モンテカルロ法

モンテカルロ法による正規分布の近似

モンテカルロ法は、モンテカルロ実験またはモンテカルロシミュレーションとも呼ばれ、数値結果を得るために繰り返しランダムサンプリングを行う計算アルゴリズムの広範なクラスです。その基本的な概念は、ランダム性を利用して決定論的な問題を解くことです。

モンテカルロ法は、主に最適化、数値積分、非一様乱数発生という3つの異なる問題クラスで用いられ、原子力発電所のリスク評価など、入力の不確実性が大きい現象のモデリングに利用できます。モンテカルロ法は、多くの場合、コンピュータシミュレーションを用いて実装されます。数学的解析には複雑すぎる問題に対して、近似解を提供することができます。

概要

その名称は、モナコにあるモンテカルロ・カジノに由来しています。この手法の主たる開発者である数学者スタニスワフ・ウラムは、叔父のギャンブル癖にヒントを得て、このカジノでモンテカルロ法を考案しました。モンテカルロ法は、物理学、化学、生物学、統計学、人工知能、金融、暗号学など、科学、工学、数学の様々な分野で広く利用されています。また、社会学、心理学、政治学などの社会科学にも応用されています。モンテカルロ法は、20世紀で最も重要かつ影響力のあるアイデアの一つとして認識されており、多くの科学技術の飛躍的な進歩を可能にしました。

モンテカルロ法には、精度と計算コストのトレードオフ、次元の呪い、乱数生成器の信頼性、結果の検証と妥当性確認といった、いくつかの制限と課題があります。モンテカルロ法は多岐にわたりますが、特定のパターンに従う傾向があります。

1. 可能な入力のドメインを定義します。
2. ドメイン上の確率分布からランダムに入力を生成します。
3. 出力の決定論的な計算を実行します。
4. 結果を集計します。

πの値を近似するためにモンテカルロ法を適用する

例えば、単位正方形に内接する象限（扇形）を考えてみましょう。それらの面積比は⁠π/4⁠ πの値はモンテカルロ法を用いて近似することができる：^{[ 1 ]}

1. 正方形を描き、その中に四分円を描きます。
2. 指定された数の点を正方形上に均一に散布します。
3. 象限内の点の数、つまり原点からの距離が 1 未満の点の数を数えます。
4. 内部カウントと総サンプルカウントの比率は、2つの領域の比率の推定値です。π/4⁠ . 結果に4を掛けてπを推定します。

この手順では、入力の領域は象限に外接する正方形です。正方形上に粒子を散布することでランダムな入力を生成し、各入力に対して計算を実行し、象限内に収まるかどうかをテストすることができます。結果を集約することで、最終結果であるπの近似値が得られます。ここで重要な考慮事項が2つあります。

1. 点が均一に分布していない場合、近似は不十分になります。
2. 正方形全体にランダムに配置される点が増えるほど、近似値は向上します。

モンテカルロ法を使用するには大量の乱数が必要であり、その使用には、これまで使用されていた乱数表よりもはるかに高速に使用できる 疑似乱数ジェネレーターの大きな利点がありました。

アプリケーション

モンテカルロ法は物理学や数学の問題でよく用いられ、他のアプローチを用いることが困難あるいは不可能な場合に最も有用です。モンテカルロ法は主に3つの問題群、すなわち^{[ 2 ]}最適化、数値積分、そして確率分布からの抽出において用いられます。

物理学関連の問題では、モンテカルロ法は、流体、無秩序な物質、強く結合した固体、細胞構造（細胞ポッツモデル、相互作用粒子システム、マッキーン・ブラソフ過程、気体の運動モデルなど）など、多くの 結合自由度を持つシステムをシミュレートするのに役立ちます。

その他の例としては、ビジネスにおけるリスク計算や、数学においては複雑な境界条件を伴う多次元定積分の評価など、入力に大きな不確実性を伴う現象のモデリングが挙げられます。システムエンジニアリングの問題（宇宙、石油探査、航空機設計など）への応用において、モンテカルロ法に基づく故障、コスト超過、スケジュール超過の予測は、人間の直感や他の「ソフト」な手法よりも常に優れています。^{[ 3 ]}

原則として、モンテ カルロ法は、確率的解釈ができるあらゆる問題を解くのに使用できます。大数の法則により、あるランダム変数の期待値で記述される積分は、その変数の独立したサンプルの経験的平均(別名「サンプル平均」)をとることで近似できます。変数の確率分布がパラメーター化されている場合、数学者はマルコフ連鎖モンテ カルロ(MCMC) サンプラーをよく使用します。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}中心的な考え方は、所定の定常確率分布を持つ適切なマルコフ連鎖モデルを設計することです。つまり、極限では、MCMC 法で生成されるサンプルは、目的の (ターゲット) 分布からのサンプルになります。^{[ 7 ] [ 8 ]}エルゴード定理により、定常分布はMCMC サンプラーのランダム状態の 経験的尺度で近似されます。

他の問題では、目的は非線形発展方程式を満たす確率分布の列から抽出を生成することである。これらの確率分布の流れは常に、遷移確率が現在のランダム状態の分布に依存するマルコフ過程のランダム状態の分布として解釈することができる（マッキーン・ブラソフ過程、非線形フィルタリング方程式を参照）。^{[ 9 ] [ 10 ]}他の例では、サンプリングの複雑さのレベルが増加する確率分布の流れが生じる（増加する時間範囲を持つパス空間モデル、減少する温度パラメータに関連するボルツマン・ギブス測度など）。これらのモデルは、非線形マルコフ連鎖のランダム状態の法則の発展と見ることもできる。^{[ 10 ] [ 11 ]}

