移動平衡定理

力学系を考える

（１）..........${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,y)}$

（２）..........${\displaystyle \qquad {\dot {y}}=g(x,y)}$

状態変数 と について考える。 が高速でが低速であると仮定する。システム(1)は、任意の を固定した場合に漸近安定解を与えると仮定する。これを(2)に代入すると、次式が得られる。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\bar {x}}(y)}$ ${\displaystyle x}$

（３）..........${\displaystyle \qquad {\dot {Y}}=g({\bar {x}}(Y),Y)=:G(Y).}$

ここで は に置き換えられ、 (3) の解がシステム (1)、(2) から得られる の解と異なることを示しています。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$

ロトカが提唱した移動平衡定理によれば、部分システム(1)が任意の与えられたに対して漸近的に安定であり、強く減衰する(速い)という条件で、 (3)から得られる解は(1)、(2)から得られる解に近似する。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

この定理は、実ベクトルとからなる線型システムに対して証明されている。この定理は、高次元の力学問題を低次元に縮減することを可能にし、アルフレッド・マーシャルの一時平衡法の基礎となっている。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

参考文献

• シュリヒト、E. (1985)。経済学における孤立と集合体。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 0-387-15254-7。
• Schlicht, E. (1997). 「移動均衡定理再び」.経済モデリング. 14 (2): 271– 278. doi :10.1016/S0264-9993(96)01034-6.https://epub.ub.uni-muenchen.de/39121/