多極展開

多重極展開とは、角度に依存する関数を表す数学的な級数です。角度は通常、三次元ユークリッド空間、の球面座標系で使用される2つの角度（極角と方位角）です。多重極展開は、テイラー級数と同様に、多くの場合、最初の数項だけで元の関数の良好な近似値が得られるため便利です。展開される関数は実数値または複素数値で、 、またはそれほど一般的ではありませんが、他の に対してで定義されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

多重極展開は電磁場や重力場の研究では頻繁に用いられ、遠方点における場は小さな領域内の源によって表される。角度による多重極展開は、しばしば半径による展開と組み合わせられる。このような組み合わせは、3次元空間全体にわたる関数を記述する展開を与える。^[1]

多重極展開は、徐々に細かい角度特性（モーメント）を持つ項の和として表される。最初の（0次）項は単極子モーメント、2番目（1次）項は双極子モーメント、3番目（2次）項は四極子モーメント、4番目（3次）項は八極子モーメントなどと呼ばれる。ギリシャ数字の接頭辞の制限があるため、高次の項は慣例的に極の数に「-極」を付加して命名される。例えば、32極（まれにドトリアコンタポールまたはトリアコンタダイポール）や64極（まれにテトラヘキサコンタポールまたはヘキサコンタテトラポール）などである。^{[2] [3] [4]}多重極子モーメントは通常、原点からの距離の累乗（または逆累乗）と、ある程度の角度依存性を伴う。

原理的には、多重極展開はポテンシャルの正確な記述を提供し、一般的に次の2つの条件下で収束する：(1) 発生源（例えば電荷）が原点近くに局在し、ポテンシャルが観測される点が原点から遠い場合、または (2) その逆、つまり発生源が原点から遠く離れており、ポテンシャルが原点近くで観測される場合。前者（より一般的な）の場合、級数展開の係数は外部多重極モーメントまたは単に多重極モーメントと呼ばれ、後者の場合、それらは内部多重極モーメントと呼ばれる。

球面調和関数の展開

最も一般的には、級数は球面調和関数の和として表されます。したがって、関数は和として 表すことができます。 ここで、は標準的な球面調和関数、およびは関数に依存する定数係数です。項は単極子を表します。は双極子を表します。以下同様です。同様に、級数は^[5]と表記されることもよくあります。ここ で、 は角度とによって与えられた方向の単位ベクトルの成分を表し、添え字は暗黙的に を合計します。ここで、項は単極子、は双極子を表す3つの数の集合、以下同様です。 ${\displaystyle f(\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle C_{0}^{0}}$ ${\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}}$ $${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots }$$ ${\displaystyle n^{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{i}}$

上記の展開において、係数は実数または複素数です。ただし、多重極展開として表される関数が実数である場合、係数は特定の性質を満たさなければなりません。球面調和関数展開では、次式を満たす必要があります。 多重ベクトル展開では、各係数は実数でなければなりません。 $${\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.}$$ $${\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }$$

スカラー関数の展開は、これまでのところ多重極展開の最も一般的な応用であるが、任意の階数のテンソルを記述するために一般化することもできる。^{[6]これは、電磁気学における}ベクトルポテンシャルの多重極展開や、重力波の記述における計量摂動に利用されている。

座標原点から離れた3次元関数を記述する場合、多重極展開の係数は原点までの距離の関数として表すことができます。最も一般的には、のべき乗のローラン級数として表されます。例えば、原点付近の小さな領域にある発生源からの電磁ポテンシャル,を記述する場合、係数は次のように表されます。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

アプリケーション

多重極展開は、質量系の重力場、電荷分布および電流分布の電場・磁場、電磁波の伝播といった問題において広く用いられている。典型的な例としては、電子軌道の内部多重極子との相互作用エネルギーから原子核の外部多重極子モーメントを計算することがあげられる。原子核の多重極子モーメントは、原子核内の電荷分布、ひいては原子核の形状に関する情報を提供する。多重極子展開を最初の非ゼロ項で打ち切ることは、理論計算においてしばしば有用である。