これらの高度な非線形マルコフ過程をシミュレートする自然な方法は、過程の複数のコピーをサンプリングし、進化方程式におけるランダム状態の未知の分布をサンプリングされた経験的尺度に置き換えることです。従来のモンテカルロ法やMCMC法とは対照的に、これらの平均場粒子法は、相互作用する連続サンプルに依存します。「平均場」という用語は、各サンプル（粒子、個体、歩行者、エージェント、生物、または表現型）が過程の経験的尺度と相互作用するという事実を反映しています。システムのサイズが無限大に近づくと、これらのランダムな経験的尺度は非線形マルコフ連鎖のランダム状態の決定論的分布に収束し、粒子間の統計的相互作用は消失します。

シンプルモンテカルロ

ある集団の期待値を知りたい（そしてが存在することはわかっている）が、それを計算する公式がないとしよう。単純なモンテカルロ法は、シミュレーションを実行し、その結果を平均することで の推定値を求める。この方法では、シミュレーションへの入力の確率分布に制限はなく、入力がランダムに生成され、互いに独立していること、 が存在することのみが求められる。 が十分に大きい場合、の値は に任意に近いものとなる。より正式には、任意の に対して となる。^{[ 12 ]}通常、 を求めるアルゴリズムは以下の通りである 。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |\mu -m|\leq \epsilon }$ ${\displaystyle m}$

s = 0; i = 1 ～nの場合 、 シミュレーションをi回目に実行し、結果r iを生成します。  s = s + r i ; 繰り返しm = s / n ;

例

3つの8面サイコロを振った場合、合計の出目が少なくとも となる回数を知りたいとします。期待値が存在することは分かっています。サイコロの出目はランダムに分布し、互いに独立しています。したがって、単純なモンテカルロ法を適用できます。 ${\displaystyle T}$

s = 0; i = 1 ～nの場合、 Tに達するか最初にTを超える まで 3 つのサイコロを投げます。 r i = 投げる回数。  s = s + r i。繰り返しm = s / n。

が十分に大きい場合、任意の に対して は以内になります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

十分に大きなnを決定する

一般式

とします。希望する信頼水準（モンテカルロアルゴリズムが完了したときに、 がの範囲内にある確率）を選択します。をその信頼水準に対応する -スコアとします。${\displaystyle \epsilon =|\mu -m|>0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

を推定分散（「標本」分散とも呼ばれる）とする。これは比較的少数の「標本」シミュレーションから得られた結果の分散である。 を選択する。DrielsとShinは、「必要な数よりも1桁少ない標本数であっても、その数の計算は非常に安定している」と述べている。^{[ 13 ]}以下のアルゴリズムは、累積した数値誤差によって誤った結果が生じる可能性を最小限に抑えながら、1回のパスで計算を行う。 ^{[ 12 ]}${\displaystyle s^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s^{2}}$

s 1 = 0; シミュレーションを 1 回目に実行し、結果を生成します。r 1 ; m 1 = r 1 ; // m iは、i = 2からkまでの最初のi回のシミュレーションの平均です。シミュレーションをi回目に実行し、結果を生成します。r i ; δ i = r i - m i −1 ; m i = m i-1 + (1/ i ) δ i ; s i = s i-1 + (( i - 1)/ i )( δ i ) 2 ;繰り返します。 s 2 = s k /( k - 1);

アルゴリズムが完了すると、結果の平均になることに注意してください。 ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle k}$

値が十分に大きい場合 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n\geq s^{2}z^{2}/\epsilon ^{2}.}$ ^{[ 12 ] [ 13 ]}

の場合、十分なサンプルシミュレーションが実行され、がの範囲内にあることが保証されます。の場合、シミュレーションを「最初から」実行できます。または、既にシミュレーションが実行されている場合は、さらにシミュレーションを実行し、その結果をサンプルシミュレーションの結果に追加することもできます。 ${\displaystyle n\leq k}$ ${\displaystyle m_{k}=m}$ ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle n>k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle nk}$

s = m k * k ; i = k + 1 からnまで、シミュレーションをi回目に実行し、結果r i ; s = s + r i ; m = s / n ;を返します。

シミュレーション結果の境界付き公式

すべてのシミュレーション結果が上または下に制約される特殊な場合には、別の式を使用できます。

との最大許容差の2倍となるの値を選択します。を希望する信頼水準（パーセントで表す）とします。すべてのシミュレーション結果が有限のおよびに対してとなるものとします。 の信頼度を少なくとも とするには、となる値を使用します。 ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<\delta <100}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i},\ldots ,r_{n}}$ ${\displaystyle a\leq r_{i}\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \delta}$ ${\displaystyle |\mu -m|<\epsilon /2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/(1-(\delta /100)))/\epsilon ^{2}}$

例えば、ならば。^{[ 12 ]}${\displaystyle \delta =99\%}$ ${\displaystyle n\geq 2(ba)^{2}\ln(2/0.01)/\epsilon^{2}\approx 10.6(ba)^{2}/\epsilon^{2}}$

