多極放射

多極子放射は、遠方源の時間依存分布からの電磁放射または重力放射を記述するための理論的枠組みである。これらのツールは、銀河衝突による重力波から原子核崩壊に伴うガンマ線まで、様々な長さスケールで発生する物理現象に適用される。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]多極子放射は、静的源からの場を記述する同様の多極子展開法を用いて解析されるが、多極子放射場は静的場とは全く異なる挙動を示すため、解析の詳細には重要な違いがある。本稿では主に電磁多極子放射について扱うが、重力波の扱いも同様である。

電磁放射は、電荷と電流の発生源システムの構造の詳細に依存します。構造が未知または複雑な場合、直接解析は困難です。多重極解析は、放射を徐々に複雑になるモーメントに分割する方法を提供します。電磁場は高次のモーメントよりも低次のモーメントに大きく依存するため、詳細な構造を知らなくても電磁場を近似することができます。

多極放射の性質

モーメントの線形性

マクスウェル方程式は線形であるため、電場と磁場は発生源の分布に線形に依存します。線形性により、様々な多重極モーメントからの場を独立に計算し、それらを加算することで系全体の場を得ることができます。これはよく知られた重ね合わせの原理です。

多重極モーメントの原点依存性

多重極モーメントは、与えられた座標系の原点とされる固定の展開点を基準として計算される。原点を移動すると、最初の非ゼロモーメントを除いて、系の多重極モーメントが変化する。[ 4 ] [ 5 ]例えば、電荷の単極モーメントは、単に系内の総電荷である。原点を変更してもこのモーメントは変化しない。単極モーメントがゼロの場合、系の双極子モーメントは並進不変である。単極子モーメントと双極子モーメントの両方がゼロの場合、四極子モーメントは並進不変であり、以下同様である。高次のモーメントは原点の位置に依存するため、系の不変特性とはみなせない。

距離によるフィールド依存性

多極子モーメントからの電場は、原点からの距離と、座標系に対する評価点の角度方向の両方に依存します。[ 4 ]特に、静止した -極からの電磁場の半径依存性は に比例します。[ 2 ]つまり、電気単極子モーメントからの電場は距離の2乗に反比例します。同様に、電気双極子モーメントは距離の3乗に反比例する電場を作り出し、以下同様です。距離が増加すると、高次モーメントの寄与は低次モーメントの寄与よりもはるかに小さくなるため、計算を簡略化するために高次モーメントを無視することができます。 2ℓ{\displaystyle 2^{\ell}}1/rℓ+2{\displaystyle 1/r^{\ell +2}}

放射波の半径依存性は静的場とは異なり、これらの波はシステムからエネルギーを運び去る。エネルギーは保存されなければならないため、単純な幾何学的解析から、球面放射のエネルギー密度（半径 ）はに比例して変化しなければならないことがわかる。球面波が膨張すると、波の固定エネルギーは表面積 の膨張する球面に拡散しなければならない。したがって、時間に依存する多重極モーメントはすべて、モーメントの次数に関わらず、 に比例する放射エネルギー密度を寄与しなければならない。したがって、高次のモーメントは静的な場合ほど簡単には捨てることができない。それでも、システムの多重極係数は一般に次数が増加するにつれて に比例して減少するため、高次のモーメントを切り捨てることで放射場を近似することができる。[ 5 ]r{\displaystyle r}1/r2{\displaystyle 1/r^{2}}4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}1/r2{\displaystyle 1/r^{2}}1/（2ℓ+1）!!{\displaystyle 1/(2\ell +1)!!}

時間依存電磁場

出典

時間依存の音源分布はフーリエ解析を用いて表現できる。これにより、個々の周波数を独立に解析することができる。電荷密度はで与えられ 、電流密度はで与えられる[ 6 ]。 便宜上、これ以降は単一の角周波数ωのみを考慮する。したがって、 重ね合わせの原理を適用して、複数の周波数に結果を一般化することができる。[ 5 ]。ベクトル量は太字で示されている。物理量を表すために、複素量の実部を取るという標準的な慣例が用いられている。 ρ（×、t）＝∫−∞∞dωρ^（×、ω）e−私ωt{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}J（×、t）＝∫−∞∞dωJ^（×、ω）e−私ωt。{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}。}ρ（×、t）＝ρ（×）e−私ωt{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}J（×、t）＝J（×）e−私ωt{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}

