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幾何学において、ガスパール・モンジュにちなんで名付けられたモンジュの定理は、平面上の任意の 3 つの円のうち、いずれも他の円のいずれにも完全には含まれていない場合、3 組の外接線のそれぞれの交点は同一直線上にあると述べています。
平面上の任意の 2 つの円について、外接線とは両方の円に接しながらも、円間を通らない直線のことです。任意の 2 つの円に対して、このような外接線が 2 本存在します。各ペアには、拡張ユークリッド平面上に一意の交点があります。モンジュの定理によれば、3 組の円によって与えられるこのような 3 つの点は、必ず一直線上にあります。2 つの円が同じ大きさの場合、2 つの外接線は平行です。この場合、モンジュの定理によれば、他の 2 つの交点は、それらの 2 つの外接線に平行な直線上になければなりません。言い換えると、2 つの外接線が無限遠点で交差すると考えられる場合、他の 2 つの交点は同じ無限遠点を通る直線上になければならないため、それらの間を結ぶ直線は外接線と同じ角度になります。
証明
最も簡単な証明は三次元のアナロジーを用いる。[1]三つの円をそれぞれ異なる半径の球面に対応させ、それぞれの円を球面の中心を通る平面から得られる赤道と対応させる。三つの球面は二つの平面の間に一意に挟まれる。それぞれの球面のペアは両方の球面に外接する円錐を定義し、この円錐の頂点は二つの外接線の交点、すなわち外相似中心（相似中心）に対応する。円錐の一方の直線が各平面上にあるため、各円錐の頂点は両方の平面に存在し、したがって二つの平面の交線上のどこかに位置する。したがって、三つの外相似中心は同一直線上にある。
しかし、この証明には多少の欠陥があり、最小の円が他の2つの円の間に位置する場合や、一方の円がもう一方の円に完全に包含される場合を説明できません。球面ではなく頂角の等しい円錐を用いて3つの相似円錐を作成することで、この証明は完全に一般化できます。相似な3次元物体のペアには相似中心があり、その中心を基準に一方の物体を他方の物体と一致するようにスケール調整することができます。これらの相似線は、前の証明の外接線に代わるものです。さらに、任意の2つの頂点を結ぶ線は、それらの相似中心と交差する必要があります。3つの頂点は常に3次元平面を定義し、3つの相似中心はすべて円の底を含む平面内になければなりません。したがって、3つの中心は2つの平面の交点上になければなりません。この交点は3次元直線でなければなりません。[2]
モンジュの定理は、デザルグの定理を用いて証明することもできます。もう一つの簡単な証明はメネラウスの定理です。これは、各円の直径を用いて比を計算できるため、メネラウスの定理を用いると円周形式によって比が排除されるからです。デザルグの定理もまた、3点が直線上に存在することを主張しており、2次元ではなく3次元で考え、直線を2つの平面の交点として表すという同じ考え方を用いて同様の証明が可能です。
参照
参考文献
- ^ ウェルズ、デイヴィッド (1991). 『ペンギン辞典 不思議で興味深い幾何学』 ニューヨーク: ペンギンブックス. pp. 153–154. ISBN 0-14-011813-6。
- ^ ウィンクラー、ピーター（2024年）『数学パズル』ジェス・ジョンソンイラスト（改訂版）ボカラトン、ロンドン、ニューヨーク：CRCプレス。ISBN 9781040049518。
参考文献
- グラハム, LA (1959). 『独創的な数学の問題と方法』 ニューヨーク: ドーバー. ISBN 0486205452. 2012年12月1日閲覧。
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外部リンク
- MathWorldにおけるモンジュの円定理
- モンジュの定理（結び目を切る）
- 結び目を切る3つの円と共通接線
- グラント・サンダーソン (2024-11-08). 「モンジュの定理」。なぜ4次元幾何学は私を悲しくさせるのか。3Blue1Brown .
