Approximations that apply at multiple scales
数学 と 物理学 において 、 多重スケール解析 （ 多重スケール法 とも呼ばれる）は、 独立変数 の値が小さい場合と大きい場合の両方において、 摂動問題 の解に対する一様に有効な 近似値 を構築するために使用される手法です。これは、独立変数に対して高速スケール変数と低速スケール変数を導入し、その後、これらの高速変数と低速変数を独立しているかのように扱うことで行われます。その後の摂動問題の解決プロセスでは、新しい独立変数によってもたらされる追加の自由度を使用して、（不要な） 永年項 が削除されます。後者は近似解に制約条件を課し、これを 可解条件 と呼びます。
1980 年代頃の数学研究では、座標変換と不変多様体がマルチスケール モデリングのより確実なサポートを提供することが提案されています ( たとえば 、 中心多様体 と 低速多様体を参照 ) 。
例: 減衰のないダフィング方程式 ここでは、通常の摂動論と多重スケール解析のアプローチの違いと 、それらが厳密な解とどのように比較されるかを見ることができる。
O
(
ε
)
{\textstyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}
ε
=
1
4
{\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{4}}}
微分方程式とエネルギー保存則 多重スケール解析法の例として、 非線形 振動子 を記述する
2階常 微分方程式である減衰なしかつ力を加えない ダフィング方程式 を考えてみましょう。 [1] 。解 y ( t ) は、（正の）非線形パラメータ 0 < ε ≪ 1 の小さな値に対して求められます 。 減衰なしのダフィング方程式は、 ハミルトン系 であることが知られています 。q
= y ( t )、 p = dy / dt
です 。したがって、ハミルトン H ( p , q ) は保存量、定数であり、 H 0 = に等しくなります。
d
2
y
d
t
2
+
y
+
ε
y
3
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}
y
(
0
)
=
1
,
d
y
d
t
(
0
)
=
0
,
{\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}
d
p
d
t
=
−
∂
H
∂
q
,
d
q
d
t
=
+
∂
H
∂
p
,
with
H
=
1
2
p
2
+
1
2
q
2
+
1
4
ε
q
4
,
{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}
1 / 2 + 1 / 4 ε は与えられた 初期条件 に対して成り立ち ます。これは、 q と p の両方が有界でなければならないことを意味します。q
の境界は、p = 0 の H を H 0 :と等しく し、q 4 項を削除することで得られます。これは確かに |q| の上限ですが、q 4 項を残すと、より複雑な式でより小さな境界が得られます
|
q
|
≤
1
+
1
2
ε
and
|
p
|
≤
1
+
1
2
ε
for all
t
.
{\displaystyle \left|q\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left|p\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.}
1
2
q
2
+
1
4
ε
q
4
=
1
2
+
1
4
ε
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon }
単純な摂動級数解 この問題に対する 通常の 摂動級数アプローチは 、これを減衰のないダフィング方程式に書き直して代入することから始まります。のべき乗を合わせると、 方程式系が得られます
y
(
t
)
=
y
0
(
t
)
+
ε
y
1
(
t
)
+
O
(
ε
2
)
{\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}
ε
{\textstyle \varepsilon }
d
2
y
0
d
t
2
+
y
0
=
0
,
d
2
y
1
d
t
2
+
y
1
=
−
y
0
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}
これらを初期条件に従って解くと、次の式が得られる。
y
(
t
)
=
cos
(
t
)
+
ε
[
1
32
cos
(
3
t
)
−
1
32
cos
(
t
)
−
3
8
t
sin
(
t
)
⏟
secular
]
+
O
(
ε
2
)
.
{\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}
角括弧で囲まれた最後の項は世俗的であることに注意されたい。つまり、| t | が大きい場合、この項は無限に増加する。特に、 この項は O (1) であり、主要次数の項と同じ大きさのオーダーである。項が無秩序になったため、級数はもはや解の漸近展開ではない。
t
=
O
(
ε
−
1
)
{\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}
多重尺度法 を超えて有効な解を構築するには、 多重スケール解析 法を 用いる。遅いスケール t 1 :
を導入し
、解 y ( t ) が t と t 1 の 両方に依存する摂動級数解であると仮定し 、以下のように扱う。
t
=
O
(
ϵ
−
1
)
{\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}
t
1
=
ε
t
{\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}
y
(
t
)
=
Y
0
(
t
,
t
1
)
+
ε
Y
1
(
t
,
t
1
)
+
⋯
.