計算コスト

モンテカルロシミュレーションは、概念的にもアルゴリズム的にも単純であるにもかかわらず、計算コストが驚くほど高くなる可能性があります。一般的に、この手法では良好な近似値を得るために多くのサンプルが必要となり、単一サンプルの処理時間が長い場合は、合計実行時間が任意に大きくなる可能性があります。^{[ 14 ]}これは非常に複雑な問題では深刻な制約となりますが、このアルゴリズムの驚異的な並列性により、ローカルプロセッサ、クラスター、クラウドコンピューティング、GPU、FPGAなどの並列計算戦略によって、この大きなコストを（おそらく実現可能なレベルまで）削減することができます。 ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

歴史

モンテカルロ法が開発される以前は、シミュレーションは既に理解されている決定論的な問題を検証し、統計的サンプリングを用いてシミュレーションにおける不確実性を推定していました。モンテカルロシミュレーションはこのアプローチを逆転させ、確率的メタヒューリスティックスを用いて決定論的な問題を解きます（シミュレーテッドアニーリングを参照）。

モンテカルロ法の初期の変種は、ビュフォンの針問題を解くために考案されました。この問題では、等間隔の平行な帯状の床に針を落とすことでπを推定できます。1930年代、エンリコ・フェルミは中性子拡散の研究中に初めてモンテカルロ法の実験を行いましたが、この研究成果は発表しませんでした。^{[ 19 ]}

1940年代後半、スタニスワフ・ウラムはロスアラモス国立研究所で核兵器プロジェクトに携わっていた際に、マルコフ連鎖モンテカルロ法の現代版を発明しました。1946年、ロスアラモスの核兵器物理学者たちは、核兵器の核心における中性子の拡散を研究していました。^{[ 19 ]}

中性子が原子核に衝突するまでに物質中を移動する平均距離や、衝突後に中性子が放出するエネルギー量など、必要なデータのほとんどが揃っていたにもかかわらず、ロスアラモスの物理学者たちは従来の決定論的な数学的手法ではこの問題を解くことができませんでした。そこでウラムは、ランダム実験を用いることを提案しました。彼はその着想について次のように語っています。

私が[モンテカルロ法]を実践しようと考えた最初のきっかけは、1946年に病気療養中にソリティアをしていた時に浮かんだ疑問でした。52枚のカードで並べたキャンフィールド・ソリティアが成功する確率はどれくらいか、という疑問です。純粋な組み合わせ計算でその確率を推定しようと多くの時間を費やした後、私は「抽象的な思考」よりももっと現実的な方法は、例えば100回並べ、成功した回数を観察して数えることではないかと考えました。これは、高速コンピュータの新時代の幕開けとともに既に構想可能でした。私はすぐに中性子拡散の問題やその他の数理物理学の問題、そしてより一般的には、特定の微分方程式で記述される過程を、ランダム操作の連続として解釈できる同等の形に変換する方法を思いつきました。後に[1946年]、私はジョン・フォン・ノイマンにこのアイデアを説明し、実際の計算を計画し始めました。^{[ 20 ]}

フォン・ノイマンとウラムの研究は秘密であったため、コード名が必要だった。^{[ 21 ]}フォン・ノイマンとウラムの同僚であるニコラス・メトロポリスは、ウラムの叔父が親戚からギャンブルをするために金を借りていたモナコのモンテカルロ・カジノにちなんで、モンテカルロという名前を使うことを提案した。 ^{[ 19 ]} モンテカルロ法は、当時の計算ツールによって大きく制限されていたものの、水素爆弾の設計を含む、戦後の核兵器のさらなる開発に必要なシミュレーションの中心となった。フォン・ノイマン、ニコラス・メトロポリスらは、1948年春に、核分裂兵器のコアの最初の完全自動モンテカルロ計算を実行するようにENIACコンピューターをプログラムした。 ^{[ 22 ]}

1950年代、モンテカルロ法はロスアラモス研究所で水素爆弾の開発に用いられ、物理学、物理化学、オペレーションズ・リサーチの分野で広く普及しました。ランド研究所とアメリカ空軍は、この時期にモンテカルロ法への資金提供と情報提供を担った主要機関であり、モンテカルロ法は様々な分野で広く応用されるようになりました。

より洗練された平均場型粒子モンテカルロ法の理論は、1960年代半ばまでに、流体力学で生じる非線形放物型偏微分方程式のマルコフ解釈に関するヘンリー・P・マッキーン・ジュニアの研究によって確実に始まっていた。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}セオドア・E・ハリスとハーマン・カーンが1951年に発表した先駆的な論文では、粒子透過エネルギーの推定に平均場遺伝的モンテカルロ法が使用されていた。^{[ 25 ]}

平均場遺伝型モンテカルロ法は、進化計算におけるヒューリスティックな自然探索アルゴリズム（メタヒューリスティック）としても用いられています。これらの平均場計算手法の起源は、1950年と1954年にアラン・チューリングが行った遺伝型突然変異選択学習機械に関する研究^{[ 26 ]}と、ニュージャージー州プリンストン高等研究所のニルス・オール・バリチェリが発表した論文^{[ 27 ] [ 28 ]}に遡ります。

量子モンテカルロ法、より具体的には拡散モンテカルロ法は、ファインマン-カッツ経路積分の平均場粒子モンテカルロ近似として解釈することもできます。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}量子モンテカルロ法の起源は、1948 年に中性子連鎖反応の平均場粒子解釈を開発したエンリコ・フェルミとロバート・リヒトマイヤーにあるとされることが多いが、 ^{[ 36 ]}量子システムの基底状態エネルギーを推定する最初のヒューリスティックな遺伝的粒子アルゴリズム（別名、再サンプルモンテカルロ法または再構成モンテカルロ法）は、1984 年にジャック H. ヘザリントンによるものである。^{[ 35 ]}分子化学において、遺伝的ヒューリスティックな粒子手法（別名、刈り込み戦略とエンリッチメント戦略）の使用は、1955 年のマーシャル N. ローゼンブルースとアリアナ W. ローゼンブルースの先駆的な研究にまで遡ることができる。^{[ 37 ]}

