危機一髪の問題
Singular perturbation problem dealing with confinement of Brownian particles

危機一髪問題[1] [2]は生物学、生物物理学、細胞生物学において普遍的な問題である。

数学的定式化は以下の通りである。ブラウン運動粒子（イオン、分子、またはタンパク質）は、反射境界によって限定された領域（区画または細胞）に閉じ込められているが、そこから脱出できる小さな窓は存在する。ナローエスケープ問題は、平均脱出時間を計算する問題である。この時間は窓が縮小するにつれて発散するため、計算は特異摂動問題となる。[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

脱出場所の厳しい幾何学的制約により脱出がさらに困難になった場合、危機一髪の問題は窮地問題となる。[10] [11]

危機一髪問題は生物学と生物物理学の分野でD.ホルクマンとZ.シュスによって提唱され[12] 、後にA.シンガーによって提唱され、応用数学と計算生物学における危機一髪理論につながった。[13] [14] [15]

処方

粒子の運動はランジュバン方程式のスモルホフスキー限界によって記述される：[16] [17] ここで、は粒子の拡散係数、は単位質量あたりの摩擦係数、は単位質量あたりの力、はブラウン運動である。 d X t = 2 D d B t + 1 γ F ( x ) d t , {\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,} D {\displaystyle D} γ {\displaystyle \gamma } F ( x ) {\displaystyle F(x)} B t {\displaystyle B_{t}}

平均初通過時間とフォッカー・プランク方程式

よくある問題は、境界領域内を拡散する粒子が、その境界にある小さな吸収窓から抜け出すまでの平均滞在時間を推定することです。この時間は、極限において漸近的に推定されます。 Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω a {\displaystyle \partial \Omega _{a}} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ε = | ∂ Ω a | | ∂ Ω | ≪ 1 {\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}

確率密度関数(pdf)は、時刻 に位置 で粒子が見つかる確率です。 p ε ( x , t ) {\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)} x {\displaystyle x} t {\displaystyle t}

pdfはフォッカー・プランク方程式を満たす： 初期条件 および混合ディリクレ・ノイマン境界条件（） ∂ ∂ t p ε ( x , t ) = D Δ p ε ( x , t ) − 1 γ ∇ ( p ε ( x , t ) F ( x ) ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))} p ε ( x , 0 ) = ρ 0 ( x ) {\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,} t > 0 {\displaystyle t>0} p ε ( x , t ) = 0  for  x ∈ ∂ Ω a {\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}} D ∂ ∂ n p ε ( x , t ) − p ε ( x , t ) γ F ( x ) ⋅ n ( x ) = 0  for  x ∈ ∂ Ω − ∂ Ω a {\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}

この関数は 、初期位置を条件とする粒子の平均滞在時間を表す。これは境界値問題の解である。 u ε ( y ) = ∫ Ω ∫ 0 ∞ p ε ( x , t y ) d t d x {\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx} y {\displaystyle y}

D Δ u ε ( y ) + 1 γ F ( y ) ⋅ ∇ u ε ( y ) = − 1 {\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1} u ε ( y ) = 0  for  y ∈ ∂ Ω a {\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}} ∂ u ε ( y ) ∂ n = 0  for  y ∈ ∂ Ω r {\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}}

解は領域の次元に依存します。粒子が2次元円板上を拡散する場合、 は領域の表面です。関数は、漸近形式による吸収境界付近の小さな境界層を除き、初期位置 に依存しません。 u ε ( y ) = A π D ln ⁡ 1 ε + O ( 1 ) , {\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),} A {\displaystyle A} u ϵ ( y ) {\displaystyle u_{\epsilon }(y)} y {\displaystyle y}

2次元では、第一次の項が重要になります。半径 の円板の場合、中心から出発した粒子の平均脱出時間は R {\displaystyle R} E ( τ | x ( 0 ) = 0 ) = R 2 D ( log ⁡ ( 1 ε ) + log ⁡ 2 + 1 4 + O ( ε ) ) . {\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}

粒子の均一な初期分布に関して平均した脱出時間は次のように与えられる。 E ( τ ) = R 2 D ( log ⁡ ( 1 ε ) + log ⁡ 2 + 1 8 + O ( ε ) ) . {\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}

小さな開口部の形状は脱出時間に影響を与える可能性があります。吸収窓が角度 の角にある場合、次のようになります。 α {\displaystyle \alpha }

E τ = | Ω | α D [ log ⁡ 1 ε + O ( 1 ) ] . {\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}

