自然な擬似距離

サイズ理論において、 2つのサイズのペア間の自然擬距離はの値であり、は多様体 から多様体へのすべての同相写像の集合において変化し、 は最大ノルムである。と が同相でない場合、自然擬距離は と定義される。通常、 、は閉多様体であり、測定関数は であると仮定される。言い換えれば、自然擬距離は、 からへの同相写像によって誘導される測定関数の変化の下限を測定する。 ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle (N,\psi :N\to \mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle h\}$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$ ${\displaystyle \infty \}$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$ ${\displaystyle C^{1}\ }$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \ }$ ${\displaystyle C^{1}\ }$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$

自然擬距離の概念は、測定関数がの値を取るサイズのペアに簡単に拡張できます 。^[1]のとき、のすべての同相写像の群は、自然擬距離の定義での部分群に置き換えることができるため、群 に関する自然擬距離の概念が得られます。^{[2] [3]}群に関する自然擬距離の下限と近似は、-不変パーシステントホモロジー^{[4]と、古典的な}パーシステントホモロジーとG 同変非拡大演算子の使用を組み合わせることによって取得できます。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \varphi \ }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ }$ ${\displaystyle M=N\ }$ ${\displaystyle H\}$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle G\}$ ${\displaystyle H\}$ ${\displaystyle G\}$ ${\displaystyle G\}$ ${\displaystyle G}$

主な特性

自然擬距離は、常に、（おそらく同じ測定関数の）2つの臨界値間のユークリッド距離を適切な正の整数 で割った値に等しいことが証明されています^[5] 。と が面の場合、その数は、または と仮定できます。^[6]とが曲線の場合、その数は、またはと仮定できます。^[7] 最適な同相写像が存在する場合（つまり）、 は と仮定できます。^[5]最適な同相写像に関する研究はまだ始まったばかりです^{[8] [9]}${\displaystyle k\}$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$ ${\displaystyle k\}$ ${\displaystyle 1\}$ ${\displaystyle 2\}$ ${\displaystyle 3\}$ ${\displaystyle M\}$ ${\displaystyle N\}$ ${\displaystyle k\}$ ${\displaystyle 1\}$ ${\displaystyle 2\}$ ${\displaystyle {\bar {h}}\ }$ ${\displaystyle \|\varphi -\psi \circ {\bar {h}}\|_{\infty }=\inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle k\}$ ${\displaystyle 1\}$

参照

• フレシェ距離
• サイズ関数
• サイズ関数
• サイズホモトピー群

参考文献

1. Patrizio Frosini、Michele Mulazzani、「自然なサイズ距離の計算のためのサイズホモトピー群」、ベルギー数学会報、6:455-464、1999年。
2. Patrizio Frosini、Grzegorz Jabłoński、「形状比較のための永続ホモロジーと不変性群の組み合わせ」、離散および計算幾何学、55(2):373-409、2016年。
3. Mattia G. Bergomi, Patrizio Frosini, Daniela Giorgi, Nicola Quercioli, Towards a topological-geometrical theory of group equivariant non-expansive operators for data analysis and machine learning , Nature Machine Intelligence , (2019年9月2日). DOI: 10.1038/s42256-019-0087-3 この論文の閲覧専用バージョンへのフルテキストアクセスは、リンク https://rdcu.be/bP6HV でご利用いただけます。
4. Patrizio Frosini、「G不変持続ホモロジー」、応用科学における数学的手法、38(6):1190-1199、2015年。
5. Pietro Donatini、Patrizio Frosini、閉多様体間の自然擬似距離、Forum Mathematicum、16(5):695-715、2004。
6. Pietro Donatini、Patrizio Frosini、「閉曲面間の自然擬距離」、 ヨーロッパ数学会誌、9(2):231–253、2007年。
7. Pietro Donatini、Patrizio Frosini、閉曲線間の自然擬似距離、Forum Mathematicum、21(6):981–999、2009。
8. Andrea Cerri、Barbara Di Fabio、閉曲線間の特定の最適微分同相写像について、Forum Mathematicum、26(6):1611-1628、2014。
9. Alessandro De Gregorio、「リー群に関連する自然擬距離の最適同相写像の集合について」${\displaystyle S^{1}\ }$ 、トポロジーとその応用、229:187-195、2017年。