高度な信号処理やベイズ推論における逐次モンテカルロ法の応用は比較的最近のことである。1993年、ゴードンらは、ベイズ統計推論におけるモンテカルロ再サンプリングアルゴリズムの初めての応用を、その独創的な論文^{[ 38 ]}で発表した。著者らはこのアルゴリズムを「ブートストラップフィルタ」と名付け、他のフィルタリング手法と比較して、ブートストラップアルゴリズムは状態空間やシステムのノイズに関する仮定を必要としないことを示した。この分野におけるもう一つの先駆的な論文としては、北川源四郎による関連する「モンテカルロフィルタ」に関する論文^{[ 39 ]と、1990年代半ばに発表されたピエール・デル・モラル[ 40 ]}、ヒミルコン・カルヴァリョ、ピエール・デル・モラル、アンドレ・モナン、ジェラール・サリュ^{[ 41 ]}による粒子フィルタに関する論文が挙げられる。粒子フィルタは、1989年から1992年にかけて、LAAS-CNRSのP. Del Moral、JC Noyer、G. Rigal、G. Salutによって信号処理分野でも開発されました。この研究は、STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales)、IT企業DIGILOG、LAAS-CNRS (the Laboratory for Analysis and Architecture of Systems)と共同で行った、レーダー/ソナーとGPS信号処理の問題に関する一連の限定的かつ機密扱いの研究報告書の中で行われました。^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}これらのシーケンシャルモンテカルロ法は、相互作用するリサイクルメカニズムを備えた受理-拒否サンプラーとして解釈できます。

1950年から1996年にかけて、計算物理学と分子化学で導入された枝刈り法や再標本化モンテカルロ法を含む、逐次モンテカルロ法に関するすべての出版物は、様々な状況に適用された自然でヒューリスティックなアルゴリズムを提示しているだけで、その一貫性の証明は一つもなく、推定値のバイアスや系図的・祖先的木に基づくアルゴリズムについても議論されていない。これらの粒子アルゴリズムの数学的基礎と最初の厳密な分析は、1996年にピエール・デル・モラルによって執筆された。^{[ 40 ] [ 48 ]}

1990年代後半には、ダン・クリサン、ジェシカ・ゲインズ、テリー・ライオンズによって、異なる集団サイズを持つ分岐型粒子法も開発されました。^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]}また、ダン・クリサン、ピエール・デル・モラル、テリー・ライオンズによっても開発されました。^{[ 52 ]}この分野のさらなる発展は、1999年から2001年にかけて、P.デル・モラル、A.ギオネット、L.ミクロによって説明されました。^{[ 30 ] [ 53 ] [ 54 ]}

定義

モンテカルロをどのように定義すべきかについてはコンセンサスが得られていない。例えば、Ripley ^{[ 55 ]}は、ほとんどの確率モデルを確率的シミュレーションと定義し、モンテカルロはモンテカルロ積分とモンテカルロ統計検定にのみ用いられるとしている。Sawilowsky ^{[ 56 ]}は、シミュレーション、モンテカルロ法、モンテカルロシミュレーションを区別している。シミュレーションは現実の架空の表現であり、モンテカルロ法は数学的または統計的な問題を解くために用いられる手法である。モンテカルロシミュレーションでは、繰り返しサンプリングを行うことで、いくつかの現象の統計的特性を得る。以下にいくつか例を挙げる。

• シミュレーション：区間[0,1]から擬似乱数の一様変数を1つ抽出することで、コインを投げる動作をシミュレートできます。値が0.50以下の場合は表、0.50より大きい場合は裏とします。これはシミュレーションであり、モンテカルロシミュレーションではありません。
• モンテ カルロ法: テーブルの上にコインの入った箱を並べ、表と裏が出るコインの比率を計算するのは、コインを繰り返し投げたときの動作を決定するモンテ カルロ法ですが、シミュレーションではありません。
• モンテカルロシミュレーション:一度に [0,1] の区間から多数の擬似ランダム一様変数を抽出し、0.50 以下の値を表、0.50 より大きい値を裏として割り当てる、コインを繰り返し投げる動作のモンテカルロシミュレーションです。

カロスとウィットロック^{[ 57 ]}は、このような区別を維持することが必ずしも容易ではないことを指摘している。例えば、原子からの放射線の放出は自然な確率過程である。これは直接シミュレーションすることも、その平均的な挙動をモンテカルロ法を用いて解くことができる確率方程式で記述することもできる。「実際、同じコンピュータコードは、同時に『自然なシミュレーション』として、あるいは自然なサンプリングによる方程式の解として見ることができる。」モンテカルロシミュレーションの収束性は、ゲルマン・ルビン統計量を用いて確認することができる。

