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テンソル解析において、混合テンソルは厳密に共変でも反変でもないテンソルです。混合テンソルのインデックスの少なくとも 1 つは下付き文字 (共変) になり、インデックスの少なくとも 1 つは上付き文字 (反変) になります。

型または価数 の混合テンソル（「型 ( M , N )」とも表記され、M > 0 かつN > 0 の場合）は、 M 個の反変添字とN 個の共変添字を持つテンソルです。このようなテンソルは、 M個の一形式とN個のベクトルからなる ( M + N ) 組をスカラーに写す線型関数として定義できます。 ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$

関連するテンソルの次のオクテットを考えてみましょう。 最初のテンソルは共変、最後のテンソルは反変、残りのテンソルは混合です。記法上、これらのテンソルは、そのインデックスの共変/反変によって互いに異なります。テンソルの与えられた反変インデックスは計量テンソルg _μνを用いて下げることができ、与えられた共変インデックスは逆計量テンソルg ^μνを用いて上げることができます。したがって、g _{μν は}インデックス下げ演算子、g ^{μν は}インデックス上げ演算子と呼ぶことができます。 $${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

一般に、共変計量テンソルは、( M、N )型のテンソルと縮約すると、( M − 1、N + 1 )型のテンソルを生成しますが、その反変逆は、( M、N ) 型のテンソルと縮約すると、( M + 1、N − 1 )型のテンソルを生成します。

例えば、(1, 2)型の混合テンソルは、(0, 3)型の共変テンソルのインデックスを上げることで得られます 。 ここで、 クロネッカーのδはここでは単位行列のように作用する ため、 は と同じテンソルです。$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$$${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$$

同じく、 $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$$ $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$$

計量テンソルの指数を上げることは、その逆数で縮約することと等しく、クロネッカーのデルタを生成するので、 計量テンソルの任意の混合バージョンは、同様に混合されるクロネッカーのデルタと等しくなります。 $${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$$

• ベクトルの共変性と反変性
• アインシュタイン記法
• リッチ計算
• テンソル（固有の定義）
• 2点テンソル

• DCケイ（1988年）。テンソル微積分。 Schaum のアウトライン、マグロウヒル (米国)。ISBN 0-07-033484-6。
• Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). 「§3.5 テンソルの扱い方」. 『重力』 . WH Freeman & Co. pp.  85– 86. ISBN 0-7167-0344-0。
• R. ペンローズ (2007). 『現実への道』ヴィンテージブックス. ISBN 978-0-679-77631-4。

• インデックス体操、Wolfram Alpha