{\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}
つまり、
dt 1 / dt = ε
を使用します 。同様に、
d
y
d
t
=
(
∂
Y
0
∂
t
+
d
t
1
d
t
∂
Y
0
∂
t
1
)
+
ε
(
∂
Y
1
∂
t
+
d
t
1
d
t
∂
Y
1
∂
t
1
)
+
⋯
=
∂
Y
0
∂
t
+
ε
(
∂
Y
0
∂
t
1
+
∂
Y
1
∂
t
)
+
O
(
ε
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}
d
2
y
d
t
2
=
∂
2
Y
0
∂
t
2
+
ε
(
2
∂
2
Y
0
∂
t
∂
t
1
+
∂
2
Y
1
∂
t
2
)
+
O
(
ε
2
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}
すると、ダフィング方程式の多重スケール摂動級数の0次および1次問題は次のようになる。
∂
2
Y
0
∂
t
2
+
Y
0
=
0
,
∂
2
Y
1
∂
t
2
+
Y
1
=
−
Y
0
3
−
2
∂
2
Y
0
∂
t
∂
t
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}
解決 零次問題には一般解が存在する。A
( t 1 )
は 零次解 Y 0 ( t , t 1 )の 複素振幅であり、 i 2 = −1 である。さて、一次問題では、微分方程式の右辺における強制 は 、
cc は 前項の 複素共役 を表す
。 永年項 の発生は、まだ未知である振幅 A ( t 1 ) に次 の可解条件を課すことで防ぐことができる。
Y
0
(
t
,
t
1
)
=
A
(
t
1
)
e
+
i
t
+
A
∗
(
t
1
)
e
−
i
t
,
{\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}
[
−
3
A
2
A
∗
−
2
i
d
A
d
t
1
]
e
+
i
t
−
A
3
e
+
3
i
t
+
c
.
c
.
{\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}
−
3
A
2
A
∗
−
2
i
d
A
d
t
1
=
0.
{\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}
初期条件y (0) = 1 および dy / dt (0) = 0 も満たす可解条件の解は 次のようになる。
A
=
1
2
exp
(
3
8
i
t
1
)
.
{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}
その結果、多重スケール解析による近似解は
t 1 = εt
を用いており、 εt = O(1) に対して有効である。これは 、リンツテット・ポアンカレ法 を用いて得られた 非線形 周波数 変化と一致する。
y
(
t
)
=
cos
[
(
1
+
3
8
ε
)
t
]
+
O
(
ε
)
,
{\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}
この新しい解は まで有効です 。多重スケール法を用いた高次の解を得るには、 t 2 = ε 2 t 、 t 3 = ε 3 t などといった追加の遅いスケールを導入する必要があります。しかし、これにより摂動級数の解に曖昧さが生じる可能性があり、慎重な処理が必要です（Kevorkian & Cole 1996; Bender & Orszag 1999を参照）。 [2]
t
=
O
(
ϵ
−
2
)
{\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}
あるいは、現代的なアプローチでは、次に説明する
正規形法 [3] のように、 座標変換を使用してこれらの種類のモデルを導出します。
振幅が ゆっくりと変化し、位相が ほぼ一定の割合で変化する新しい座標で 解が 求められる。つまり、 単純な代数により座標変換 [ 要出典 ]
がダフィング方程式を半径が一定で 位相が次のように
変化するペアに変換する。
y
≈
r
cos
θ
{\displaystyle y\approx r\cos \theta }
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)}
θ
(
t
)
{\displaystyle \theta (t)}
d
θ
/
d
t
≈
1.
{\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}
y
=
r
cos
θ
+
1
32
ε
r
3
cos
3
θ
+
1
1024
ε
2
r
5
(
−
21
cos
3
θ
+
cos
5
θ
)
+
O
(
ε
3
)
{\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}
d
r
/
d
t
=
0
{\displaystyle dr/dt=0}
d
θ
d
t
=
1
+
3
8
ε
r
2
−
15
256
ε
2
r
4
+
O
(
ε
3
)
.
{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}
つまり、ダフィングの振動は振幅は一定ですが、 振幅に応じて 周波数が異なります。 [4]
r
{\displaystyle r}
d
θ
/
d
t
{\displaystyle d\theta /dt}
より複雑な例は、複素指数関数を含む時間依存座標変換（前述の複数時間スケールアプローチでも用いられた）を用いてより適切に処理されます。ウェブサービスは、幅広い例に対してこの分析を実行します。 [ いつ？ ] [5]
参照
注記
^ この例は、Bender & Orszag (1999) pp. 545–551 で扱われています ^ ベンダー＆オルザグ (1999) p. 551. ^ Lamarque, C.-H.; Touze, C.; Thomas, O. (2012)、「正規形理論に基づく漸近解析的アプローチの妥当性限界の上限」 (PDF) 、 非線形動力学 、 70 (3): 1931– 1949、 Bibcode :2012NonDy..70.1931L、 doi :10.1007/s11071-012-0584-y、 hdl :10985/7473、 S2CID 254862552 ^ Roberts, AJ, 複雑系における創発的ダイナミクスのモデリング , 2013年10月3日閲覧 ^ Roberts, AJ, 常微分方程式または遅延微分方程式の中心多様体の構築（自律） , 2013年10月3日取得
参考文献
Kevorkian, J.; Cole, JD (1996), 多重スケールおよび特異摂動法 、Springer、 ISBN 978-0-387-94202-5 ベンダー, CM ; オルザグ, SA (1999), 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 , シュプリンガー, pp. 544– 568, ISBN 978-0-387-98931-0 Nayfeh, AH (2004)、 『摂動法』 、Wiley–VCH Verlag、 ISBN 978-0-471-39917-9 ガルティエ、S. (2023)、 『波動乱流の物理学』 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-1-009-27588-0
外部リンク 
![{\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{世俗的}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cc342607cdc3e34aeebd1d6ad519ed1b50408e)
![{\displaystyle \left[-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+cc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df2ac1d94dceee0f93e71769ced095fa77f687b)
![{\displaystyle y(t)=\cos \left[\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)t\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d11c6893c1e4dd35e5409bb4f822b77b3515d7e)
