混合空間定理

ミクロ経済理論と意思決定理論において、混合空間定理は、一般的な混合空間上で定義された 選好に対する効用表現定理です。

この定理は、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの効用定理と、消費者選好に関する通常の効用表現定理を一般化したものである。この定理は、混合空間の定義の導入とともに 、1953年にイスラエル・ネイサン・ハーシュタインとジョン・ミルナーによって初めて証明された^{[ 1 ] 。}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

混合空間

意味

ハーシュタインとミルナーによって導入された混合空間は、ベクトル空間からの凸集合の一般化である。正式には、

定義: 混合空間とは、 ${\displaystyle (X,h)}$

• ${\displaystyle X}$ は任意の集合であり、

• ${\displaystyle h:[0,1]\times X\times X\to \mathbb {R} }$ は混合関数である。これは、各ペアと各ペアに、2つの -混合、つまり を関連付ける。${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle x,y\in X\times X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)\equiv h(\alpha ,x,y)}$

1. ${\displaystyle h_{1}(x,y)=x}$ 。
2. ${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)=h_{1-\alpha }(y,x)}$ 。
3. ${\displaystyle h_{\alpha }(h_{\beta }(x,y),y)=h_{\alpha \beta }(x,y)}$ 。

混合空間は本質的に凸空間（重心代数とも呼ばれる）の特殊なケースであり、 ^{[ 2 ]}混合操作は半環の適切に閉じた部分集合だけでなく上に制限されます。 ${\displaystyle [0,1]}$

例

混合空間の例と非例をいくつか示します。

• ベクトル空間:上のベクトル空間の任意の凸部分集合で、 は混合空間を構成します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (V,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h_{\alpha }(x,y)=\alpha x+(1-\alpha )y}$ ${\displaystyle (X,h)}$
• くじ：任意の有限集合 が与えられたとき、上のくじの集合はの混合空間を構成します。これにより、 上の CDF の「同型」混合空間が誘導され、自然に誘導される混合関数 が導かれることに注意してください。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=\left\{p:X\to [0,1]:\sum _{x}p(x)=1\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{\alpha }(p,q)(x):=\alpha p(x)+(1-\alpha )q(x)}$ ${\displaystyle X}$

• 分位関数：任意のCDF に対して、 をその分位関数として定義します。任意の2つのCDFと任意のに対して、混合演算を分位関数 のCDF として定義します。これはCDF上の混合を定義するものではありませんが、分位関数上の混合を定義します。^{[ 3 ]}${\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}$ ${\displaystyle Q_{F}:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \alpha F_{1}\boxplus (1-\alpha )F_{2}}$ ${\displaystyle \alpha Q_{F_{1}}+(1-\alpha )Q_{F_{2}}}$

公理と定理

公理

ハーシュタインとミルナーは、混合空間の 場合の選好に関する次の公理を提案しました。${\displaystyle \succsim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,h)}$

• 公理 1 (選好関係) : は、完全 (すべての に対して、またはが真)かつ推移的であるという意味で、弱い順序です。${\displaystyle \succsim }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\succsim y}$ ${\displaystyle y\succsim x}$
• 公理2（独立性）：任意の に対して、${\displaystyle x,y,z\in X}$

${\displaystyle x\sim y\implies h_{1/2}(x,z)\sim h_{1/2}(y,z).}$ ^{[注 1 ]}

• 公理３（混合連続性）：任意の に対して、集合${\displaystyle x,y,z\in X}$

${\displaystyle \{\alpha \in [0,1]:h_{\alpha }(x,y)\succsim z\},}$

${\displaystyle \{\alpha \in [0,1]:h_{\alpha }(x,y)\precsim z\}}$

通常のトポロジで 閉じられます。${\displaystyle [0,1]}$

混合連続性公理は、 上の位相構造を考慮することなく、好みに何らかの形の連続性を導入する方法である。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$

定理

定理（Herstein & Milnor 1953）：任意の混合空間と上の選好関係が与えられた場合、以下は同値である。 ${\displaystyle (X,h)}$ ${\displaystyle \succsim }$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \succsim }$ 公理 1、2、3 を満たします。

• を表す混合保存効用関数が存在する。ここで「混合保存」とは線形性の形式を表す。任意のおよび任意の に対して、${\displaystyle U:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \succsim }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle U(h_{\alpha }(x,y))=\alpha U(x)+(1-\alpha )U(y)}$ 。

注記

1. このバージョンの独立公理は、単なる の代わりに一般の を要求するフォン・ノイマン-モルゲンシュテルンのより一般的なバージョンと同等である。 ^{[ 1 ]}${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

参考文献

1. Herstein, Israel Nathan ; Milnor, John (1953). 「測定可能な効用への公理的アプローチ」 . Econometrica . 21 (2): 291– 297. doi : 10.2307/1905540 . JSTOR  1905540 .
2. 「凸空間」 nLab . 2025年9月24日閲覧。
3. Yaari, Menahem E. (1987). 「リスク下における選択の双対理論」 . Econometrica . 55 (1): 95–115 . doi : 10.2307/1911158 . JSTOR 1911158 .