さらに驚くべきことに、2次元領域におけるカスプ近傍では、脱出時間は対数的ではなく代数的に増大します。2つの接円で囲まれた領域では、脱出時間は次のようになります。 ここで、 d > 1は半径の比です。最後に、領域が環状の場合、内側の円に位置する小さな開口部への脱出時間には、内半径と外半径の比という2つ目のパラメータが関係します。一様初期分布に関して平均化された脱出時間は、次のようになります。 E τ {\displaystyle E\tau } E τ = | Ω | ( d − 1 ) D ( 1 ε + O ( 1 ) ) , {\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),} β = R 1 R 2 < 1 , {\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,} E τ = ( R 2 2 − R 1 2 ) D [ log ⁡ 1 ε + log ⁡ 2 + 2 β 2 ] + 1 2 R 2 2 1 − β 2 log ⁡ 1 β − 1 4 R 2 2 + O ( ε , β 4 ) R 2 2 . {\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.}

この方程式には、漸近展開の2つの項が含まれており、は吸収境界の角度です。1に近い場合は未解決のままであり、一般領域では脱出時間の漸近展開は未解決問題のままです。3次元領域におけるカスプ点付近の脱出時間を計算する問題も同様です。力場におけるブラウン運動の場合、スペクトルのギャップは、小さな穴の相対的な大きさと、粒子が脱出するために乗り越えなければならない力の障壁に依存し、第1固有値と第2固有値の間で必ずしも小さくなるわけではありません。脱出流は必ずしもポアソン分布に従うわけではありません。 E τ {\displaystyle E\tau } 2 ϵ {\displaystyle 2\epsilon } β {\displaystyle \beta } F ( x ) ≠ 0 {\displaystyle F(x)\neq 0}

分析結果

ブラウン運動の脱出問題と（決定論的）偏微分方程式の問題を関連付ける定理は次のとおりです。

定理—を滑らかな境界を持つ有界領域とし、をの閉部分集合とする。各 について、を粒子が に衝突する最初の時刻とする。ここで、粒子は から出発し、 においてブラウン運動し、 から反射すると仮定する。このとき、平均初回通過時刻とその分散 は、以下の境界値問題の解となる。 Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } Γ {\displaystyle \Gamma } ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } τ x {\displaystyle \tau _{x}} Γ {\displaystyle \Gamma } x {\displaystyle x} Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } T ( x ) := E [ τ x ] {\displaystyle T(x):=\mathbb {E} [\tau _{x}]} v ( x ) := E [ ( τ x − T ( x ) ) 2 ] {\displaystyle v(x):=\mathbb {E} [(\tau _{x}-T(x))^{2}]} − Δ T = 2  in  Ω ,   T = 0  on  Γ ,   ∂ n T = 0  on  ∂ Ω ∖ Γ {\displaystyle -\Delta T=2{\text{ in }}\Omega ,~T=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}T=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma } − Δ v = 2 | ∇ T | 2  in  Ω ,   v = 0  on  Γ ,   ∂ n v = 0  on  ∂ Ω ∖ Γ {\displaystyle -\Delta v=2\vert \nabla T\vert ^{2}{\text{ in }}\Omega ,~v=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}v=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma }

ここでは 方向の微分であり、 の外部法線は である。さらに、分散の平均は次の式から計算できる。 ∂ n := n ⋅ ∇ {\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla } n {\displaystyle n} ∂ Ω . {\displaystyle \partial \Omega .} v ¯ := 1 | Ω | ∫ Ω v ( x ) d x = 1 | Ω | ∫ Ω T 2 ( x ) d x =: T 2 {\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}

定理の最初の部分は古典的な結果ですが、平均分散は2011年にCarey CaginalpとXinfu Chenによって証明されました。[18] [19] [20]

脱出時間は、小さなゲートを漸近的に小さなパラメータとして用いた多くの研究の対象となってきた。以下の閉じた形の結果[18] [19] [20]は、これらの漸近公式を裏付ける正確な解を与え、必ずしも小さくないゲートにも拡張する。

定理（Carey CaginalpとXinfu Chenの閉式）— 2次元において、複素数で点が識別されると、 Ω := { r e i θ | 0 ≤ r < 1 ,   − ε ≤ θ ≤ 2 π − ε } ,   Γ := { e i θ | | θ | ≤ ε } {\displaystyle \Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\varepsilon \right\},~\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}}

すると、 の平均初回通過時間は、 に対して、次のように与えられる。 T ( z ) {\displaystyle T(z)} z ∈ Ω ¯ {\displaystyle z\in {\bar {\Omega }}} T ( z ) = 1 − | z | 2 2 + 2 log ⁡ | 1 − z + ( 1 − z e − i ε ) ( 1 − z e i ε ) 2 sin ⁡ ε 2 | {\displaystyle T(z)={\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{2}}+2\log {\left|{\frac {1-z+{\sqrt {(1-ze^{-i\varepsilon })(1-ze^{i\varepsilon })}}}{2\sin {\frac {\varepsilon }{2}}}}\right|}}

もう一つの結果は、出口の位置の確率密度に関するものである。[19]