多重極展開は数値シミュレーションにも有用であり、相互作用する粒子系におけるエネルギーと力を効率的に計算するための一般的な手法である、グリーンガードとロクリンによる高速多重極法の基礎を形成しています。基本的な考え方は、粒子をグループに分解することです。グループ内の粒子は通常通り（つまり、全ポテンシャルによって）相互作用しますが、粒子グループ間のエネルギーと力は多重極モーメントから計算されます。高速多重極法の効率は、一般的にエワルド和の効率と同等ですが、粒子が密集している場合、つまり系に大きな密度変動がある場合には、高速多重極法の方が優れています。

静電電荷分布の外側の電位の多極展開

位置ベクトルr _iを持つN個の点電荷q _iから成る離散電荷分布を考えます。電荷は原点の周りに密集しており、すべてのiについて: r _i < r _max（r _maxは有限の値を持つ）と仮定します。電荷分布による、電荷分布の外側の点RにおけるポテンシャルV ( R )は、 | R | > r _max 、 1/ Rの累乗で展開できます。この展開を行う 2 つの方法が文献に記載されています。1 つ目は、直交座標x、y、zでのテイラー級数であり、2 つ目は球面極座標に依存する球面調和関数によるものです。直交座標系によるアプローチには、ルジャンドル関数や球面調和関数などの事前の知識が必要ないという利点があります。欠点は、導出がかなり面倒なことです（実際、導出の大部分は1 / | r − R |のルジャンドル展開の暗黙的な再導出であり、これは1780年代にルジャンドルによって一度きりで完全に実行されました）。また、多重極展開の一般項を閉じた表現で与えることは困難で、通常は最初の数項のみが示され、その後に省略記号が付きます。

直交座標での展開

便宜上、v ( r ) = v (− r )と仮定する。v ( r − R )の原点r = 0の周りのテイラー展開は、テイラー係数を用い て 次のように表すことができる 。v ( r − R )がラプラス方程式を満たす 場合、上記の展開により 次の式が得られる。この展開は、トレースレスな直交座標系2階テンソル の成分を用いて書き直すことができる。 ここで、δ _αβはクロネッカーのデルタであり、r ² ≡ | r | ²である。トレースの除去は、回転不変なr ^2を2階テンソルから取り除くため、一般的に行われる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.}$$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$$

例

ここで、 v ( r − R )の次の形を考えてみましょう。 直接微分すると、次の式が得られます。 それぞれを単極子、双極子、（トレースレス）四極子として定義し、 最終的に、全ポテンシャルの多重極展開 の最初の数項を取得します。これは、個々の電荷のクーロンポテンシャルの合計です。^{[7] : 137–138}$${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.}$$ $${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$$ $${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}$$

離散電荷分布のポテンシャルの展開は、以下に示す実固体高調波の展開と非常によく似ている。主な違いは、この展開が線形従属量で表現されている点である。 $${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}$$

注: 電荷分布が無限小距離dだけ離れた反対符号の 2 つの電荷で構成され、d / R ≫ ( d / R ) ²となる場合、展開における支配的な項は 電気双極子ポテンシャル場であることが簡単に示されます 。 $${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),}$$

球形

電荷分布の外側の点RにおけるポテンシャルV ( R ) 、すなわち| R | > r _maxは、ラプラス展開によって展開できます。 ここで、 は不規則固体調和関数（以下では球面調和関数を で割ったものとして定義されます）、 は規則固体調和関数（球面調和関数にr ^ℓを掛けたもの）です。電荷分布の 球面多重極モーメントを次のように定義します。多重極モーメントは電荷分布（ N個の電荷 の位置と大きさ）によってのみ決定されることに注意してください。 $${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle R^{\ell +1}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .}$$

