうか？

数学の問題には2つの答え（29ドルと30ドル）があり得ないので、矛盾があるように思われます。レジの25ドル、客に返却された3ドル、ベルボーイが保管した2ドルを合計すると30ドルになるのは事実ですが、客が支払った27ドルとベルボーイが保管した2ドルを合計しても29ドルにしかなりません。

解決

このなぞなぞの誤解は説明の後半部分にあります。無関係な金額を足し合わせて、なぞなぞを出された人はそれらの金額を合計すると 30 になるはずだと思い込み、そうならなかったことに驚きます。実際には、(10 ⁠− ⁠1) ⁠× ⁠3 ⁠ + ⁠2 ⁠ = ⁠29 の合計が 30 になる理由はありません。

なぞなぞで述べられている正確な合計は次のように計算されます。

合計 =	9ドル（ゲスト1の支払い）+
	9ドル（ゲスト2の支払い）+
	9ドル（ゲスト3の支払い）+
	2ドル（ベルボーイのポケットの中のお金）

ここでのポイントは、これは 3 人が当初支払った金額の合計ではないと理解することです。その合計には、店員が持っているお金 (25 ドル) を含める必要があるためです。これは、人々が支払うことができたより少ない金額 (9 ドル × 3 人 = 27 ドル) に、その少額を支払った場合に店員が必要としなかった追加のお金 (支払った 27 ドル - 実際の費用 25 ドル = 2 ドル) を加えた合計です。別の言い方をすると、27 ドルにはすでにベルボーイへのチップが含まれています。27 ドルに 2 ドルを追加すると、2 回カウントすることになります。つまり、ベルボーイへのチップを含めた 3 人のゲストの部屋代は 27 ドルです。3 人のゲストはそれぞれポケットに 1 ドルずつ持っているので、合計は 3 ドルです。部屋の修正後の費用 27 ドル (ベルボーイへのチップを含む) に追加すると、合計は 30 ドルになります。

合計金額が元の 30 ドルになるようにするには、場所に関係なく、すべてのドルを計算する必要があります。

したがって、合理的な合計は次のように表すことができます。

30ドル =	1ドル	（ゲスト1のポケットの中）	+
	1ドル	（ゲスト2のポケットの中）	+
	1ドル	（ゲスト3のポケットの中）	+
	2ドル	（ベルボーイのポケットの中）	+
	25ドル	（ホテルのレジにて）

この合計額は実際には 30 ドルになります。

大幅割引のイラスト

なぞなぞの合計が実際の金額と関係ない理由をさらに説明するために、部屋の割引額が非常に大きくなるようになぞなぞを変形してみましょう。次の形のなぞなぞを考えてみましょう。

3人がホテルの部屋にチェックインします。係員は請求額が30ドルだと言ったので、各客は10ドル支払います。後になって、係員は請求額は10ドルで済むはずだと気づきます。これを正すために、ベルボーイに20ドルを渡して客に返却します。部屋に向かう途中、ベルボーイはお金を均等に分けることができないことに気づきます。客は修正された請求額の合計を知らなかったので、ベルボーイは各客に6ドルずつ渡し、2ドルをチップとして取ることにしました。各客は6ドルを返却されたので、各客は4ドルしか支払わなくなり、支払額は合計12ドルになります。ベルボーイは2ドルを手にします。そして、12 + 2 = 14ドルなので、客が最初に30ドルを渡したのなら、残りの16ドルはどうなったでしょうか?

今では、この質問が全く不合理であることは明らかです。単にいくつかの支払いを合計しただけで、流通している現金の本来の額と一致するとは考えられません。

経済的アプローチ

より経済的に言えば、お金は支払われたすべての金額（負債）と所有しているすべてのお金（資産）を合計することによって計算されます。この抽象的な公式は、この交換における当事者の相対的な視点に関わらず成立します。

ホテルの宿泊客は27ドルを支払いましたが、物語の終わりにはポケットに3ドル残っています。彼らの資産は3ドル、負債は27ドルです（30ドル = 27 + 3）。したがって、当初の合計金額は計算されます。
ホテルの従業員の観点から見ると、ホテルの資産は 25 ドルで、負債は 5 ドルの損失です (30 ドル = 25 + 5)。
ベルボーイの観点から見ると、彼の資産は 2 ドルで、負債はゲストに対して 3 ドル、デスクのレジに対して 25 ドルです (30 ドル = 2 + 3 + 25)。

ステップバイステップの方程式

この問題を方程式で説明すると次のようになります。

10 + 10 + 10 = 30
10 + 10 + 10 = 25 + 2 + 3
10 + 10 + 10 - 3 = 25 + 2 + 3 - 3 (式の両辺に -3 を加えて右辺の +3 を消す)
10 - 1 + 10 - 1 + 10 - 1 = 25 + 2
9 + 9 + 9 = 25 + 2 (注: ベルボーイへのチップはすでに支払われています)
27 = 27

