多者間エンタングルメント

サブシステムから構成されるシステムの場合、量子もつれ状態の分類は二部系の場合よりも豊富です。実際、多部系エンタングルメントでは、完全に分離可能な状態と完全にエンタングルされた状態に加えて、部分的に分離可能な状態という概念も存在します。^[1]${\displaystyle m>2}$

完全分離性と部分分離性

完全に分離可能かつ完全にエンタングルされた多部構成状態の定義は、以下のように、二部構成の場合の分離可能かつエンタングルされた状態の定義を自然に一般化します。^[1]

満杯メートル-部分分離可能性（メートル-分離可能性）のメートルシステム

ヒルベルト空間を持つ部分系の状態が完全に分離可能であるのは、次の形式で記述できる場合のみである。 ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}\ldots A_{m}}={\mathcal {H}}_{A_{1}}\otimes \cdots \otimes {\mathcal {H}}_{A_{m}}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}\varrho _{A_{1}}^{i}\otimes \cdots \otimes \varrho _{A_{m}}^{i}.}$

同様に、上記の形式で記述できない場合、 その状態は完全にエンタングルされています。${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$

二部の場合と同様に、 -分離可能な状態の集合はトレースノルムに関して 凸かつ閉じており、分離可能性は二部の場合の直接的な一般化である-分離可能な操作の下で保持されます。 ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \cdots \otimes \Omega _{i}^{n}}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}\to {\frac {\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \cdots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \cdots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }}{\operatorname {Tr} [\sum _{i}\Omega _{i}^{1}\otimes \cdots \otimes \Omega _{i}^{n}\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}(\Omega _{i}^{1}\otimes \cdots \otimes \Omega _{i}^{n})^{\dagger }]}}.}$ ^[1]

しかし、上で述べたように、多部構成の設定では、部分的分離可能性の異なる概念も存在します。^[1]

パーティションに関する分離可能性

サブシステムの状態は、与えられたパーティションに関して分離可能であり、インデックスの互いに素な部分集合は、次のように書ける場合に 限ります。${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{k}\}}$ ${\displaystyle \;I_{i}}$ ${\textstyle \;I=\{1,\ldots ,m\},\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=I}$

${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\varrho _{1}^{i}\otimes \cdots \otimes \varrho _{k}^{i}.}$ ^[1]

半分離性

状態が半分離可能であるのは、すべての-分割の下で分離可能である場合のみである。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;1}$ ${\displaystyle \;(m-1)}$ ${\displaystyle \;{\big \{}I_{1}=\{k\},I_{2}=\{1,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,m\}{\big \}},1\leq k\leq m}$

け-生産性

粒子系がk 生成可能とは、各状態が何らかの分割 に関して分離可能であり、 の大きさが最大で^{[2] [1]}であるような状態の混合である場合である。状態がk生成可能でない場合、少なくともk 粒子のエンタングルメントを受けている。s 粒子のエンタングルメントは、多数の粒子を用いた様々な実験で検出されている。このような実験は、量子状態のエンタングルメントの深さの検出と呼ばれることが多い。 ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;k}$ ${\displaystyle \;\{I_{1},\ldots ,I_{L}\}}$ ${\displaystyle I_{l}}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle (k+1)}$

け-絡み合いの伸縮性

k生成可能だが - 生成不可能、 h分離可能だが - 分離不可能な純粋状態の場合、伸縮性は^{[3] [4] [5]}である。この定義は、通常の方法で混合状態にも拡張できる。粒子をグループに分割することに基づいて、さらに詳細な性質を定義することも可能であり、これは広く研究されている^{[6] 。}${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle (h+1)}$ ${\displaystyle k-h.}$

分離可能性の特性と基準

純粋状態

完全なm部分離可能性と同等の定義は次のように与えられる：サブシステムの純粋状態が完全にm部分離可能であるのは、次の場合に限る。 ${\displaystyle |\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle }$ ${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;A_{1},\ldots ,A_{m}}$ ${\displaystyle \;m}$