球面調和関数は単位ベクトルに依存します。（単位ベクトルは2つの球面極角によって決定されます。）したがって、定義により、不規則固体調和関数は次のように表すことができ、 電荷分布の外側の 点Rにおける場V ( R )の多重極展開は次のように表されます。${\displaystyle {\hat {R}}}$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}$$

この展開は、最初の数項だけでなくすべての項に対して閉じた形を与えるという点で、完全に一般化されています。これは、球面多重極モーメントがポテンシャルの 1/ R展開における係数として現れることを示しています。

最初の数項を実数で考察することは興味深い。これは学部教科書でよく見られる唯一の項である。m和の被加数は両方の因子を同時にユニタリ変換しても不変であり、複素球面調和関数から実数への変換はユニタリ変換によるため、実不規則立体調和関数と実多重極モーメントに置き換えるだけでよい。ℓ = 0の項は 次のようになり、これもまたクーロンの法則である。ℓ = 1の項については 、次のように 導入する 。この項は直交 座標形式の項と同一である。 $${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$$ $${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}$$

ℓ = 2 の項を書くには、四重極モーメントの5つの実成分と実球面調和関数の簡略記法を導入する必要があります。このような記法は 文献で見つけることができます。実記法はすぐに扱いにくくなるため、複素記法の有用性が明らかになります。 $${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$$

2つの重なり合わない電荷分布の相互作用

2つの点電荷集合、すなわち点Aの周りに密集した集合{ q _i }と点Bの周りに密集した集合{ q _j }を考えてみましょう。例えば2つの分子を考えてみましょう。分子は定義上、電子（負の点電荷）と原子核（正の点電荷）から構成されることを思い出してください。2つの分布間の 全静電相互作用エネルギーU _ABは、このエネルギーはAとB の距離の逆数でべき級数展開できます。この展開はU _ABの多重極展開として知られています。 $${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.}$$

この多重極展開を導くために、r _XY = r _Y − r _Xと書きます。これは、 XからYに向かうベクトルです。2 つの分布は重ならないことを前提としています。 この条件下では、次の形式で ラプラス展開 を適用できます。 ここで、 とはそれぞれ、非正規固体調和関数 と正則固体調和関数です。正則固体調和関数の変換により有限展開が得られ、 括弧内の量はクレプシュ・ゴルダン係数です。さらに、 球面多重極 の定義Qを使用します。$${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$$ $${\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$$ ${\displaystyle I_{L}^{M}}$ ${\displaystyle R_{L}^{M}}$ $${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,}$$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$ ^m
_ℓそして、和の範囲を多少異なる順序で覆うと（これはLの範囲が無限大の場合にのみ許される）、最終的に

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}$$

これは、距離R _AB離れた2つの重なり合わない電荷分布の相互作用エネルギーの多重極展開です。 この展開は明らかに1 / R _AB のべき乗であるため、関数Y ^m _{l は}正規化された球面調和関数です。 $${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}$$

分子モーメント

すべての原子と分子（S状態原子を除く）は、1つ以上のゼロにならない永久多重極モーメントを持ちます。文献には様々な定義がありますが、以下の球面形の定義は、一つの一般式で表せるという利点があります。また、複素数形であるため、実数よりも計算処理が容易であるという利点もあります。

