ナッシュの爆発

代数幾何学において、ナッシュ爆発とは、大まかに言えば、各特異点を非特異点における接空間のすべての極限位置に置き換える処理のことである。より正式には、 をn次元の滑らかな多様体に埋め込まれた純粋次元rの代数多様体とし、を の特異軌跡の補とします。 の接束におけるr平面のグラスマン多様体であるを によってとする写像 を定義します。はにおけるの接空間です。この写像の像の閉包と への射影を合わせたものを のナッシュ爆発と呼びます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\text{reg}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :X_{\text{reg}}\rightarrow X\times G_{r}(TY)}$ ${\displaystyle G_{r}(TY)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (a):=(a,T_{X,a})}$ ${\displaystyle T_{X,a}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

上記の構成では埋め込みを使用していますが、ナッシュ爆発自体は一意の同型性を除いて一意です。

プロパティ

• ナッシュ爆発は局所的にはモノイド変換である。
• X がの消失によって定義される完全な交差である場合、ナッシュ爆発は、 の要素を持つ行列の( n  −  r )-小行列式によって生成されるイデアルによって中心が与えられる爆発です。${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots ,f_{nr}}$ ${\displaystyle \partial f_{i}/\partial x_{j}}$
• 特性ゼロの体上の多様体の場合、 Xが特異でない場合に限り、ナッシュ爆発は同型になります。
• 特性ゼロの代数閉体上の代数曲線の場合、ナッシュ爆発を繰り返すと、有限数のステップの後に特異点化が解消されます。
• 前述の2つの性質は、正の標数においては満たされない可能性がある。例えば、標数q  > 0 において、曲線はナッシュ爆発を持つ。これは、q  = 2 の場合にはイデアル 、 の場合には を中心とするモノイド変換である。中心は超曲面であるため、爆発は同型となる。${\displaystyle y^{2}-x^{q}=0}$ ${\displaystyle (x^{q})}$ ${\displaystyle (y^{2})}$ ${\displaystyle q>2}$

参照

• 爆発する
• 特異点の解決

参考文献

• Nobile, A. (1975)、「ナッシュ爆発のいくつかの性質」、Pacific Journal of Mathematics、60 (1): 297– 305、doi : 10.2140/pjm.1975.60.297、MR  0409462