定理（ケアリー・カギナルプとシンフー・チェン確率密度）—粒子が脱出する時の場所の確率密度は次のように与えられる。 j ¯ ( e i θ ) := − 1 2 π ∂ ∂ r T ( e i θ ) = { 0 , if  ε < θ < 2 π − ε 1 2 π cos ⁡ θ 2 sin 2 ⁡ ε 2 − sin 2 ⁡ θ 2 , if  | θ | < ε {\displaystyle {\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T(e^{i\theta })={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}}

つまり、任意の (ボレル集合)について、粒子が原点から出発するか、 内に均一に分布し、 内でブラウン運動を示し、 に当たると反射し、 に当たると脱出し、 から脱出する確率は、におけるの表面要素で あるから 脱出することになります。 γ ⊂ ∂ Ω {\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega } Ω {\displaystyle \Omega } Ω {\displaystyle \Omega } ∂ Ω ∖ Γ {\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } γ {\displaystyle \gamma } P ( γ ) = ∫ γ j ¯ ( y ) d S y {\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}} d S y {\displaystyle dS_{y}} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } y ∈ ∂ Ω {\displaystyle y\in \partial \Omega }

ブラウン運動の脱出のシミュレーション

シミュレーションでは、統計的サンプリングプロセスによるランダム誤差が生じます。この誤差は、中心極限定理を用いて多数のサンプルを用いることで制限できます。また、ブラウン運動を近似する際にステップサイズを有限サイズ近似することによる離散化誤差も生じます。ステップサイズとゲートサイズを変化させた場合の経験的結果を得ることができます。上記の円の特定のケースにおける正確な結果を用いることで、厳密解と数値解を慎重に比較することが可能です。[21] [22]これは、有限ステップと連続拡散の違いを明確に示しています。この問題のシミュレーションでは、出口位置の分布も得られました。

生物学的応用

マイクロドメインにおける確率的化学反応

化学反応の進行速度は、無限媒質中に存在するブラウン運動粒子に対する古典的なスモルホフスキーの式を一般化した狭い脱出時間の逆数である。マルコフ記述は、少数のサイトへの結合と解離を推定するために用いることができる。[23]

