中間点

  任意の三角形

  マンダルト楕円（ミトンポイント Mを中心とする）

  三角形の遠心から各辺の中点（ミッテンポイントMで交わる）までの線

  三角形の分割線（ナーゲル点 Nで平行）

幾何学において、三角形のミッテンプンクト（ドイツ語：中点）は三角形の中心である。三角形の中心とは、三角形のユークリッド変換に対して不変な点である。1836年にクリスティアン・ハインリヒ・フォン・ナーゲルによって、与えられた三角形の外心三角形の対称中点として同定された。^{[1] [2]}

座標

ミッテンプンクトは三線座標系を持っています^[1]

${\displaystyle (b+ca):(c+ab):(a+bc)}$

ここで、 a、b、cは与えられた三角形の辺の長さである。代わりに角度A、B、Cで表すと、三線は^{[3]となる。}

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}:\cot {\frac {B}{2}}:\cot {\frac {C}{2}}=(\csc A+\cot A):(\csc B+\cot B):(\csc C+\cot C).}$

重心座標は^[3]

${\displaystyle a(b+ca):b(c+ab):c(a+bc)=(1+\cos A):(1+\cos B):(1+\cos C).}$

共線性

ミッテンプンクトは、重心とジェルゴンヌ点を結ぶ線、内心と対称点を結ぶ線、垂心とシュピーカー中心を結ぶ線との交点にあり、したがって、ミッテンプンクトを含む3つの共線性が確立されます。 ^[4]

関連図

与えられた三角形の外心と対応する辺の中点を結ぶ3本の線はすべて中間点で交わる。したがって、中間点は外心三角形と中位三角形の透視中心であり、対応する透視軸はジェルゴンヌ点の三線極である。^[5]中間点は、与えられた三角形のマンダール内楕円の重心でもある。マンダール内楕円は、三角形の外接点で三角形に接する楕円である。^[6]

注釈

ミッテンポイントは、 内三角形のジェルゴンヌ点としても機能します

参考文献

1. Kimberling, Clark (1994)、「三角形の平面における中心点と中心線」、Mathematics Magazine、67 (3): 163– 187、doi :10.2307/2690608、JSTOR  2690608、MR  1573021。
2. v. Nagel, CH (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise , Leipzig。
3. http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 三角形の中心の百科事典
4. ポール・ユー、「平面ユークリッド幾何学における同次重心座標の用途」http://lya.fciencias.unam.mx/gfgf/ga20071/data/material/barycentricpaper.pdf
5. Eddy, Roland H. (1989)、「Nagelの中間点に対するDesarguesian双対」、Elemente der Mathematik、44 (3): 79– 80、MR  0999636。
6. Gibert, Bernard (2004), "Generalized Mandart conics" (PDF) , Forum Geometricorum , 4 : 177– 198, MR 2130231, 2016年3月3日時点 のオリジナル(PDF)からアーカイブ, 2012年9月2日取得。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ミッテンポイント」。MathWorld