素粒子の固有角運動量（スピン（物理学）参照）は、一部の物質からの電磁放射にも影響を及ぼす可能性がある。これらの効果を考慮するには、系の固有磁化を考慮する必要がある。しかし、簡潔にするため、これらの効果については一般化多極子放射の議論に譲ることにする。 M(x,t){\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)}

潜在能力

源分布を積分することで、時間依存の電位φと磁気ポテンシャルAが得られる。式はSI単位系でローレンツゲージで表される。[ 5 ] [ 6 ]

ϕ(x,t)=14πε0∫d3x′∫dt′ρ(x′,t′)‖x−x′‖2δ(t′−(t−‖x−x′‖2c)){\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}}\right)\right)}A(x,t)=μ04π∫d3x′∫dt′J(x′,t′)‖x−x′‖2δ(t′−(t−‖x−x′‖2c)){\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-\left(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}}\right)\right)}

これらの式において、cは真空中の光速、はディラックのデルタ関数、は光源点x′から評価点xまでのユークリッド距離である。上記の時間依存光源分布を積分すると、 δ{\displaystyle \delta }‖x−x′‖2{\textstyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}

ϕ(x,t)=14πε0e−iωt∫d3x′ρ(x′)eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}A(x,t)=μ04πe−iωt∫d3x′J(x′)eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}} ここで、k = ω / cです。これらの式は、多極放射を解析するための基礎となります。

近傍場における多極子展開

近傍場とは、電磁場を準静的に評価できる発生源周囲の領域である。多極子原点からの標的距離が放射波長よりもはるかに小さい場合、 となる。その結果、この領域における指数関数は次のように近似できる。 r=‖x‖2{\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}λ=2π/k{\displaystyle \lambda =2\pi /k}kr≪1{\displaystyle kr\ll 1}eik‖x−x′‖2=1+O(kr){\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+{\mathcal {O}}(kr)}

テイラー展開を参照。この近似を用いることで、残りのx ′依存性は静的システムの場合と同じとなり、同じ解析が適用される。[ 4 ] [ 5 ]本質的には、システムのスナップショットを撮り、それを静的であるかのように扱うだけで、特定の瞬間における近傍場のポテンシャルを評価できる。そのため、これは準静的と呼ばれる。[ 5 ]近傍場と遠方場および多重極展開を参照。特に、逆距離は球面調和関数を用いて展開され、球面多重極係数を得るために個別に積分される。 1/‖x−x′‖2{\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}

遠方場における多極子展開：多極子放射

高周波音源から遠い距離では、次の近似が成り立ちます。 λ≪r{\displaystyle \lambda \ll r}

1‖x−x′‖2=1r+O(1/r2){\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}eik‖x−x′‖2=eik(r−n⋅x′+O(1/r))=eikr−ikn⋅x′(1+O(1/r)){\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} +{\mathcal {O}}(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+{\mathcal {O}}(1/r))}

遠距離では 1次の項のみが意味を持つので、展開を組み合わせると次のようになる。1/r{\displaystyle 1/r}

eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2=eikrr(1−ik(n⋅x′)+(−ik)22(n⋅x′)2+⋯)+O(1/r2){\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}\left(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+\cdots \right)+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}

の各べき乗は異なる多重極モーメントに対応します。最初のいくつかのモーメントは以下で評価されます。 n⋅x′{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }

電気単極子放射、非存在

スカラーポテンシャルにゼロ次の項を適用すると、 全電荷は周波数ωで振動する電気単極子モーメントであることがわかる 。電荷保存則はq = 0を 必要とする。eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2→eikrr{\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}ϕElectric monopole(x,t)=14πε0eikr−iωtr∫d3x′ρ(x′)=eikr−iωt4πε0rq{\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}q}q=∫d3x′ρ(x′){\textstyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}q(t)=∫d3x′ρ(x′,t)=∫d3x′ρ(x′)e−iωt=qe−iωt.{\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}.}

系が閉じている場合、全電荷は変動できず、振動振幅qはゼロでなければならない。したがって、対応する電場と放射パワーもゼロでなければならない。[ 5 ]ϕElectric monopole(x,t)=0{\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0}

電気双極子放射

電気双極子ポテンシャル

電気双極子放射はベクトルポテンシャルにゼロ次項を適用することで導出できる。[ 5 ]

