多重同次ベズー定理

代数学および代数幾何学において、多重同次ベズー定理（ふくじょうべずーていり）は、同次多項式集合の孤立した共通零点の数を数えるベズー定理の多重同次多項式への一般化である。この一般化はイゴール・シャファレヴィッチによるものである。^[1]

モチベーション

多項式方程式または多項式方程式のシステムを考えると、解を明示的に計算せずに、解の数を計算したり、制限したりすることが有用な場合がよくあります。

単一方程式の場合、この問題は代数の基本定理によって解決されます。この定理は、解をその重複度で数えると、複素解の数は多項式の次数によって制限され、等しいと主張します。

n個の未知数を持つn個の多項式方程式系の場合、この問題はベズーの定理によって解かれる。ベズーの定理は、複素解の数が有限であれば、その数は多項式の次数の積で制限されると主張する。さらに、無限遠点における解の数も有限であれば、次数の積は、無限遠点における解を含めた、多重度を数えた解の数に等しい。

しかし、無限遠における解の数が無限であることはむしろ一般的です。この場合、多項式の次数の積は根の数よりもはるかに大きくなる可能性があり、より適切な境界が有用です。

多項式ベズー定理は、未知数を複数の部分集合に分割し、各部分集合の各多項式の次数がその多項式全体の次数よりも低くなるような場合に、より適切な境界値を与える。例えば、n不定項において1次、かつnにおいても1次である2次多項式があるとする（つまり、これらの多項式は双線型である）。この場合、ベズー定理は解の個数を次のように制限する。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{2n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n},}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots y_{n}.}$

${\displaystyle 2^{2n},}$

一方、多重同次ベズー定理は（スターリング近似を用いて） 境界を与える。

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}.}$

声明

多重同次多項式は、複数の変数セットに関して 同次である多項式です。

より正確には、k個の正の整数を考え、i = 1, ..., kに対して、不定値Aのこれらの不定値における多項式は、次数が同次である場合、多次多同次である。${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle n_{i}+1}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.}$

多重射影多様体は射影空間の積の射影部分多様体である。

${\displaystyle \mathbb {P} _{n_{1}}\times \cdots \times \mathbb {P} _{n_{k}},}$

ここで、n次元の射影空間を表す。多重射影多様体は、多重同次多項式のイデアルの共通の非自明な零点の集合として定義することができる。ここで「非自明」とは 、各iに対して、同時に 0 にならないことを意味する。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n}}$

ベズーの定理は、 n + 1不定量のn 次同次多項式が、正の次元の代数集合、または重複度で数えられた点からなる 0 次元の代数集合のいずれかを定義することを主張しています。 ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$

ベズーの定理の一般化を述べるには、新しい不定量を導入し、多次数を線形形式で表すと便利です。以下では、「多次数」は次数のシーケンスではなく、この線形形式を指します。 ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k},}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.}$

多重同次ベズー定理の設定は以下の通りである。 ${\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k},}$

上記の表記法を用いると、 n個 の多重次数同次多項式は 、正次元の多重射影代数集合、または重複度で数えられたB点からなる0次元代数集合のいずれかを定義する。ここでBは${\displaystyle \mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{n}}$

${\displaystyle t_{1}^{n_{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}}$

線形形式の積において

${\displaystyle \mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.}$

非均質なケース

解の数に関する多重同次ベズー境界は、多項式が次数を増加させずに（多重）同次化できる非同次方程式系にも適用できる。しかし、この場合、「無限遠」に解が存在する場合、境界は明確ではない可能性がある。

研究対象となる問題に関する洞察がなければ、変数をグループ化して「良好な」多重同次化を実現するのは難しいかもしれません。幸いなことに、モデル化される問題自体から直接的にそのようなグループ化が導かれる問題は数多くあります。例えば、力学においては、方程式は長さと質量に関して一般的に同次的、あるいはほぼ同次的です。

参考文献

1. シャファレビッチ、IR (2012) [1977]。基本的な代数幾何学。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 213. ハーシュ、KA スプリンガーによる翻訳。ISBN 978-3-642-96200-4。