モンテカルロと乱数

この手法の根底にある基本的な考え方は、繰り返しのランダムサンプリングと統計分析に基づいて結果を計算するというものです。モンテカルロシミュレーションは、実際には、実験結果が十分に分かっていない場合のランダム実験です。モンテカルロシミュレーションは、通常、多くの未知のパラメータを特徴とし、その多くは実験的に得ることが困難です。^{[ 58 ]}モンテカルロシミュレーション法は、必ずしも真に乱数である必要はありません（ただし、素数判定などの一部のアプリケーションでは、予測不可能性が不可欠です）。^{[ 59 ]}最も有用な手法の多くは、決定論的な疑似乱数列を使用しており、シミュレーションのテストと再実行が容易です。良好なシミュレーションを行うために必要な唯一の品質は、疑似乱数列がある意味で「十分にランダム」に見えることです。

これが何を意味するかは応用分野によって異なりますが、通常は一連の統計的検定に合格する必要があります。十分な数の要素を考慮した際に、数値が均一に分布しているか、あるいは他の望ましい分布に従っているかを検定することは、最も単純かつ一般的な検定の一つです。連続するサンプル間の弱い相関も、しばしば望ましい/必要な場合があります。Sawilowskyは、高品質のモンテカルロシミュレーションの特徴を次のように挙げています。^{[ 56 ]}

• （疑似乱数）生成器には特定の特性がある（例えば、シーケンスが繰り返されるまでの長い「期間」）
• （疑似乱数）生成器は乱数テストに合格する値を生成する
• 正確な結果を保証するのに十分なサンプルがある
• 適切なサンプリング技術が使用されている
• 使用されるアルゴリズムはモデル化対象に対して有効である
• 問題となっている現象をシミュレートします。

擬似乱数サンプリングアルゴリズムは、一様分布する擬似乱数を、与えられた確率分布に従って分布する数値に変換するために使用されます。低乖離度シーケンスは、均一なカバレッジを保証し、通常、ランダムシーケンスまたは擬似乱数シーケンスを使用するモンテカルロシミュレーションよりも収束が速いため、空間からのランダムサンプリングの代わりによく使用されます。低乖離度シーケンスの使用に基づく手法は、準モンテカルロ法と呼ばれます。

乱数の品質がモンテカルロシミュレーションの結果に与える影響を評価するため、天体物理学研究者らは、インテルのRDRAND命令セットを用いて生成された暗号的に安全な疑似乱数を、メルセンヌ・ツイスターなどのアルゴリズムから生成されたものと比較し、褐色矮星からの電波フレアのモンテカルロシミュレーションを行った。10^ ⁷の乱数を生成する試験において、一般的な疑似乱数生成器とRDRANDで生成されたモデルの間に統計的に有意な差は見られなかった。 ^{[ 60 ]}

モンテカルロシミュレーションと「もしも」のシナリオ

モンテカルロシミュレーションとは全く異なる確率を用いる方法も存在します。例えば、一点推定値を用いた決定論的モデリングなどが挙げられます。モデル内の不確実な変数にはそれぞれ「最良推定値」が割り当てられます。入力変数ごとにシナリオ（最良、最悪、最も可能性の高いケースなど）が選択され、結果が記録されます。^{[ 61 ]}

対照的に、モンテカルロシミュレーションは、各変数の確率分布からサンプリングを行い、数百または数千の可能な結果を​​生成します。その結果を分析し、異なる結果が発生する確率を取得します。 ^{[ 62 ]}例えば、スプレッドシートの建設コストモデルを従来の「what if」シナリオを用いて実行し、その後、モンテカルロシミュレーションと三角確率分布を用いて比較すると、モンテカルロ分析の範囲は「what if」分析よりも狭いことがわかります。これは、「what if」分析ではすべてのシナリオに等しい重み付けがされるのに対し（企業財務における不確実性の定量化を参照）、モンテカルロ法では確率が非常に低い領域ではほとんどサンプリングが行われないためです。このような領域のサンプルは「稀な事象」と呼ばれます。

アプリケーション

モンテカルロ法は、入力に大きな不確実性を伴う現象や、多くの自由度 が結合したシステムのシミュレーションに特に有効です。応用分野は以下のとおりです。

物理科学

モンテカルロ法は計算物理学、物理化学、および関連する応用分野において非常に重要であり、複雑な量子色力学の計算から熱シールドや空力形状の設計、放射線量測定計算のための放射線輸送のモデリングまで、多様な用途がある。^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

統計物理学

ベイズ統計学では、観測データに基づいて観測されていないパラメータを再構成するために、2種類の手法が一般的に用いられます。この図は、2次元のトイプロブレムにそれぞれの手法を適用した例を示しています。

統計物理学において、モンテカルロ分子モデリングは計算分子動力学の代替であり、モンテカルロ法は単純な粒子系やポリマー系の統計場の理論を計算するために使用されます。 ^{[ 37 ] [ 66 ]}量子モンテカルロ法は量子系の多体問題を解きます。 ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 29 ]}

放射線材料科学

放射線材料科学において、イオン注入をシミュレートするための二元衝突近似は、通常、次に衝突する原子を選択するためのモンテカルロ法に基づいています。^{[ 67 ]}実験粒子物理学では、モンテカルロ法は検出器の設計、その挙動の理解、実験データと理論の比較に使用されます。天体物理学では、銀河の進化^{[ 68 ]}や惑星の粗い表面を通るマイクロ波放射の透過^{[ 69 ]}の両方をモデル化するなど、多様な方法で使用されています。モンテカルロ法は、現代の天気予報の基礎を形成するアンサンブルモデルにも使用されています。