AElectric dipole(x,t)=μ04πeikr−iωtr∫d3x′J(x′){\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}

部分積分の結果[ 7 ]

∫d3x′J(x′)=−∫d3x′x′(∇⋅J(x′)).{\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )).}

そして電荷連続方程式は

∂ρ(x,t)∂t+∇⋅J(x,t)=(−iωρ(x)+∇⋅J(x))e−iωt=0.{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0.}

すると、

AElectric dipole(x,t)=−iωμ04πeikr−iωtr∫d3x′x′ρ(x′){\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}

同様の結果は、スカラーポテンシャルに一次項 を適用することによっても得られる。系の電気双極子モーメントの振幅は であり、これによりポテンシャルは次のように表される。 eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2→eikrr(−ik)(n⋅x′){\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}p=∫d3x′x′ρ(x′){\textstyle \mathbf {p} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}

ϕElectric dipole(x,t)=−ik4πε0eikr−iωtrn⋅p{\displaystyle \phi _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} }AElectric dipole(x,t)=−iωμ04πeikr−iωtrp{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {p} }

電気双極子場

時間依存電位が理解できれば、時間依存電場と磁場は通常の方法で計算できる。すなわち、

E(x,t)=−∇ϕ(x,t)−∂A(x,t)∂t{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}B(x,t)=∇×A(x,t),{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t),}

あるいは、宇宙の無源領域では、磁場と電場の関係を利用して、

H(x,t)=1μ0∇×A(x,t){\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}E(x,t)=iZ0k∇×H(x,t){\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}

ここで、自由空間のインピーダンスである。上記の電位に対応する電界と磁界は Z0=μ0/ε0{\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\varepsilon _{0}}}}

HElectric dipole(x,t)=ck24π(n×p)eikr−iωtr{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}EElectric dipole(x,t)=Z0(HElectric dipole×n){\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\times \mathbf {n} )}

これは球面放射波と一致する。[ 5 ]

純粋な電気双極子電力

電力密度、つまり単位面積・単位時間当たりのエネルギーは、ポインティングベクトルで表される。したがって、単位立体角当たりの時間平均電力密度は次のように表される 。S=E×H{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }

dP(x)dΩ=r22ℜ(n⋅E×H).{\displaystyle {\frac {dP(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} ).}

とのドット積は放射強度を抽出し、1/2の係数は時間平均から得られる。上で説明したように、は放射エネルギー密度の半径方向依存性を打ち消す。純粋な電気双極子に適用すると、次のようになる 。n{\displaystyle \mathbf {n} }r2{\displaystyle r^{2}}

dPElectric dipole(x)dΩ=c2Z032π2k4‖p‖22sin2⁡θ{\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }

ここでθはに関して測定される。[ 5 ]球面上の積分は放射される全電力を与える。 p{\displaystyle \mathbf {p} }

PElectric dipole=c2Z012πk4‖p‖22{\displaystyle P_{\text{Electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}}

磁気双極子放射

磁気双極子ポテンシャル

ベクトルポテンシャルに一次項を適用すると、磁気双極子放射と電気四極子放射が生じる。 [ 5 ]eik‖x−x′‖2‖x−x′‖2→eikrr(−ik)(n⋅x′){\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}

AMagnetic dipole / Electric quadrupole(x,t)=μ04πeikr−iωtr(−ik)∫d3x′(n⋅x′)J(x′){\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole / Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}

積分関数はJとx ′ において対称部分と反対称部分に分離できる。

(n⋅x′)J(x′)=12((n⋅x′)J(x′)+(n⋅J(x′))x′)+12(x′×J(x′))×n{\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }

2 番目の項には電流による有効磁化が含まれており、積分すると磁気双極子モーメントが得られます。 Meffective(x′)=1/2(x′×J(x′)){\displaystyle \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}

∫d3x′Meffective(x′)=m{\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=\mathbf {m} }AMagnetic dipole(x,t)=−ikμ04πeikr−iωtrm×n{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }

はと似た形をしていることに注意してください。これは、磁気双極子からの磁場が電気双極子からの電場と同様に振る舞うことを意味します。同様に、磁気双極子からの電場は電気双極子からの磁場と同様に振る舞います。変換を行うと AMagnetic dipole{\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}}HElectric dipole{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}}

EElectric dipole→Z0HMagnetic dipole{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}}HElectric dipole→−1Z0EMagnetic dipole{\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}}p→m/c{\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {m} /c}