${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =|\psi _{A_{1}}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{A_{m}}\rangle .}$ ^[1]

これを確認するには、基本部分系の縮約密度行列を計算し、それが純粋であるかどうかを確認すれば十分である。しかし、多部構成の場合、これはそれほど簡単にはできない。なぜなら、多部構成の純粋状態が一般化シュミット分解 を許容することは稀だからである。多部構成状態が一般化シュミット分解を許容するのは、任意の部分系をトレースしたときに残りが完全に分離可能な状態にある場合である。したがって、一般に純粋状態のエンタングルメントは、すべての二部構成の縮約密度行列のスペクトルによって記述される。つまり、すべての二部構成が混合縮約密度行列を生成する場合のみ、その状態は真に - 部構成エンタングルメントである。^[1]${\displaystyle \;|\Psi _{A_{1}\ldots A_{m}}\rangle =\sum _{i=1}^{\min\{d_{A_{1}},\ldots ,d_{A_{m}}\}}a_{i}|e_{A_{1}}^{i}\rangle \otimes \cdots \otimes |e_{A_{m}}^{i}\rangle }$ ${\displaystyle \;m}$

混合状態

多部構成の場合、PPT基準がおよびの場合に与えるような、分離可能性の単純な必要十分条件は存在しません。しかし、二部構成の設定で用いられる多くの分離可能性基準は、多部構成の場合にも一般化できます。^[1]${\displaystyle 2\otimes 2}$ ${\displaystyle 2\otimes 3}$

正だが完全には正ではない（PnCP）マップとエンタングルメント証拠

正写像ではあるが完全に正ではない写像による分離可能性の特徴付けは、二部写像の場合から次のように自然に一般化できる。^[1]

正だが完全に正ではない (PnCP) マップは、次の形式で、必須の分離可能性基準を提供します。 ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

${\displaystyle \;(I_{A_{1}}\otimes \Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}})[\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}]\geq 0,}$

ここで、 は最初のサブシステムに作用する恒等式である。状態が分離可能であるのは、上記の条件がすべてのPnCP写像に対して満たされる場合のみである。^[1]${\displaystyle \;I_{A_{1}}}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {H}}_{A_{1}}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\Lambda _{A_{2}\ldots A_{m}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{2}\ldots A_{m}})\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{A_{1}})}$

エンタングルメント証人の定義と、二部構成の場合におけるPnCP写像とエンタングルメント証人を結び付けるChoi–Jamiołkowski同型性は、多部構成の設定にも一般化できる。したがって、多部構成状態におけるエンタングルメント証人から分離可能性条件が得られる。すなわち、状態が分離可能であるとは、すべてのエンタングルメント証人 に対する平均値が非負であることを意味する。同様に、 のエンタングルメントが証人によって検出されるのは、 のときのみである。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})\geq 0}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;W}$ ${\displaystyle \;\operatorname {Tr} (W\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})<0}$

上記の説明は、-部分システムの-分離可能性 の完全な特徴付けを提供する。^[1]${\displaystyle \;m}$ ${\displaystyle \;m}$

範囲基準

「値域基準」は、二部集合の場合から多部集合の場合にも直ちに一般化できる。後者の場合、 の値域はベクトル によって張られなければならないが、 の部分集合に対する部分転置されたの値域は、これらのベクトルの積（ただし、添え字は複素共役）によって張られなければならない。状態 が分離可能である場合、そのようなすべての部分転置は非負のスペクトルを持つ行列、すなわちすべての行列自体が状態であるべきである。^[1]${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\{|\varphi _{A_{1}}\rangle ,\ldots ,|\varphi _{A_{m}}\rangle \}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$ ${\displaystyle \;\{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}\}\subset \{A_{1}\ldots A_{m}\}}$ ${\displaystyle \;k_{1},\ldots ,k_{l}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}^{T_{A_{k_{1}}\ldots A_{k_{l}}}}}$

