モーリーの三等分線定理

外側の三角形の各頂点の角を三等分すると、モーリーの三等分線定理によれば、紫色の三角形は正三角形になります。

平面幾何学において、モーリーの三等分線定理は、任意の三角形において、隣接する角の三等分線の3つの交点が正三角形を形成することを述べています。この正三角形は、第一モーリー三角形、または単にモーリー三角形と呼ばれます。この定理は、1899年にイギリス系アメリカ人の 数学者 フランク・モーリーによって発見されました。この定理には様々な一般化があり、特に、すべての三等分線が交差する場合、他に4つの正三角形が得られます。

証明

モーリーの定理には多くの証明があり、その中には非常に技術的なものもあります。^{[1]初期の証明のいくつかは、繊細な}三角法の計算 に基づいていました。最近の証明には、アラン・コンヌ(1998, 2004)による代数的証明 （この定理を標数3以外の一般の体へ拡張したもの）や、ジョン・コンウェイによる初等幾何学の証明などがあります。^{[2] [3]後者は正三角形を出発点として、その周りに任意の三角形と}相似と なる三角形を構築できることを示しています。モーリーの定理は球面幾何学^[4]や双曲幾何学では成立しません。

図1. モーリーの三等分線定理の初等的証明

一つの証明は三角関数の等式を使う

${\displaystyle \sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}$

1

これは、2つの角度の和の恒等式を用いて、次の式と等しいことが示される。

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

最後の方程式は、2 つの角度の単位元の和を左側に 2 回適用し、余弦を消去することで検証できます。

図のように点が作られます。任意の三角形の角の和は なので、三角形の角はであり、${\displaystyle D,E,F}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle \alpha ,(60^{\circ }+\beta ),}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma ).}$

図から

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}}$

2

そして

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.}$

3

また、図から

${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-\alpha -\gamma =120^{\circ }+\beta }$

そして

${\displaystyle \angle {AZB}=120^{\circ }+\gamma .}$

4

正弦の法則を三角形に適用すると 、${\displaystyle AYC}$ ${\displaystyle AZB}$

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

5

そして

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .}$

6

三角形の高さを2つの方法で 表す${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

そして

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

ここで、式(1)は、これら2つの式におけるとを置き換えるために用いられた。式(2)と式(5)を式に代入し、式(3)と式(6)を式に代入すると、 ${\displaystyle \sin(3\beta)}$ ${\displaystyle \sin(3\gamma )}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

そして

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

分子が等しいので

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$

または

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

角と角は等しく、これらの角を形成する辺の比率も同じなので、三角形と三角形は相似です。 ${\displaystyle EXF}$ ${\displaystyle ZAY}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle AZY}$

相似角と等しい、相似角と等しい同様の議論は三角形の底角とを導き出す${\displaystyle AYZ}$ ${\displaystyle XFE}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\gamma )}$ ${\displaystyle AZY}$ ${\displaystyle XEF}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\beta ).}$ ${\displaystyle BXZ}$ ${\displaystyle CYX.}$

特に角度は図から わかるように${\displaystyle BZX}$ ${\displaystyle (60^{\circ }+\alpha )}$

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }.}$

代用利回り

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

ここで式（4）は角度に用いられ、したがって ${\displaystyle AZB}$

${\displaystyle \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

同様に三角形の他の角度も${\displaystyle XYZ}$ ${\displaystyle 60^{\circ }.}$

側面と領域

最初のモーリー三角形の辺の長さは^[5]

$${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\,\sin {\tfrac {1}{3}}A\,\sin {\tfrac {1}{3}}B\,\sin {\tfrac {1}{3}}C,}$$

ここで、Rは元の三角形の外接半径、 A、B、 Cは元の三角形の角です。正三角形の面積はモーリーの三角形の面積なので、モーリーの三角形の面積は次のように表されます 。${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$

$${\displaystyle {\text{Area}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}A\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}B\,\sin ^{2}\!{\tfrac {1}{3}}C.}$$

モーリーの三角形

モーリーの定理は18個の正三角形を伴います。上記の三等分線定理で記述される三角形は、第一モーリー三角形と呼ばれ、その頂点は三角形ABCを基準とした三線座標で以下のように表されます。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}B\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}C&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}B&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}A&:&1\end{array}}}$$

モーリーの正三角形のもう 1 つは中心三角形であり、第 2 モーリー三角形と呼ばれ、次の頂点から構成されます。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C-2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B-2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A-2\pi )&:&1\end{array}}}$$

モーリーの 18 個の正三角形のうち 3 番目で中心三角形でもあるものは、第 3 モーリー三角形と呼ばれ、次の頂点で表されます。

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A{\text{-vertex}}&=&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(C+2\pi )&:&1&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&2\cos {\tfrac {1}{3}}(B+2\pi )&:&2\cos {\tfrac {1}{3}}(A+2\pi )&:&1\end{array}}}$$