これまでの結果と比較すると磁気双極子の結果が得られる。[ 5 ]

磁気双極子場

EMagnetic dipole(x,t)=−k2Z04π(n×m)eikr−iωtr{\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}HMagnetic dipole(x,t)=−1Z0(EMagnetic dipole×n){\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}\times \mathbf {n} )}[ 5 ]

純粋な磁気双極子電力

磁気双極子が単位立体角あたりに放射する平均電力は

dPMagnetic dipole(x)dΩ=Z032π2k4‖m‖22sin2⁡θ{\displaystyle {\frac {dP_{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }

ここで、θは磁気双極子を基準として測定される。放射される全電力は[ 5 ]である。m{\displaystyle \mathbf {m} }

PMagnetic dipole=Z012πk4‖m‖22{\displaystyle P_{\text{Magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}

電気四重極放射

電気四重極ポテンシャル

前のセクションの積分関数の対称部分は、電気双極子放射の場合と同様 に、部分積分と電荷連続方程式を適用することで解決できます。

12∫d3x((n⋅x′)J(x′)+(n⋅J(x′))x′)=−iω2∫d3x′x′(n⋅x′)ρ(x′){\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}

AElectric quadrupole(x,t)=−kωμ08πeikr−iωtr∫d3x′x′(n⋅x′)ρ(x′){\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}

これはトレースレス電気四重極モーメントテンソルに対応する。第2の添え字を法線ベクトルで縮約すると、ベクトルポテンシャルは[ 5 ]のように表される。Qαβ=∫d3x′(3xα′xβ′−‖x′‖2δαβ)ρ(x′){\textstyle Q_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}[Q(n)]α=∑βQαβnβ{\textstyle [Q(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }}

AElectric quadrupole(x,t)=−kωμ08πeikr−iωtr13Q(n){\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {Q(n)} }

電気四重極場

結果として生じる磁場と電場は次のようになる。[ 5 ]

HElectric quadrupole(x,t)=−ick324πeikr−iωtrn×Q(n){\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} }EElectric quadrupole(x,t)=Z0(HElectric quadrupole×n){\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}\times \mathbf {n} )}

純粋な電気四重極電力

電気四重極子が単位立体角あたりに放射する平均電力は

dPElectric quadrupole(x)dΩ=c2Z01152π2k6‖(n×Q(n))×n‖2{\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} )\times \mathbf {n} \|^{2}}

ここで、θは磁気双極子を基準として測定される。放射される全電力は[ 5 ]である。m{\displaystyle \mathbf {m} }

PElectric quadrupole=c2Z01440πk6∑α,βQαβ2{\displaystyle P_{\text{Electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }^{2}}

一般化多極放射

源分布の多重極モーメントが増加すると、これまで用いられてきた直接計算はあまりにも煩雑になり、これ以上続けることはできなくなります。高次のモーメントの解析には、より一般的な理論的枠組みが必要です。これまでと同様に、単一の源周波数を考慮します。したがって、電荷密度、電流密度、および固有磁化密度は次のように与えられます。 ω{\displaystyle \omega }

ρ(x,t)=ρ(x)e−iωt{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}J(x,t)=J(x)e−iωt{\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}M(x,t)=M(x)e−iωt{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}

それぞれ。結果として生じる電界と磁界は、発生源と同じ時間依存性を持ちます。

E(x,t)=E(x)e−iωt{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}H(x,t)=H(x)e−iωt{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}

これらの定義と連続方程式を用いると、マクスウェル方程式は次のように書ける。

∇⋅E(x)=−iZ0k∇⋅J(x){\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}∇⋅H(x)=−∇⋅M(x){\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}∇×E(x)=ikZ0(H(x)+M(x)){\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}∇×H(x)=−ikZ0E(x)+J(x){\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}

これらの方程式は、最後の方程式の回転を取り、恒等式を適用することで結合できます。これにより、非同次ヘルムホルツ方程式のベクトル形式が得られます。 ∇×(∇×V)=∇(∇⋅V)−∇2V{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} )-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {V} }

(∇2+k2)E(x)=−[ikZ0J(x)+ikZ0∇×M(x)+iZ0k∇(∇⋅J(x))]{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}(∇2+k2)H(x)=−[k2M(x)+∇×J(x)+∇(∇⋅M(x))]{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}

