数値解析において、混合有限要素法は有限要素法の変形であり、偏微分方程式の問題を提起する際に、解決すべき追加のフィールドが導入されます。これと多少関連しているのがハイブリッド有限要素法です。追加のフィールドは、ラグランジュ乗数フィールドを使用して制約される場合があります。混合有限要素法と区別するために、そのような追加のフィールドを導入しないより一般的な有限要素法は、既約有限要素法または主有限要素法とも呼ばれます。[1]混合有限要素法は、既約有限要素法を使用して離散化すると数値的に不良設定になる問題に対して効率的です。このような問題の一例として、ほぼ非圧縮性の弾性体の応力場とひずみ場を計算することが挙げられます。
バリエーション
制約
制約付き混合法では、ラグランジュ乗数は要素内部に作用し、通常は適用可能な偏微分方程式を強制する。[2]その結果、負のピボットと固有値を持つ鞍点系が生成され、システム行列が非定値となり、解を求めるのが複雑になる。スパースな直接ソルバーでは、正定値対称系またはエルミート系に対する完全に純粋なLL Hコレスキー分解ではなく、最終的に対角線上に2x2ブロックを持つ行列となるピボットが必要となる場合がある。 [3]ピボットは、予期せぬメモリ使用量の増加を引き起こす可能性がある。[1] 反復ソルバーでは、やや「安価な」 MINRESベースのソルバーではなく、GMRESベースのソルバーのみが動作する。
ハイブリッド方式
ハイブリッド法では、ラグランジュ場は要素間の場のジャンプに用いられ、要素の境界上に存在し、連続性を弱く強制します。要素内の場からの連続性は、もはや要素間の共有自由度を通じて強制される必要はありません。混合とハイブリッド化は同時に適用可能です。[4]これらの強制は「弱い」、つまり解が存在する場合にのみ適用されますが、場合によっては一部の点、あるいは例えばモーメント積分条件の一致においてのみ適用されます。「強い」強制は適用されません。「強い」強制の場合は、求める解の種類において条件が直接満たされます。調和関数（通常はゼロ荷重における同次方程式の半自明な局所解）とは別に、ハイブリッド化は要素内部の不連続場の静的ガイアン凝縮を可能にし、自由度の数を減らし、さらに混合法の適用によって生じる負の固有値とピボットの数を減らすか、あるいは完全に排除します。
参考文献
- ^ Olek C Zienkiewicz、Robert L Taylor、JZ Zhu.有限要素法：その基礎と原理. エルゼビア.
- ^ アーノルド、ダグラス. 「ダグラス・アーノルド 2016 ウッドショーテン会議」(PDF) .
- ^ Lungten, S.; Schilders, WHA; Maubach, JML (2016-08-01). 「鞍点行列のスパースブロック分解」.線形代数とその応用. 502 : 214–242 . doi : 10.1016/j.laa.2015.07.042 . ISSN 0024-3795.
- ^ 「2019年2月1日、ベルナルド・コックバーン、ミネソタ大学、「混成化可能不連続ガラーキン法の変分原理：短編小説」」PSUメディアスペース。2021年5月2日閲覧。