エンジニアリング

モンテカルロ法は、エンジニアリング分野において、感度分析やプロセス設計における定量的確率解析に広く用いられています。この手法の必要性は、典型的なプロセスシミュレーションにおける相互作用、共線性、非線形性の挙動に起因しています。例えば、

• マイクロエレクトロニクス工学では、モンテカルロ法はアナログおよびデジタル集積回路における相関および非相関の変動を分析するために使用されます。
• 地質統計学と地質冶金学では、モンテカルロ法は鉱物処理フローシートの設計の基礎となり、定量的なリスク分析に貢献しています。^{[ 21 ]}
• 流体力学、特に希薄気体力学では、ボルツマン方程式を有限クヌーセン数の流体流れに対して、直接シミュレーションモンテカルロ法^{[ 70 ]}と高効率計算アルゴリズムを組み合わせて解きます。^{[ 71 ]}
• 自律ロボット工学において、モンテカルロ法はロボットの位置を特定することができます。これは、SLAM （同時位置推定と地図作成）アルゴリズムの中核を成すカルマンフィルタや粒子フィルタなどの確率的フィルタによく適用されます。
• 電気通信分野において、無線ネットワークを計画する際には、主にユーザー数、ユーザーの所在地、そしてユーザーが利用したいサービスなどによって左右される、様々なシナリオにおいて設計が機能することを証明する必要があります。これらのユーザーとその状態を生成するために、モンテカルロ法が一般的に用いられます。その後、ネットワークのパフォーマンスが評価され、結果が満足のいくものでない場合は、ネットワーク設計の最適化プロセスが行われます。
• 信頼性工学では、コンポーネント レベルの応答が与えられた場合に、モンテ カルロ シミュレーションを使用してシステム レベルの応答を計算します。
• 信号処理とベイズ推論において、粒子フィルタと逐次モンテカルロ法は、相互作用する経験的尺度を用いて、ノイズの多い部分的な観測が与えられた信号プロセスの事後分布をサンプリングして計算する平均場粒子法の一種である。^{[ 72 ]}

気候変動と放射強制力

気候変動に関する政府間パネルは、放射強制力の確率密度関数解析にモンテカルロ法を利用している。^{[ 73 ]}

計算生物学

モンテカルロ法は計算生物学の様々な分野で利用されており、例えば系統発生におけるベイズ推論や、ゲノム、タンパク質^{[ 74 ]} 、膜^{[ 75 ]}などの生物学的システムの研究に用いられている。 システムは、求められる精度に応じて粗視化または第一原理計算の枠組みで研究することができる。コンピュータシミュレーションでは、例えば特定の分子の局所環境を監視して、何らかの化学反応が起こっているかどうかを調べることができる。物理的な実験を行うことが不可能な場合には、結合を切断する、特定の部位に不純物を導入する、局所的/全体的な構造を変える、外部場を導入するなどの思考実験を行うことができる。

コンピュータグラフィックス

パストレーシング（モンテカルロレイトレーシングとも呼ばれる）は、可能性のある光路のサンプルをランダムにトレースすることで3Dシーンをレンダリングします。任意のピクセルを繰り返しサンプリングすることで、サンプルの平均が最終的にレンダリング方程式の正しい解に収束します。そのため、パストレーシングは、物理的に最も正確な3Dグラフィックスレンダリング手法の1つとなっています。

応用統計学

統計学におけるモンテカルロ実験の基準はサウィロウスキーによって定められた。^{[ 76 ]}応用統計学において、モンテカルロ法は少なくとも4つの目的で使用される。

1. 現実的なデータ条件下で、小規模サンプルの競合する統計量を比較する。統計量の第1種誤差と検出力は、漸近条件（すなわち、無限サンプルサイズと無限小の処理効果）における古典的な理論分布（例えば、正規曲線、コーシー分布）から得られたデータに対して計算できるが、実際のデータはそのような分布を持たないことが多い。^{[ 77 ]}
2. 漸近分布の臨界値よりも正確でありながら、順列検定（多くの場合計算が不可能）などの正確な検定よりも効率的な仮説検定の実装を提供します。
3. ベイズ推論において事後分布からランダムサンプルを提供する。このサンプルは事後分布の本質的な特徴をすべて近似し、要約する。
4. 負の対数尤度関数のヘッセ行列の効率的なランダム推定値を提供し、それを平均化してフィッシャー情報行列の推定値を形成する。^{[ 78 ] [ 79 ]}

モンテカルロ法は、近似ランダム化検定と順列検定の妥協点でもあります。近似ランダム化検定は、すべての順列のうち特定のサブセットに基づきます（そのため、どの順列を考慮したかを記録する膨大な作業が必要になる可能性があります）。モンテカルロ法は、指定された数のランダムに抽出された順列に基づきます（同じ順列が2回（あるいはそれ以上）抽出された場合の精度のわずかな低下と引き換えに、どの順列が既に選択されたかを追跡する必要がないという効率性が得られます）。

ゲームのための人工知能

モンテカルロ法は、モンテカルロ木探索と呼ばれる手法に発展し、ゲームにおける最善の手を探すのに役立ちます。可能な手は探索木に整理され、多数のランダムシミュレーションによって各手の長期的な可能性を推定します。ブラックボックスシミュレータが対戦相手の手を表します。^{[ 80 ]}モンテカルロ木探索（MCTS）法は4つのステップで構成されます。^{[ 81 ]}