この謎は、次の 4 つのステップを経て進むため、誤解を招きます。

9 + 9 + 9 = 25 + 2
9 + 9 + 9 + 2 ≠ 25 (符号を反転せずに +2 を反対側に移動する)
27 + 2 ≠ 25
29≠25

代わりに、次のように進める必要があります。

9 + 9 + 9 = 25 + 2
9 + 9 + 9 -2 = 25 + 2 -2 (式の両辺に -2 を加えて右辺の +2 をキャンセルします。これはベルボーイがチップを返すか、2 ドルの割引をしたことを意味します)
9 + 9 + 9 - 2 = 25
27 - 2 = 25
25 = 25

パズルでは、ベルボーイへのチップを 27 ドルに追加するのではなく、27 ドルから差し引く必要があります。

代数を使う

n人の客がそれぞれpドルを最初に支払うとします。マネージャーはrを返金し、ベルボーイは各客に bを返金します。

各客の残高はb − p（負の金額）、マネージャーの残高はnp − r、ベルボーイの残高はr − nbとなる。客の初期支払総額はnpであるが、最終的な支出額とベルボーイの横領額の合計はn ( p − b ) + ( r − nb ) = np + r − 2 nbとなる。

したがって、差異はnp − ( np + r − 2 nb ) = 2 nb − rとなります。謎の値を用いると、2 × 3 × $1 − $5 = $1 となります。

r = $20、b = $6のような他の値では、2 × 3 × $6 − $20 = $16という目立った差異は生じません。あるいは、b = ⁠r/2 n⁠矛盾は生じない。^{[ 2 ]}

歴史

このパズルには多くのバリエーションがあります。デイビッド・シングマスター教授の著書『レクリエーション数学年表』^{[ 3 ]}によると、この種の数学的ミスディレクションパズルは、18世紀の算数書、フランシス・ウォーキングゲームの『家庭教師の助手』^{[ 4 ]}に掲載された問題に由来するとされています。この本は1751年から1860年にかけて出版・再版され、185ページ（おそらく116ページ）に次のような問題が掲載されていました。「120から48を取って72、91から72を取って19、さらに7を取って12とすると、48、72、19、7を足して12となる数字は何か？」シンマスター氏はさらに、「これは下記の引き出し問題と同じではないが、差し引かれた金額と残額が混在していることから、この種の問題が後者の問題の基礎になったのではないかと考えられる」と述べている。

1880年のミスディレクションでは、「バーテルは宝石店で100と200の箱を2つ見つけます。彼は安い方を購入して家に持ち帰り、実はもう1つの方が気に入ったと感じます。彼は宝石店に戻り、箱を返し、宝石店はすでに100を受け取っていると言います。返却した箱と合わせて200になり、それがもう1つの箱の原価です。宝石店はこれを受け入れ、バーテルにもう1つの箱を渡し、彼は立ち去ります。これは正しいでしょうか？」と書かれています。

現代版に近いモデルは、セシル・B・リードが1933年に著した『数学的誤謬』の中で提示されています。彼のパズルは、1ドルの余分な出費を生み出します。ある男性が50ドルを銀行に預けます。その後、毎日20ドルを引き出して30ドル、さらに15ドルを引き出して15ドル、さらに9ドルを引き出して6ドル、そして最後に6ドルを引き出して0ドルになります。しかし、30ドル + 15ドル + 6ドル = 51ドルです。この余分な1ドルはどこから来たのでしょうか？

この謎を解く実際の方法は、この場合問題となる銀行の観点から、正しく（正しい時間、正しい人物、正しい場所）追加することです。

初日: 銀行残高 30 ドル + 所有者が既に引き出した 20 ドル = 50 ドル
2日目: 銀行口座の15ドル + (15ドル + 所有者がすでに引き出した20ドル) = 50ドル
3日目: 銀行口座の6ドル + (9ドル + 15ドル + 所有者がすでに引き出した20ドル) = 50ドル

所有者の観点から見ると、正しい解決策は次のとおりです。

初日: 所有者がすでに引き出した 20 ドル + 銀行に残っている 30 ドル = 50 ドル
2日目: 所有者がすでに引き出した 20 ドル + 所有者がすでに引き出した 15 ドル + 銀行口座の 15 ドル = 50 ドル
3日目: (所有者が既に引き出した20ドル + 所有者が既に引き出した15ドル + 所有者が既に引き出した9ドル) + 銀行口座の6ドル = 50ドル

所有者が毎日50ドルから10ドルだけ引き出す場合、解決策は非常に明白に見えます。上記と同じパターンで40 + 30 + 20 + 10を合計するのは明らかに間違いです（結果は100ドルになります）。