再調整基準

二部構成の場合の「再調整基準」は、多部構成の設定における順列基準に一般化される。すなわち、状態が分離可能であれば、積基底における行列インデックスの順列を介して元の状態から得られる行列は、を満たす。^[1]${\displaystyle \varrho _{A_{1}\ldots A_{m}}}$ ${\displaystyle \;[R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]_{i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n}}\equiv \varrho _{\pi (i_{1}j_{1},i_{2}j_{2},\ldots ,i_{n}j_{n})}}$ ${\displaystyle \;\pi }$ ${\displaystyle \;||R_{\pi }(\varrho _{A_{1}\ldots A_{m}})]||_{\operatorname {Tr} }\leq 1}$

収縮基準

最後に、収縮基準は二部構成の場合から多部構成の場合に直接一般化される。^[1]

多者間エンタングルメント測定

相対エンタングルメントエントロピー、エンタングルメントの堅牢性、押し潰されたエンタングルメントなど、二部状態に対する公理的なエンタングルメント尺度の多くは、多部設定に一般化することができる。^[1]

例えば、エンタングルメントの相対エントロピーは、二部分離可能状態の集合の代わりに適切な集合をとることで、多部分離の場合に一般化できます。完全に分離可能な状態の集合をとることも可能ですが、この選択では、真の多部分離エンタングルメントと、例えば のような二部分離エンタングルメントの複数の例を区別できなくなります。真の多部分離エンタングルメントを解析するには、 -粒子エンタングルメント以下の状態集合を考慮する必要があります。^[1]${\displaystyle \mathrm {EPR} _{AB}\otimes \mathrm {EPR} _{CD}}$ ${\displaystyle k}$

押しつぶされたエンタングルメントの場合、その多部構成バージョンは、二部構成システムの 相互情報量を多部構成システムへの一般化で置き換えるだけで得られる。つまり^[1]${\displaystyle I(A_{1}:\ldots :A_{N})=S(A_{1})+\cdots +S(A_{N})-S(A_{1}\ldots A_{N})}$

しかし、多部構成の設定では、状態のエンタングルメントを記述するためにさらに多くのパラメータが必要となるため、特に純粋な多部構成の状態に対して、多くの新しいエンタングルメント測定が構築されてきました。

純粋状態の多者間エンタングルメント測度

多部構成の設定では、単に二部構成エンタングルメント測度の和の関数となるエンタングルメント測度が存在します。例えば、グローバルエンタングルメントは、 1つの量子ビットと他のすべての量子ビットの同時発生の和として与えられます。これらの多部構成エンタングルメント測度では、 LOCCにおける単調性は二部構成測度から単純に継承されます。しかし、多部構成状態のために特別に構築されたエンタングルメント測度も存在します。例えば、以下のようになります。^[1]

もつれ

直接的な一般化でも二部測度の簡単な組み合わせでもない最初の多部エンタングルメント測度は、コフマンらによって導入され、タングルと呼ばれました。^[1]

意味：

${\displaystyle \;\tau (A:B:C)=\tau (A:BC)-\tau (AB)-\tau (AC),}$

ここで、右辺の -tangle は、一致の平方である。^[1]${\displaystyle \;2}$

タングル測度は順列不変であり、任意のカットで分離可能なすべての状態ではゼロとなる。例えばGHZ状態では非ゼロとなる。また、W状態のように3元エンタングル状態（つまり、任意のカットに関して積にならない状態）ではゼロとなると考えられる。さらに、超行列式を用いることで、マルチ量子ビットシステムに対してタングルの良好な一般化が得られる可能性がある。^[1]

シュミット尺度

これは、多者間状態のために特別に構築された最初のエンタングルメント尺度の一つであった。^[1]

意味：

の最小値、ここでは積基底における状態の展開における項の数である。^[1]${\displaystyle \;\log r}$ ${\displaystyle \;r}$