参照

参考文献

  1. ^ Schuss, Z.; Singer, A.; Holcman, D. (2007-09-27). 「細胞ミクロドメインにおける拡散の狭き門問題」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 104 (41). Proceedings of the National Academy of Sciences USA: 16098– 16103. Bibcode :2007PNAS..10416098S. doi : 10.1073/pnas.0706599104 . ISSN  0027-8424. PMC 1994903.  PMID 17901203  .
  2. ^ D Holcman、Z Schuss、窮地脱出問題 SIAM Review 56 (2)、213-257 (2014)
  3. ^ Singer, A.; Schuss, Z.; Holcman, D. (2008-11-14). 「ブラウン運動粒子の狭き逃避と漏洩」. Physical Review E. 78 ( 5) 051111. American Physical Society (APS). arXiv : 0808.2288 . Bibcode :2008PhRvE..78e1111S. doi :10.1103/physreve.78.051111. ISSN  1539-3755. PMID  19113099. S2CID  8739640.
  4. ^ MJ Ward、S. Pillay、A. Peirce、T. Kolokolnikov狭き門脱出問題における平均初回通過時間の漸近解析：パートI：2次元領域
  5. ^ Holcman, D; Schuss, Z (2008-04-02). 「小さな吸収窓群を通じた拡散脱出」. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 41 (15) 155001. IOP Publishing. Bibcode :2008JPhA...41o5001H. doi :10.1088/1751-8113/41/15/155001. ISSN  1751-8113. S2CID  4179599.
  6. ^ Holcman, D., & Schuss, Z. (2015). 分子細胞生物学における確率的危機一髪：分析と応用. Springer.
  7. ^ チェヴィアコフ, アレクセイ F.; ウォード, マイケル J.; ストラウブ, ロニー (2010). 「狭き門脱出問題における平均初回通過時間の漸近解析：パートII：球面」.マルチスケールモデリング＆シミュレーション. 8 (3). Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM): 836– 870. doi :10.1137/100782620. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-908F-6 . ISSN  1540-3459.
  8. ^ チェヴィアコフ, アレクセイ F.; ザワダ, ダニエル (2013-04-22). 「単位球面における狭き門問題：均質化限界、多数のトラップの最適配置、そしてN 2予想」. Physical Review E. 87 ( 4) 042118. アメリカ物理学会 (APS). Bibcode :2013PhRvE..87d2118C. doi :10.1103/physreve.87.042118. ISSN  1539-3755. PMID  23679384.
  9. ^ Coombs, Daniel; Straube, Ronny; Ward, Michael (2009). 「局所的トラップを持つ球面上の拡散：平均初通過時間、固有値漸近性、およびフェケテ点」. SIAM Journal on Applied Mathematics . 70 (1). Society for Industrial & Applied Mathematics (SIAM): 302– 332. doi :10.1137/080733280. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-9335-3 . ISSN  0036-1399.
  10. ^ D. Holcman Z. Schuss、「The dire strait time」、SIAMマルチスケールモデリングおよびシミュレーション、10(4)、1204–1231。
  11. ^ Holcman, D; Schuss, Z (2013-06-20). 「細胞生物学における狭い通路と隠れた標的によるフラックス制御」. Reports on Progress in Physics . 76 (7) 074601. IOP Publishing. Bibcode :2013RPPh...76g4601H. doi :10.1088/0034-4885/76/7/074601. ISSN  0034-4885. PMID  23787818. S2CID  2102724.
  12. ^ Holcman, D.; Schuss, Z. (2004). 「小さな開口部からの脱出：シナプス膜における受容体輸送」. Journal of Statistical Physics . 117 ( 5–6 ). Springer Science and Business Media LLC: 975–1014 . Bibcode : 2004JSP ...117..975H. doi :10.1007/s10955-004-5712-8. ISSN  0022-4715. S2CID  6324415.
  13. ^ Singer, A.; Schuss, Z.; Holcman, D.; Eisenberg, RS (2006-01-20). 「Narrow Escape, Part I」. Journal of Statistical Physics . 122 (3). Springer Science and Business Media LLC: 437– 463. arXiv : math-ph/0412048 . Bibcode :2006JSP...122..437S. doi :10.1007/s10955-005-8026-6. ISSN  0022-4715. S2CID  14014727.
  14. ^ Singer, A.; Schuss, Z.; Holcman, D. (2006-01-20). 「危機一髪、パートII：円形ディスク」. Journal of Statistical Physics . 122 (3). Springer Science and Business Media LLC: 465– 489. arXiv : math-ph/0412050 . Bibcode :2006JSP...122..465S. doi :10.1007/s10955-005-8027-5. ISSN  0022-4715. S2CID  15765954.
  15. ^ Singer, A.; Schuss, Z.; Holcman, D. (2006-01-20). 「Narrow Escape, Part III: Non-Smooth Domains and Riemann Surfaces」. Journal of Statistical Physics . 122 (3). Springer Science and Business Media LLC: 491– 509. Bibcode :2006JSP...122..491S. doi :10.1007/s10955-005-8028-4. ISSN  0022-4715. S2CID  12317568.
  16. ^ Z. シュス, 確率微分方程式の理論と応用 (Wiley Series in Probability and Statistics - (1980)
  17. ^ Z. シュス、「確率過程の理論と応用。解析的アプローチ」シリーズ：応用数学科学、第170巻。
  18. ^ ab Caginalp, Carey; Chen, Xinfu (2011-02-01). 「2次元における初脱出時間の解析的および数値的結果」. Comptes Rendus Mathématique . 349 ( 3–4 ): 191– 194. doi :10.1016/j.crma.2010.11.024. ISSN  1631-073X.
  19. ^ abc Chen, Xinfu; Caginalp, Carey (2012-01-01). 「脱出問題に対する解析的および数値的結果」. Archive for Rational Mechanics and Analysis . 203 (1): 329– 342. Bibcode :2012ArRMA.203..329C. doi :10.1007/s00205-011-0455-6. ISSN  1432-0673. S2CID  32394342.
  20. ^ ab Caginalp, Carey (2011).脱出に関する解析的および数値的結果（学士論文）. ピッツバーグ大学.
  21. ^ Hughes, Aoife; Morris, Richard; Tomkins, Melissa (2020-03-31). 「PyEscape: Python用ナローエスケープ問題シミュレータパッケージ」. Journal of Open Source Software . 5 (47): 2072. Bibcode :2020JOSS....5.2072H. doi : 10.21105/joss.02072 . ISSN  2475-9066.
  22. ^ ヒューズ, アオイフェ; フォークナー, クリスティン; モリス, リチャード J.; トムキンス, メリッサ (2021). 「細胞間コミュニケーション：一連の危機一髪の問題」. IEEE Transactions on Molecular, Biological and Multi-Scale Communications . 7 (2): 89– 93. doi : 10.1109/TMBMC.2021.3083719 . ISSN  2332-7804.
  23. ^ Holcman, D.; Schuss, Z. (2005-03-15). 「マイクロドメインにおける確率的化学反応」. The Journal of Chemical Physics . 122 (11). AIP Publishing: 114710. arXiv : math-ph/0412089 . Bibcode :2005JChPh.122k4710H. doi :10.1063/1.1849155. ISSN  0021-9606. PMID  15836246. S2CID  845444.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Narrow_escape_problem&oldid=1321960587"