ナフビンの定理

数学において、複素解析の分野におけるナハビンの定理（レオポルド・ナハビンにちなんで名付けられた）は、解析関数の増加率の上限を定めるために用いられる結果である。特に、ナハビンの定理は、ナハビン和とも呼ばれる一般化ボレル変換の収束領域を与えるために用いられる。

本稿では、指数型関数の概念を含め、成長率について簡単に解説する。成長率を型に基づいて分類することは、ビッグO記法やランダウ記法よりも優れたツールとなる。なぜなら、有界関数とその積分変換の解析構造に関する多くの定理を述べることができるからだ。

指数型

複素平面上で定義された関数は、定数とが存在し 、${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

の極限において。ここで複素変数は、この極限があらゆる方向において成立することを強調するために と表記されている。をそのような の最小値とすると、この関数は指数型であると言える。 ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha}$

例えば、 とします。このとき、 は の虚軸に沿った増加を制限する最小の数であるため、は指数型 であると言えます。したがって、この例では、未満の指数型関数を必要とするため、カールソンの定理は適用できません。 ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$

Ψ型

指数関数以外にも、他の境界関数に対して追加の関数型を定義することができます。一般的に、級数を持つ 関数は比較関数です。${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

すべてのに対して、そして ${\displaystyle \Psi_{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

比較関数は必然的に整関数であり、これは比テストから導かれる。 がそのような 比較関数である場合、定数 と が存在し、${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

として。 がそのようなすべての の最小値である場合、 は-型であると言えます。 ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle \tau}$

ナクビンの定理は、級数 ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

は-型であるとき、かつその場合に限り、 ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

これは当然根の検定と関連しており、コーシー・アダマールの定理の関連物と考えることができます。

一般化ボレル変換

ナクビンの定理は、コーシーの定理のような状況や、積分変換に直接応用できる。例えば、一般化されたボレル変換は次のように与えられる。

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

が型の場合、 の収束領域の外部とそのすべての特異点は円板内に含まれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi}$ ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

さらに、

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

ここで、積分曲線γは円板 を囲む。これは、 となる指数関数型関数に対する通常のボレル変換を一般化するものである。一般化されたボレル変換の積分形も同様に導かれる。 を、その一階微分が区間 で有界であり、定義方程式 を満たす 関数とする。${\displaystyle |w|\leq \tau }$ ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

ここで、一般化ボレル変換の積分形は ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

通常のボレル変換は と設定することで再び得られる。ボレル変換の積分形はラプラス変換である点に注意すること。 ${\displaystyle \alpha (t)=-e^{-t}}$

ナチビン和

ナクビン和は、ボレル和では計算できない発散級数を合計するために使用できます。たとえば、次の形式の積分方程式 を漸近的に解くことができます。

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

ここで、は指数型であってもそうでなくてもよく、核はメリン変換 を持つ。解は、からのようにナクビン和を用いて、のメリン変換を用いて得られる。この例として、グラム級数が挙げ られる。${\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

場合によっては、追加の条件として、有限かつ非ゼロであることを要求する。${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ ${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$

フレシェスペース

指数関数型の関数の集合は、ノルムの可算族によって誘導される位相によって、完全な一様空間、すなわちフレシェ空間を形成することができる。${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

参照

• 発散系列
• ボレル和
• オイラー和
• チェザロ合計
• ランバート和
• ミッタグ・レフラー和
• フラグメン・リンデロフの原理
• アーベル定理とタウバー定理
• ファン・ワインガルデン変換

参考文献

• L. Nachbin, 「有限指数型積分関数の概念の拡張」, Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ralph P. Boas, Jr. および R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263. (ナフビンの定理の解説と証明、およびこのテーマの一般的な解説が掲載されている。)
• AF Leont'ev (2001) [1994]、「指数型関数」、数学百科事典、EMSプレス
• AF Leont'ev (2001) [1994]、「ボレル変換」、数学百科事典、EMSプレス