波動方程式の解

発生源のない領域における 周波数を持つ電磁放射を記述する同次波動方程式は次の形式を持ちます。ω{\displaystyle \omega }

(∇2+k2)Ψ(x)=0{\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=0}

波動関数はベクトル球面調和関数の和として表すことができる。Ψ(x){\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )}

Ψ(x)=∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓfℓm(kr)Xℓm(θ,ϕ){\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}fℓm(kr)=Aℓm(1)hℓ(1)(kr)+Aℓm(2)hℓ(2)(kr){\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}

ここで、正規化されたベクトル球面調和関数と球面ハンケル関数です。球面ベッセル関数を参照してください。微分演算子は、性質を持つ角運動量演算子です。係数と係数は、それぞれ膨張波と収縮波に対応します。放射についても同様にです。他の係数を決定するには、波動方程式のグリーン関数を適用します。もし、波源方程式が Xℓm(θ,ϕ)=LYℓm(θ,ϕ)/ℓ(ℓ+1){\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}hℓ(1){\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}hℓ(2){\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}L=−ix×∇{\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times {\boldsymbol {\nabla }}}L2Yℓm=ℓ(ℓ+1)Yℓm{\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}Aℓm(1){\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}Aℓm(2){\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}Aℓm(2)=0{\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}

(∇2+k2)Ψ(x)=−V(x){\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}^{2}+k^{2}){\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}

解決策は次のようになります。

Ψα(x)=∑β∫d3x′Gαβ(x,x′)Vβ(x′){\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}

グリーン関数はベクトル球面調和関数で表現できます。

Gαβ(x,x′)=∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓikhℓ(1)(kr)jℓ(kr′)Xℓmα(θ,ϕ)Xℓmβ∗(θ′,ϕ′){\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}

は波源関数に作用する微分演算子であることに注意してください。したがって、波動方程式の解は次のようになります。 Xℓm∗=Yℓm∗L/ℓ(ℓ+1){\textstyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}V{\displaystyle \mathbf {V} }

Ψ(x)=∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓikℓ(ℓ+1)hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)L′⋅V(x′){\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}

電気多重極場

上記の解を電気多重極波動方程式に適用すると

(∇2+k2)H(x)=−[k2M(x)+∇×J(x)+∇(∇⋅M(x))]{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}

磁場の解は次のように表される：[ 5 ]

H(E)(x)=∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓaℓm(E)hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ){\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}aℓm(E)=ikℓ(ℓ+1)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)L′⋅[k2M(x′)+∇′×J(x′)+∇′(∇′⋅M(x′))]{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}\times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+{\boldsymbol {\nabla '}}({\boldsymbol {\nabla '}}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}

電界は次のようになります。

E(E)(x)=iZ0k∇×H(E)(x){\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}

この式は、次の恒等式を適用することで簡略化できる。

L⋅V(x)=i∇⋅(x×V(x)){\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}L⋅(∇×V(x))=i∇2(x⋅V(x))−i∂r∂r(r2∇⋅V(x)){\displaystyle \mathbf {L} \cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}L⋅∇s(x)=0{\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}s(\mathbf {x} )=0}

を積分関数に代入すると、 [ 5 ]となる。

aℓm(E)=−ik2ℓ(ℓ+1)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)[−ik∇⋅(x′×M(x′))−ik∇2(x′⋅J(x′))−c∂r′∂r′(r′2ρ(x′))]{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}

グリーンの定理と部分積分により、式は次のように操作される。

aℓm(E)=−ik2ℓ(ℓ+1)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)[−ik∇⋅(x′×M(x′))+ikx′⋅J(x′)]+cYℓm∗(θ′,ϕ′)ρ(x′)∂∂r′(r′jℓ(kr′)){\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}

球面ベッセル関数は、 放射長スケールが放射源長スケールよりもはるかに大きいと仮定することで簡略化することもできます。これはほとんどのアンテナに当てはまります。 jℓ(kr′){\displaystyle j_{\ell }(kr')}

jℓ(kr′)=(kr′)ℓ(2ℓ+1)!!+O((kr′)ℓ+2){\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+{\mathcal {O}}((kr')^{\ell +2})}