1. ツリーのルート ノードから開始し、リーフ ノードに到達するまで最適な子ノードを選択します。
2. リーフ ノードを展開し、その子の 1 つを選択します。
3. そのノードから始まるシミュレーションゲームをプレイします。
4. シミュレートされたゲームの結果を使用して、ノードとその祖先を更新します。

多くのシミュレーションゲームを経るうちに、ある手を表すノードの値が上がったり下がったりする結果となり、そのノードが良い手を表すかどうかに比例することを期待できます。モンテカルロ木探索は、囲碁、^{[ 82 ]} 、タントリックス、^{[ 83 ]} 、バトルシップ、^{[ 84 ]} 、ハバナ、^{[ 85 ]}、アリマー^{[ 86 ]}などのゲームで効果的に利用されてきました。

デザインとビジュアル

モンテカルロ法は、放射場とエネルギー輸送の結合した積分微分方程式を解くのにも効率的であり、そのため、これらの方法は、ビデオゲーム、建築、デザイン、コンピュータ生成映画、映画の特殊効果などの仮想3Dモデルのフォトリアリスティックな画像を生成するグローバルイルミネーション計算に使用されてきた。^{[ 87 ]}

捜索救助

米国沿岸警備隊は、捜索救助活動中の船舶の推定位置を計算するために、コンピュータモデリングソフトウェアSAROPS内でモンテカルロ法を利用しています。各シミュレーションでは、与えられた変数に基づいてランダムに分布する最大1万点のデータポイントが生成されます。^{[ 88 ]}

これらのデータの外挿に基づいて捜索パターンが生成され、封じ込め確率（POC）と検出確率（POD）が最適化されます。これらを合わせると、全体的な成功確率（POS）が算出されます。これは最終的に、確率分布の実用化として、最も迅速かつ効率的な救助方法を提供し、人命と資源の両方を節約することに役立ちます。^{[ 89 ]}

金融とビジネス

モンテカルロシミュレーションは、様々な意思決定オプションの結果に影響を与えるリスクと不確実性を評価するために一般的に使用されます。モンテカルロシミュレーションにより、ビジネスリスクアナリストは、売上高、商品価格、労働価格、金利、為替レートといった変数における不確実性の総合的な影響に加え、契約の解除や税法の変更といった個別のリスクイベントの影響も考慮に入れることができます。

金融分野におけるモンテカルロ法は、事業部門や企業レベルでのプロジェクトへの投資評価、あるいはその他の財務評価によく用いられます。プロジェクトスケジュールのモデル化にも利用でき、シミュレーションによって各タスクの最悪ケース、最良ケース、そして最も可能性の高い期間の推定値を集計し、プロジェクト全体の成果を算出します。^{[ 90 ]}モンテカルロ法は、オプション価格設定やデフォルトリスク分析にも用いられます。^{[ 91 ] [ 92 ]}さらに、医療介入の財務的影響の推定にも用いられます。^{[ 93 ]}

法

ウィスコンシン州の女性申請者が嫌がらせや家庭内暴力に対する接近禁止命令の申請を成功させるための支援プログラムの潜在的価値を評価するために、モンテカルロ法が用いられた。このプログラムは、女性に支援を充実させることで、レイプや身体的暴行のリスクを軽減し、申請の成功を支援することが提案された。しかし、接近禁止命令の有効性、支援の有無による申請者の成功率など、完全に推定できない変数が多数存在した。本研究では、これらの変数を変化させる試験を実施し、提案プログラム全体の成功レベルの総合的な推定値を算出した。^{[ 94 ]}

図書館学

モンテカルロ法は、マレーシアにおける書籍のジャンル別の出版数をシミュレートするためにも用いられた。モンテカルロシミュレーションでは、過去に公表された全国図書出版データと、現地市場における書籍のジャンル別の価格が利用された。モンテカルロの結果は、マレーシア人がどのようなジャンルの書籍を好むかを判断するために用いられ、マレーシアと日本の書籍出版を比較するのにも用いられた。^{[ 95 ]}

その他

ナシーム・ニコラス・タレブは、2001 年の著書『Fooled by Randomness』の中で、モンテ カルロ ジェネレーターを逆チューリング テストの実際の例として書いています。つまり、人間が書いたものが生成されたものと区別できない場合、その人間は知能がないと判断できるということです。

数学的応用

一般的に、モンテカルロ法は数学において、適切な乱数（乱数生成も参照）を生成し、そのうちのある性質を満たす乱数の割合を観測することで、様々な問題を解くために使用されます。この手法は、解析的に解くには複雑すぎる問題の数値解を求めるのに役立ちます。モンテカルロ法の最も一般的な応用は、モンテカルロ積分です。

統合

モンテカルロ積分は、ランダムな点を関数の値と比較することによって機能します。

エラーが 1 分の 1 に減少します。${\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}$

決定論的数値積分アルゴリズムは次元数が少ない場合にはうまく機能しますが、関数に多くの変数がある場合には2つの問題に遭遇します。第1に、次元数が増えるにつれて必要な関数評価の回数が急激に増加します。たとえば、1次元で10回の評価で十分な精度が得られる場合、100次元では10 ^×100点が必要になりますが、これは計算するには多すぎます。これは次元の呪いと呼ばれています。第2に、多次元領域の境界は非常に複雑な場合があり、問題を反復積分に簡約することが現実的ではない可能性があります。^{[ 96 ]}多くの物理的問題では、「次元」は自由度に相当するため、 100次元は決して珍しいことではありません。