この尺度は、状態が完全に積である場合にのみゼロとなる。したがって、真に多部構成のエンタングルメントと二部構成のエンタングルメントを区別することはできないが、それでも多くの状況で有用である可能性がある。^[1]

正規形に基づく尺度

これは、状態分類の文脈で得られる、多者間エンタングルメント測度の興味深いクラスである。すなわち、状態の任意の同次関数を考える。もしそれが行列式が1であるSLOCC（確率的LOCC）演算に対して不変であれば、それは強い意味でエンタングルメント単調であり、すなわち、強い単調性の条件を満たす。^[1]

超決定係数に基づく尺度

三宅は、超行列式がエンタングルメント単調であり、の積のような状態がエンタングルメントゼロを持つという意味で、真に多部エンタングルメントを記述することを証明した。特に、同時発生とタングルは超行列式の特別な場合である。実際、2つの量子ビットの場合、同時発生は単に行列式の法、すなわち1次の超行列式である。一方、タングルは2次の超行列式、すなわち3つの添え字を持つテンソルの関数である。^[1]${\displaystyle EPR}$

幾何学的エンタングルメント

エンタングルメントの幾何 学的尺度^[7]は、${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \|\psi -\varphi \|_{2}}$

すべての分離可能な状態に関して

${\displaystyle \varphi =\bigotimes _{i=1}^{N}\varphi _{i}.}$

このアプローチは、識別可能な粒子やスピン系に対して有効です。同一あるいは識別不可能なフェルミオンやボソンの場合、完全なヒルベルト空間は個々の粒子のテンソル積ではありません。したがって、簡単な修正が必要です。例えば、同一のフェルミオンの場合、完全な波動関数は完全に反対称となるため、 に対して が必要となります。つまり、 を近似するために取ると、 はスレーター行列式の波動関数となるはずです。^[8]${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

局所化可能なエンタングルメント

このエンタングルメント尺度は、補助エンタングルメントの一般化であり、スピン鎖の文脈で構築された。具体的には、2つのスピンを選択し、それらの間の可能な限り最大の二部エンタングルメント（2つの二部状態に対する選択されたエンタングルメント尺度に従って測定される）を得ることを目指すLOCC操作を実行する。^[1]

出典と注釈

1. 「多者間のもつれ」。クォンティキ.org。 2008 年 1 月 4 日。
2. Gühne, Otfried; Tóth, Géza; Briegel, Hans J (2005年11月4日). 「スピン鎖における多元的エンタングルメント」. New Journal of Physics . 7 : 229. arXiv : quant-ph/0502160 . doi :10.1088/1367-2630/7/1/229.
3. Szalay, Szilárd (2019年12月2日). 「エンタングルメントのk-伸縮性とk-分離可能性およびk-生成可能性の双対性」. Quantum . 3 : 204. arXiv : 1906.10798 . Bibcode :2019Quant...3..204S. doi :10.22331/q-2019-12-02-204.
4. Tóth, Géza (2020年1月27日). 「多粒子エンタングルメントの限界を広げる」. Quantum Views . 4:30 . arXiv : 2212.00111 . doi :10.22331/qv-2020-01-27-30.
5. Ren, Zhihong; Li, Weidong; Smerzi, Augusto; Gessner, Manuel (2021年2月25日). 「Youngダイアグラムからの多部間エンタングルメントの計量的検出」. Physical Review Letters . 126 (8) 080502. arXiv : 2012.03862 . Bibcode :2021PhRvL.126h0502R. doi :10.1103/PhysRevLett.126.080502. PMID:  33709723.
6. ザライ、シラード;ゲザのトス（2025年4月18日）。 「もつれの深さと計測学的もつれの基準の代替案」。量子。9 : 1718.土井: 10.22331/q-2025-04-18-1718。
7. Wei, T.-C.; Goldbart, PM (2003). 「エンタングルメントの幾何学的測度と二部および多部量子状態への応用」. Phys. Rev. A . 68 (4) 042307. arXiv : quant-ph/0307219 . Bibcode :2003PhRvA..68d2307W. doi :10.1103/PhysRevA.68.042307. S2CID  13667243.
8. Zhang, JM; Kollar, M. (2014). 「Nフェルミオン波動関数の最適多構成近似」. Phys. Rev. A . 89 (1) 012504. arXiv : 1309.1848 . Bibcode :2014PhRvA..89a2504Z. doi :10.1103/PhysRevA.89.012504. S2CID  17241999.