電荷eZ _iを持つN個の粒子（電子と原子核）からなる分子について考えます（電子のZ値は -1 ですが、原子核の場合は原子番号です）。粒子iは球面極座標r _i、θ _i、 φ _iと直交座標x _i、y _i、z _iを持ちます。（複素）静電多重極演算子は、 Racah の正規化（シュミットの半正規化とも呼ばれる）における通常の固体調和関数 です。分子が全正規化波動関数Ψ （電子と原子核の座標に依存）を持つ場合、分子の多重極モーメントは期待値で与えられます。 分子が特定の点群対称性を持つ場合、これは波動関数に反映されます。 Ψ は、グループの特定の既約表現λに従って変換されます（「Ψ は対称タイプ λ を持ちます」）。この結果、多重極子演算子の期待値には選択則が成り立つ、つまり対称性のために期待値がゼロになる可能性がある。よく知られた例として、反転中心を持つ分子は双極子を持たない（m = −1, 0, 1の期待値はゼロになる）という事実が挙げられる。対称性を持たない分子には選択則は作用せず、そのような分子はあらゆる次数の多重極子を持つ（双極子を持ちながら、同時に四重極子、八重極子、十六重極子などを持つ）。 $${\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle Q_{1}^{m}}$

正則固体調和関数の最も低い明示的な形式（コンドン・ショートリー位相）は、 （分子の全電荷）を与える。（複素）双極子成分は以下の通りである。 $${\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},}$$ $${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .}$$ $${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}$$

単純な線形結合によって、複素多重極演算子を実多重極演算子に変換できることに留意してください。実多重極演算子は、コサイン型 またはサイン型です。最も低次の演算子をいくつか挙げると、以下のようになります。 ${\displaystyle C_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S_{\ell }^{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}}$$

慣例に関する注記

上記に示した複素分子多重極モーメントの定義は、本稿で示した定義の複素共役であり、正規化を除けばジャクソンによる古典電気力学の標準教科書^{[7] : 137}の定義に従っている。さらに、ジャクソンの古典的な定義では、 N粒子の量子力学的期待値に相当するものは、1粒子の電荷分布の積分である。1粒子の量子力学系の場合、期待値は電荷分布（波動関数の係数の2乗）の積分に他ならないことを覚えておこう。したがって、本稿の定義はジャクソンの定義の量子力学的N粒子一般化となる。

この記事の定義は、ファノとラカ^[8]やブリンクとサッチラー^{[9]の定義などと一致している。}

例

多極子モーメントには多くの種類があります。これは、ポテンシャルの種類が多様であり、座標と電荷分布の対称性に応じて級数展開によってポテンシャルを近似する方法も多様であるためです。最も一般的な展開には以下のものがあります。

• 1/ Rポテンシャルの軸方向多重極モーメント。
• 1/ Rポテンシャルの球面多重極モーメント、および
• ln  Rポテンシャルの円筒状多重極モーメント

1/ Rポテンシャルの例としては、点源の電位、磁気ポテンシャル、重力ポテンシャルなどが挙げられます。ln Rポテンシャルの例としては、 無限線電荷の 電位が挙げられます。

一般的な数学的性質

数学および数理物理学における多重極モーメントは、互いに無限に接近した点源に対する場の応答に基づいて、関数の分解のための直交基底を形成する。これらは様々な幾何学的形状に配列されていると考えることができる。あるいは、分布理論の意味で、方向微分として考えることができる。

多重極展開は、物理法則および関連する微分方程式の根底にある回転対称性と関連しています。質量、電荷、電流などの項が対称的でない場合でも、回転対称群の既約表現を用いて展開することができ、球面調和関数や関連する直交関数の集合が得られます。変数分離の手法を用いて、対応するラジアル依存性の解を抽出します。

実際には、多くの場は有限個の多重極モーメントで十分に近似できます（ただし、場を正確に再構成するには無限個の多重極モーメントが必要になる場合もあります）。典型的な応用例としては、局所電荷分布の場を単極子項と双極子項で近似することが挙げられます。与えられた次数の多重極モーメントについて一度解いた問題を線形結合することで、与えられた光源に対する最終的な近似解を得ること ができます。

参照

• バーンズ・ハットシミュレーション
• 高速多重極法
• ラプラス展開
• ルジャンドル多項式
• 四重極磁石は粒子加速器に使用されている
• ソリッドハーモニクス
• トーラスモーメント
• ダイナミックトロイダルダイポール

参考文献

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