「余った1ドルはどこから来たのか？」という問いへの答えは、3日間の銀行残高を連続して合計することで得られます。この方法は、お金の持ち主が毎日ちょうど半分の金額を引き出す場合にのみ有効です。そうすれば、合計は（25ドル + 12.50ドル + 6.25ドル） + 6.25ドル = 50ドルになります。

1933年の別の記事、R・M・エイブラハム著『Diversions and Pastimes』（ドーバー版が現在も入手可能）では、16ページ（問題61）でこの問題に少し異なるアプローチが提示されています。「ニューヨークへ帰る旅人が、10ドルの郵便為替しか持っていないことに気づき、列車の運賃は7ドルでした。切符売り場の係員が為替の受け取りを拒否したため、旅人は道を渡った質屋に行き、それを7ドルで質入れしました。駅へ戻る途中で友人に会い、友人は旅人が為替を換金しに戻る手間を省くため、質入れした切符を7ドルで買い取りました。旅人は切符を買い戻しましたが、ニューヨークに着いた時にはまだ7ドル残っていました。誰が損をしたのでしょうか？」デイビッド・ダーリングは著書『The Universal book of Mathematics』^{[ 5 ]}の中で、これを上記のホテルの3人の男の版の初期版であるとしています。

さらによく似たのは、1939年に出版されたイギリスのエヴリン・オーガスト著『ブラックアウト・ブック』です。「シリングはどうなった？」（82ページと213ページ）では、3人の少女がそれぞれ5シリングで部屋を共有しています。家主はベルボーイを通して5シリングを返金し、ベルボーイは少女たちに1シリングずつ渡し、2シリングを自分のものにします。

同じテーマのもう一つの場面は、アボットとコステロの共演シーンで登場します。アボットがコステロに50ドルの貸し出しを頼む場面です。コステロは40ドルを差し出し、「これだけだ」と言います。アボットは「わかった、残りの10ドルは借りてくれ」と答えます。

この謎かけは、2005年のBBCコメディシリーズ『ヘルプ』の第5話で心理療法士（クリス・ランガム）と彼の数学者のクライアント（ポール・ホワイトハウス）によって使われた。^[⁶^]

ジェニファー・ワースの「コール・ザ・ミッドワイフ」シリーズ第3巻『イーストエンドへの別れ』 （2009年）には、レストランで高額な料金を請求された3人の男性とシリングをめぐるバリエーションが登場する。このエピソードでは、修理工のフレッドがノンナタス・ハウスの助産婦たちにこの質問をしている。

パーシヴァル・エヴェレットの『ドクター・ノオ』には、客を羊飼い、店員をトロール、ドルを羊、ベルボーイをトロールの息子に置き換えた別のバリエーションが登場する。

参照

欠けている正方形のパズル

参考文献

^ベネット、ジェイ（2017年5月19日）「今週のなぞなぞ #19：消えたドル」『ポピュラーメカニクス』 2004年4月11日閲覧。
^ Proceedings. 米国: Society for Technical Communication - Volume 27, Parts 1-2 - Page 222, 1980.
^シングマスター、デイヴィッド（2004年3月19日）「7.Z. 紛失したドルとその他の誤った会計処理」『レクリエーション数学の資料』注釈付き書誌。
^ウォーキングゲーム, フランシス (1859). ニコルソン, W. (編).ウォーキングゲームの算術. p. 170 .
^ダーリング、デイビッド・J. (2004). 『数学の普遍書：アブラカダブラからゼノンのパラドックスまで』ホーボーケン、ニュージャージー州: ワイリー. ISBN 0-471-27047-4. OCLC 53434727 .
^ 「ヘルプシーズン1の全エピソードを見る」 2015年11月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年11月14日閲覧。

外部リンク

[1] ベネット、ジェイ（2017年5月19日）「今週のなぞなぞ #19：消えたドル」『ポピュラーメカニクス』 2004年4月11日閲覧。

[2] Proceedings. 米国: Society for Technical Communication - Volume 27, Parts 1-2 - Page 222, 1980.

[3] シングマスター、デイヴィッド（2004年3月19日）「7.Z. 紛失したドルとその他の誤った会計処理」『レクリエーション数学の資料』注釈付き書誌。

[4] ウォーキングゲーム, フランシス (1859). ニコルソン, W. (編).ウォーキングゲームの算術. p. 170 .

[5] ダーリング、デイビッド・J. (2004). 『数学の普遍書：アブラカダブラからゼノンのパラドックスまで』ホーボーケン、ニュージャージー州: ワイリー. ISBN 0-471-27047-4. OCLC 53434727 .

[6] 「ヘルプシーズン1の全エピソードを見る」 2015年11月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年11月14日閲覧。

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