モスコ・コンバージェンス

数学解析学において、モスコ収束とは、非線型解析学や集合値解析学で用いられる関数の収束の概念である。イタリアの数学者ウンベルト・モスコにちなんで名付けられたモスコ収束は、Γ収束の特殊なケースである。モスコ収束は、位相ベクトル空間X上の弱位相と強位相の両方を用いるため、「弱Γ-liminf および強Γ-liminsup」収束とも呼ばれる。有限次元空間では、モスコ収束はエピ収束と一致し、無限次元空間では、モスコ収束はより強い性質である。

定義

Xを位相ベクトル空間とし、X∗をX上の連続線型汎関数の双対空間とする。F n ^: X → [ 0 , + ∞]を各n = 1, 2, ...に対してX上の汎関数とする。列_（または より  一般的には 正味） ( F _n )は、次の2つの条件が満たされるとき、別の汎関数F  :  X  → [0, +∞] にMosco収束すると言われる

• 下限不等式：x  ∈  Xに弱収束する各要素列x _n  ∈  Xに対して、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})\geq F(x);}$

• 上限不等式：任意のx  ∈  Xに対して、 xに強く収束する近似的な要素列x _n  ∈  Xが存在し、

${\displaystyle \limsup_{n\to \infty}F_{n}(x_{n})\leq F(x).}$

この種の下限不等式と上限不等式はΓ収束の定義に用いられるため、モスコ収束は「弱いΓ-liminf と強いΓ-liminsup」収束とも呼ばれる。モスコ収束はM収束と略され、次のように表記される。

${\displaystyle \mathop {\text{M-lim}} _{n\to \infty }F_{n}=F{\text{ または }}F_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{\mathrm {M} }}F.}$

参考文献

• モスコ、ウンベルト (1967).「いくつかの変分不等式の解の近似」.ピサ高等師範学校紀要. 21 (3): 373–394
• モスコ, ウンベルト (1969). 「凸集合と変分不等式の解の収束」.数学の進歩. 3 (4): 510–585 . doi : 10.1016/0001-8708(69)90009-7 . hdl : 10338.dmlcz/101692 .
• ボルウェイン, ジョナサン・M.; フィッツパトリック, サイモン (1989). 「モスコ収束とカデック性」.アメリカ数学会誌. 106 (3): 843– 851. doi : 10.2307/2047444 . hdl : 1959.13/940515 . JSTOR  2047444.
• モスコ、ウンベルト. 「ウースター工科大学教員名簿」.