モンテカルロ法は、この計算時間の指数関数的増加を回避する方法を提供します。対象となる関数が十分に良好な挙動を示す限り、100次元空間からランダムに点を選択し、それらの点における関数値の何らかの平均を取ることで推定できます。中心極限定理によれば、この方法は収束を示します。つまり、次元数に関わらず、サンプル点の数を4倍にすると誤差は半分になります。^{[ 96 ]}${\displaystyle \scriptstyle 1/{\sqrt {N}}}$

この手法を改良したものは統計学において重要度サンプリングとして知られており、点をランダムにサンプリングしますが、積分関数が大きい場合にはより頻繁にサンプリングを行います。これを正確に行うには積分値を既に知っている必要がありますが、類似関数の積分値で積分値を近似したり、層別サンプリング、再帰層別サンプリング、適応型アンブレラサンプリング^{[ 97 ] [ 98 ]} 、 VEGASアルゴリズムなどの適応型ルーチンを使用したりできます。

同様のアプローチである準モンテカルロ法は、低乖離性シーケンスを用いる。これらのシーケンスは領域をより良く「埋め」、最も重要な点をより頻繁にサンプリングするため、準モンテカルロ法は多くの場合、より速く積分に収束する。体積内の点をサンプリングする別の手法としては、体積上のランダムウォークをシミュレートする方法（マルコフ連鎖モンテカルロ法）がある。このような手法には、メトロポリス・ヘイスティングス法、ギブスサンプリング、ワング・ランダウ法、そして逐次モンテカルロサンプラーなどの相互作用型MCMC法などがある。^{[ 99 ]}

シミュレーションと最適化

数値シミュレーションにおける乱数のもう一つの強力かつ非常に人気のある応用は、数値最適化である。問題は、多くの場合多くの次元を持つあるベクトルの関数を最小化（または最大化）することである。多くの問題がこのように表現できる。例えば、コンピュータチェスのプログラムは、最終的に最良の評価関数を生み出す、例えば10手のセットを見つけようとしていると見ることができる。巡回セールスマン問題では、目標は移動距離を最小化することにある。多分野にわたる設計最適化など、工学設計への応用もある。これは、擬似1次元モデルを用いて、大規模な配置空間を効率的に探索することにより、粒子動力学問題を解決するために適用されてきた。参考文献^{[ 100 ]}は、シミュレーションと最適化に関連する多くの問題の包括的なレビューである。

巡回セールスマン問題は、いわゆる従来の最適化問題です。つまり、最適な経路を決定するために必要なすべての事実（各目的地間の距離）は確実にわかっており、目標は可能な移動手段をすべて実行して、総距離が最小の選択肢を見つけることです。各目的地への総移動距離を最小化するのではなく、各目的地に到着するまでの総所要時間を最小化することを目標とした場合、移動時間は本質的に不確実であるため（交通渋滞、時間帯など）、これは従来の最適化の範囲を超えます。結果として、最適な経路を決定するには、別のシミュレーションが必要になります。つまり、まず、ある地点から別の地点まで移動するのに要する可能性のある時間の範囲（この場合は特定の距離ではなく確率分布で表される）を把握し、次にその不確実性を考慮した上で最適な経路を特定するために移動の決定を最適化するという最適化です。

逆問題

逆問題の確率論的定式化は、モデル空間における確率分布の定義につながる。この確率分布は、事前情報と、いくつかの観測可能なパラメータ（データ）を測定することによって得られる新たな情報とを組み合わせたものである。一般に、データとモデルパラメータを結び付ける理論は非線形であるため、モデル空間における事後確率の記述は容易ではない場合がある（多峰性がある場合や、一部のモーメントが定義されていない場合など）。

逆問題を解析する場合、通常はデータの分解能に関する情報が求められるため、最大尤度モデルを得るだけでは十分ではありません。一般的には多くのパラメータがモデル化されるため、関心のある周辺確率密度の検査は非現実的、あるいは無意味な場合もあります。しかし、事後確率分布に従って多数のモデルを擬似ランダムに生成し、モデル特性の相対的な尤度に関する情報が観察者に伝わるようにモデルを解析・表示することは可能です。これは、事前分布の明示的な式が利用できない場合でも、効率的なモンテカルロ法を用いることで実現できます。

最もよく知られている重要度サンプリング法であるメトロポリスアルゴリズムは一般化することができ、これにより、複雑な事前情報と任意のノイズ分布を持つデータを持つ（おそらく高度に非線形な）逆問題の解析を可能にする方法が得られる。^{[ 101 ] [ 102 ]}

哲学

モンテカルロ法の一般公開はマクラッケンによって行われた。^{[ 103 ]}この方法の一般的な考え方はエリシャコフ^{[ 104 ]}とグリューネ・ヤノフとヴァイリヒ^{[ 105 ]}によって議論された。

参照

• 補助場モンテカルロ
• 生物学モンテカルロ法
• 直接シミュレーションモンテカルロ
• 動的モンテカルロ法
• エルゴード性
• 遺伝的アルゴリズム
• キネティックモンテカルロ
• 計算物理学ソフトウェアの一覧
• オープンソースのモンテカルロソフトウェアのリスト
• モンテカルロ分子モデリング用ソフトウェア一覧
• 平均場粒子法
• 光子輸送のためのモンテカルロ法
• 電子輸送のためのモンテカルロ法
• モンテカルロN粒子輸送コード
• モリス法
• マルチレベルモンテカルロ法
• 準モンテカルロ法
• ソボルシーケンス
• 時間差学習

参考文献

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外部リンク