最も低次の項のみを残すと、電気多重極係数の簡略化された形が得られる。[ 5 ]

aℓm(E)=−ickℓ+2(2ℓ+1)!!(ℓ+1ℓ)1/2[Qℓm+Qℓm′]{\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}Qℓm=∫d3x′r′ℓYℓm∗(θ′,ϕ′)ρ(x′){\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}Qℓm′=−ikc(ℓ+1)∫d3x′r′ℓYℓm∗(θ′,ϕ′)∇⋅(x′×M(x′)){\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}

Qℓm{\displaystyle Q_{\ell m}}は、静電荷分布に適用された場合の静的ケースの電気多重極モーメントと同じであるが、ソース材料の固有磁化から誘導された電気多重極モーメントに対応します。 ρ(x){\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}Qℓm′{\displaystyle Q_{\ell m}'}

磁気多極子場

上記の解を磁気多重極波動方程式に適用すると

(∇2+k2)E(x)=−[ikZ0J(x)+ikZ0∇×M(x))+iZ0k∇(∇⋅J(x))]{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}

電場の解を与える：[ 5 ]

E(M)(x)=∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓaℓm(M)hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ){\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}aℓm(M)=ikℓ(ℓ+1)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)L′⋅[ikZ0J(x)+ikZ0∇×M(x))+iZ0k∇(∇⋅J(x))]{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}{\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}

磁場は次のようになります。

H(M)(x)=−ikZ0∇×E(M)(x){\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}

前と同様に、式は次のように簡略化されます。

aℓm(M)=−ik2ℓ(ℓ+1)∫d3x′jℓ(kr′)Yℓm∗(θ′,ϕ′)[∇⋅(x′×J(x′))−k2x′⋅M(x′)]+Yℓm∗(θ′,ϕ′)∇⋅M(x′)∂∂r′(r′jℓ(kr′)){\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}

最も低次の項のみを残すと、磁気多重極係数の簡略化された形が得られる。[ 5 ]

aℓm(M)=−ikℓ+2(2ℓ+1)!!(ℓ+1ℓ)1/2[Mℓm+Mℓm′]{\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}Mℓm=1ℓ+1∫d3x′r′ℓYℓm∗(θ′,ϕ′)∇⋅(x′×J(x′)){\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}Mℓm′=∫d3x′r′ℓYℓm∗(θ′,ϕ′)∇⋅M(x′){\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi '){\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}

Mℓm{\displaystyle M_{\ell m}}は有効磁化からの磁気多重極モーメントであり、 は固有磁化に対応します。 x×J(x)/2{\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2}Mℓm′{\displaystyle M_{\ell m}'}M(x){\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )}

一般解

電場と磁場の多重極場は結合して全体の場を与える：[ 5 ]E(x,t)=ℜ(∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓ[aℓm(M)hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ)+iZ0kaℓm(E)∇×(hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ))]e−iωt){\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}{\boldsymbol {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}H(x,t)=ℜ(∑ℓ=0∞∑m=−ℓℓ[aℓm(E)hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ)−ikZ0aℓm(M)∇×(hℓ(1)(kr)Xℓm(θ,ϕ))]e−iωt){\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}{\boldsymbol {\nabla }}\times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}

遠方場の限界ではラジアル関数を簡略化できることに注意してください。 hℓ(1)(kr){\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)}1/r≪1{\displaystyle 1/r\ll 1}

hℓ(1)(kr)=(−i)ℓ+1eikrkr+O(1/r2){\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+{\mathcal {O}}(1/r^{2})}

このようにして、放射線の半径依存性が回復されます。

参照

参考文献

[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

  1. ^ a bハートル、ジェームズ・B. (2003). 『重力：アインシュタインの一般相対性理論入門』アディソン・ウェスレー. ISBN 0-8053-8662-9。
  2. ^ a b c Rose, ME (1955).多重極子場. John Wiley & Sons .
  3. ^ a b Blatt, John M.; Weisskopf, Victor F. (1963).理論核物理学 - 第7刷. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  4. ^ a b c d Raab, Roger E.; de Lange, Owen L. (2004). 『電磁気学における多極子理論』オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-856727-1。
  5. ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w xジャクソン、ジョン・デイビッド (1999).古典電気力学 - 第3版.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 0-471-30932-X。
  6. ^ a b cハフナー、クリスチャン (1990).計算電磁気学のための一般化多極子法.アーテックハウス. ISBN 0-89006-429-6。
  7. ^ Robert G. Brown (2007-12-28). 「ベクトル計算：部分積分」 .古典電気力学：パートII .
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