多重性（数学）

数学において、多重集合の要素の重複度とは、その要素が多重集合中に現れる回数のことである。例えば、ある多項式が特定の点に 根を持つ回数は、その根の重複度である。

重複度の概念は、例外（例えば、重複根は2回数えられる）を指定せずに正しく数えるために重要です。そのため、「重複度を考慮して数える」という表現が用いられます。

重複度を無視する場合は、 「重複根の数」のように、重複しない要素の数を数えることで、重複度を強調することができます。ただし、集合（多重集合ではなく）が形成される場合は、「重複しない」という用語を使用する必要はなく、重複度は自動的に無視されます。

素因数の重複

素因数分解において、素因数の重複度はその-進値である。例えば、整数60の素因数分解は次のようになる。 ${\displaystyle p}$

60 = 2 × 2 × 3 × 5、

素因数2の重複度は2ですが、素因数3と5の重複度はそれぞれ1です。したがって、60には重複を考慮した素因数が4つありますが、異なる素因数は3つだけです。

多項式の根の重複度

を体とし、を係数とする一変数多項式とします。 かつとなる多項式が存在するとき、その元はの重複根と呼ばれます。 のとき、aは単純根と呼ばれます。 のとき、a は重複根と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle a}$

例えば、多項式 は1 と −4 を根として持ち、 と書くことができます。これは、 1 が重複度 2 の根であり、 −4 が重複度 1 の単純根であることを意味します。根の重複度とは、代数学の基本定理を用いて、多項式を完全に因数分解した際に、その根が何回出現するかを表します。 ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

が多項式の重複根である場合、基礎となる体の特性がkの約数でない限り、それはその多項式の導関数の重複根であり、その場合、は少なくとも導関数の重複根です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$

多項式の判別式がゼロになるのは、多項式に重根がある場合のみです。

多項式関数の重根近傍における挙動

x ³  + 2 x ²  − 7 x + 4のグラフ。x  =−4 に単根（重複度 1）、x=1 に重複度 2 の根を持つ。グラフは単根でx軸と交わる。重複根では x 軸に接するが、重複度が偶数であるため、グラフはx軸と交わらない。

多項式関数fのグラフは、多項式の実根においてx軸と交差します。グラフはfの重根においてこの軸に接しますが、単根においては接しません。グラフは奇数根においてx軸を横切りますが、偶数根においては x 軸を横切りません。ここで「x軸を横切る」とは、根の近くで、軸の両側にグラフの点が存在することを意味します。

非ゼロ多項式関数がどこでも非負となるのは、そのすべての根が偶数重複度を持ち、となるような が存在する場合のみです。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})>0}$

非線形方程式の解の多重性

1変数解を持つ方程式の場合、多重度は次のように なります。${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$ そして${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

言い換えれば、における関数の導関数として定義される微分汎関数は、 まで でゼロになる。これらの微分汎関数は、におけるマコーレー双対空間と呼ばれるベクトル空間を張る[ ^{1 ]。そして}、その次元はの零点としてのの重複度である。 ${\displaystyle \partial_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$

を変数方程式系とし、解は からまたはからへの写像であるとする。また、 における微分汎関数のマコーレー双対空間が存在し、そこではすべての汎関数が でゼロとなる。このマコーレー双対空間の次元は、方程式 の解の重複度である。マコーレー双対空間は、解における系の重複度構造を形成する。^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{m}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

例えば、次 の形式の連立方程式の 解は、${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

は多重度3である。なぜならマコーレーの双対空間

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

は次元3であり、 は点 における関数に適用された微分関数を表します。 ${\displaystyle \partial _{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

解が孤立している場合、多重度は常に有限であり、倍解が複素空間での摂動の下で複合多重度を持つ解のクラスターになるという意味で摂動不変であり、多項式システム上の交差多重度と同一である。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

交差多重度

代数幾何学において、代数多様体の2つの部分多様体の交差は、既約多様体の有限和である。このような交差の各成分には、交差重複度が付随する。この概念は、この成分の任意の一般点の近傍で何が起こるかを見ることで定義できるという意味で局所的である。したがって、一般性を失うことなく、交差重複度を定義するために、2つのアフィン多様体（アフィン空間の部分多様体） の交差を考えることができる。

したがって、2つのアフィン多様体V ₁とV ₂が与えられたとき、V ₁とV ₂の交差の既約成分W を考えます。dをWの次元とし、P をWの任意の一般点とします。 Pを通る一般的な位置にあるd個の超平面とWの交差には、単一の点Pに簡約される既約成分があります。したがって、交差の座標環のこの成分における局所環は、素イデアルを1つだけ持つため、アルティン環になります。したがって、この環は基底体上の有限次元ベクトル空間です。その次元は、 WにおけるV ₁とV ₂の交差重複度です。

この定義により、ベズーの定理とその一般化を正確に 述べることができます。

この定義は、多項式の根の重複度を次のように一般化します。多項式fの根は、アフィン直線上の点であり、多項式によって定義される代数集合の成分です。このアフィン集合の座標環は です。ここで、 Kはfの係数を含む代数閉体です。 がfの因数分解である場合、素イデアルにおけるRの局所環は です。これはK上のベクトル空間であり、根の重複度を次元として 持ちます。${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ ${\displaystyle m_{i}}$

この交差多重度の定義は、本質的にはジャン＝ピエール・セールの著書『局所代数』に由来するが、交差の集合論的成分（孤立成分とも呼ばれる）に対してのみ有効であり、埋め込み成分には適用できない。埋め込み成分を扱うための理論が開発されている（詳細は 交差理論を参照）。

複素解析では

z _{0 を}正則関数fの根とし、nをz ₀におけるfのn^次導関数が0 と異なる最小の正の整数とする。このとき、 fのz ₀に関するべき級数はn^次項から始まり、f は重複度（または「位数」） nの根を持つと言われる 。n = 1の場合 、その根は単純根と呼ばれる。^{[ 4 ]}

有理型関数の零点と極の多重度も定義できます。有理型関数の場合、点z ₀の周りのgとhのテイラー展開を取り、それぞれの最初の非零項を求めます（項mとnの順序をそれぞれ表します）。m  =  nであれば、その点は非零値を持ちます。 の場合、その点は多重度 の零点です。 の場合、その点は多重度 の極を持ちます。議論の原理では、零点と極を多重度に応じて数えます。 ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ ${\displaystyle m>n,}$ ${\displaystyle mn.}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle nm.}$

参考文献

1. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein, CW Wampler (2013). Bertini法による多項式系の数値解法. SIAM. pp.  186– 187.
2. BH Dayton, T.-Y. Li, Z. Zeng (2011). 「非線形システムの多重零点」.計算数学. 80 (276): 2143– 2168. arXiv : 2103.05738 . doi : 10.1090/s0025-5718-2011-02462-2 . S2CID 9867417 . 
3. Macaulay, FS (1916). 『モジュラーシステムの代数理論』 ケンブリッジ大学出版局 1994年、1916年初版の再版。
4. (クランツ 1999, p. 70)

• クランツ、SG 『複素​​変数ハンドブック』ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、1999年。ISBN 0-8176-4011-8。