モーリーの1番目、2番目、3番目の三角形は互いに相似である。三角形ABCの​​外接円上の3点Xは、直線XX  ⁻¹が外接円に接する点であり、X  ^−1はXの等角共役を表す。この正三角形は外接三角形と呼ばれ、以下の頂点を持つ。

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\csc {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\csc {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\csc {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

5つ目の正三角形も他の正三角形と相似で、外接三角形をその中心を中心としてπ /6回転させることで得られます。外接三角形と呼ばれるこの三角形の頂点は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllll}A{\text{-vertex}}&=&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(C-B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2C+B)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(C+2B)\\[5mu]B{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(A+2C)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(A-C)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2A+C)\\[5mu]C{\text{-vertex}}&=&-\sec {\tfrac {1}{3}}(2B+A)&:&-\sec {\tfrac {1}{3}}(B+2A)&:&{\phantom {-}}\sec {\tfrac {1}{3}}(B-A)\end{array}}}$$

「外向性」と呼ばれる操作は、18個のモーリー三角形の1つを別の三角形から得るために用いられる。各三角形は3つの異なる方法で外向性を持つ。18個のモーリー三角形と27個の外向性三角形のペアは、パップスグラフの18個の頂点と27個の辺を形成する。^[6]

関連する三角形の中心

モーリー中心X（356）、第一モーリー三角形の重心は、三線座標で次のように 表される。

$${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{3}}A+2\cos {\tfrac {1}{3}}B\,\cos {\tfrac {1}{3}}C\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}B+2\cos {\tfrac {1}{3}}C\,\cos {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\cos {\tfrac {1}{3}}C+2\cos {\tfrac {1}{3}}A\,\cos {\tfrac {1}{3}}B}$$

1番目のモーリー・テイラー・マー中心、X（357）：最初のモーリー三角形は三角形^[7]の透視図です 。^[8] <<元の三角形の頂点とモーリー三角形の反対の頂点を結ぶ線は、点で 一致します。${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle \sec {\tfrac {1}{3}}A\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}B\,:\,\sec {\tfrac {1}{3}}C}$$

参照

• 角の三等分
• ホフスタッター氏は指摘する
• モーリーセンター

注記

1. Bogomolny, Alexander , Morley's Miracle, Cut-the-knot , 2010年1月2日閲覧
2. Bogomolny, Alexander , J. Conway の証明, Cut-the-knot , 2021年12月3日閲覧
3. Conway, John (2006)、「数学の力」(PDF)、Blackwell, Alan; Mackay, David (編)、Power、Cambridge University Press、pp.  36– 50、ISBN 978-0-521-82377-7、 2010年10月8日閲覧
4. 球面幾何学におけるモーリーの定理、Java アプレット。
5. Weisstein, Eric W.「First Morley Triangle」. MathWorld . 2021年12月3日閲覧。
6. ガイ (2007).
7. テイラー・マー 1913年。
8. Fox, MD; Goggins, JR「一般化されたMorleyのダイアグラム」、Mathematical Gazette 87、2003年11月、453–467。

参考文献

• Connes、Alain ( 1998)、「モーリーの定理の新しい証明」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、S88 : 43–46。
• Connes, Alain (2004年12月)、「対称性」(PDF)、ヨーロッパ数学会ニュースレター、54。
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967) 『幾何学再考』アメリカ数学会、LCCN  67-20607
• フランシス、リチャード・L.（2002）、「現代数学のマイルストーン：モーリーの謎」（PDF）、ミズーリ数学科学ジャーナル、14（1）、doi：10.35834/2002/1401016。
• ガイ、リチャード・K. (2007)、「灯台定理、モーリーとマルファッティによるパラドックスの予算」(PDF)、アメリカ数学月刊誌、114 (2): 97– 141、doi :10.1080/00029890.2007.11920398、JSTOR  27642143、MR  2290364、S2CID 46275242、 2010年4月1日時点の オリジナル(PDF)からアーカイブ。
• オークリー、CO; ベイカー、JC (1978)、「モーリーの三等分線定理」、アメリカ数学月刊誌、85 (9): 737– 745、doi :10.2307/2321680、JSTOR  2321680、S2CID  56066204。

• テイラー、F. グランビル; マー、WL (1913–14)、「三角形の各角の6つの三等分線」、エディンバラ数学協会紀要、33 : 119– 131、doi : 10.1017/S0013091500035100。

外部リンク

• MathWorldにおけるモーリーの定理
• MathPagesのモーリーの三等分定理
• モーリーの定理、Oleksandr Pavlyk 著、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。