さらに読む

• Horodecki, R. (1994). 「情報的にコヒーレントな量子系」. Physics Letters A. 187 ( 2): 145. Bibcode :1994PhLA..187..145H. doi :10.1016/0375-9601(94)90052-3.
• Coffman, V.; Kundu, Joydip; Wootters, William K. (2000). 「分散エンタングルメント」. Physical Review A. 61 ( 5) 052306. arXiv : quant-ph/9907047 . Bibcode :2000PhRvA..61e2306C. doi :10.1103/PhysRevA.61.052306. S2CID  1781516.
• Barnum, H.; Linden, N. (2001). 「多粒子量子状態における単調性と不変量」. Journal of Physics A. 34 ( 35): 6787. arXiv : quant-ph/0103155 . Bibcode :2001JPhA...34.6787B. doi :10.1088/0305-4470/34/35/305. S2CID  16513918.
• Bourennane, M.; Karlsson, A.; Björk, G. (2001). 「多値符号化を用いた量子鍵配送」. Physical Review A. 64 ( 2): 022306. Bibcode :2001PhRvA..64a2306B. doi :10.1103/PhysRevA.64.012306.
• マイヤー, DA; ウォラック, NR (2001). 「多粒子系におけるグローバルエンタングルメント」.ジャーナル・オブ・マスマティカル・フィジックス. 43 (9): 4273– 4278. arXiv : quant-ph/0108104 . Bibcode : 2002JMP....43.4273M. doi : 10.1063/1.1497700. S2CID  5649658.
• 三宅 明 (2003). 「多次元行列式による多元エンタングル状態の分類」. Physical Review A. 67 ( 1) 012108. arXiv : quant-ph/0206111 . Bibcode :2003PhRvA..67a2108M. doi :10.1103/PhysRevA.67.012108. S2CID  119659352.
• Verstraete, F.; Dehaene, J.; De Moor, B. (2003). 「多元量子状態の正規形とエンタングルメント測度」. Physical Review A. 68 ( 1) 012103. arXiv : quant-ph/0105090 . Bibcode :2003PhRvA..68a2103V. doi :10.1103/PhysRevA.68.012103. S2CID  119020831.
• Boileau, J.-C.; Gottesman, D.; Laflamme, R.; Poulin, D.; Spekkens, R. (2004). 「集団ノイズ通信路における堅牢な偏光ベース量子鍵配送」. Physical Review Letters . 92 (2): 027901. arXiv : quant-ph/0306199 . Bibcode :2004PhRvL..92a7901B. doi :10.1103/PhysRevLett.92.017901. PMID:  14754020. S2CID:  24770274.
• 三宅 明 (2004). 「確率的局所操作と古典通信による多者間エンタングルメント」.国際量子情報ジャーナル. 2 : 65–77 . arXiv : quant-ph/0401023 . Bibcode :2004quant.ph..1023M. doi :10.1142/s0219749904000080. S2CID  7084368.
• Horodecki, R.; Horodecki, P.; Horodecki, M.; Horodecki, K. (2009). 「量子もつれ」. Reviews of Modern Physics . 81 (2): 865– 942. arXiv : quant-ph/0702225 . Bibcode :2009RvMP...81..865H. doi :10.1103/RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
• Gühne, O.; Tóth, G. (2009). 「エンタングルメント検出」. Physics Reports . 474 ( 1–6 ): 1–75 . arXiv : 0811.2803 . Bibcode :2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.