近くのセット

図1.記述的に非常に近い集合

数学において、近接集合は空間的に近い集合か記述的に近い集合のいずれかです。空間的に近い集合は、空でない交差を持ちます。言い換えれば、空間的に近い集合は、少なくとも1つの共通要素を持つため、互いに素な集合ではありません。記述的に近い集合は、記述が一致する要素を含みます。このような集合は、互いに素な集合にも、互いに素でない集合にもなり得ます。空間的に近い集合は、記述的に近い集合でもあります。

図2.記述的に最小に近い集合

記述的に近い集合の根底にある前提は、そのような集合には位置や、色、出現頻度などの測定可能な特徴を持つ要素が含まれているというものです。集合の要素の記述は、特徴ベクトルによって定義されます。特徴ベクトルの比較は、記述的に近い集合の近さを測定するための基礎となります。近傍集合理論は、集合内の要素を空間的または記述的な近さに基づいて観察、比較、分類するための正式な基礎となります。近傍集合は、画像処理、コンピュータービジョン、工学、科学などの分野で生じる人間の知覚に基づく問題を解決するための枠組みを提供します。

近傍集合は、位相幾何学^[37]、パターン検出と分類^[50]、抽象代数^[51 ] 、コンピュータサイエンスにおける数学[38] 、および画像解析^{[54] [ 14] [46] [17] [18]、画像処理[40]、顔認識[13]、動物行動学[64]などの分野で生じる人間の知覚に基づくさまざまな問題[42] [82] [} 47 ] ^[ 52 ^{] [ 56 ]の解決、}さらには工学および科学の問題^{[55] [} 64 ^{] [42 ] [19] [17] [18]}などの分野でさまざまな応用があります。記述的に近い集合は当初から、位相幾何学^[37]や視覚パターン認識^[50]の応用において有用であることが証明されており、カモフラージュ検出、微小古生物学、手書き偽造検出、生物医学画像分析、コンテンツベースの画像検索、個体群動態、商位相幾何学、繊維デザイン、ビジュアルマーチャンダイジング、位相心理学など、幅広い応用分野にわたっています。

2つの集合間の記述的近似度合いの例として、ヘンリー色彩モデルの例を考えてみましょう。このモデルは、画像内の画素集合間の様々な近似度合いを表します（例えば、^[17] §4.3を参照）。図1と図2の2組の楕円は、それぞれ色付きの線分で構成されています。図中の各線分は、クラス内のすべてのピクセルが類似した記述、つまり類似した色を持つ画素を持つ同値類に対応しています。図1の楕円は、図2の楕円よりも記述的に互いに近い位置にあります。

歴史

近接という単純な概念が位相構造の様々な概念を統合することが観察されている^{[20] 。}すなわち、すべての近接空間と近接保存写像のカテゴリ Near には、カテゴリsTop (対称位相空間と連続写像^[3] )、Prox (近接空間と-写像^{[8] [67]} )、Unif (一様空間と一様連続写像^{[81] [77]} )、Cont (隣接空間と隣接写像^[24] ) が埋め込まれた完全なサブカテゴリとして含まれる^{[20] [59]}。カテゴリとが、対称位相空間と連続写像のカテゴリや、拡張距離空間と非拡大写像のカテゴリなど、さまざまなよく知られたカテゴリの完全なスーパーカテゴリであることが示されている。表記はカテゴリがカテゴリ に埋め込まれていると読みます。カテゴリとカテゴリは、図3に示されているさまざまなよく知られたカテゴリ^[76]のスーパーカテゴリです。すべての-接近近接空間と収縮のカテゴリを表し、すべての-接近メロトピック空間と収縮のカテゴリを表すものとします。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AMer}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\hookrightarrow {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AMer}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon ANear}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AMer}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

図3.スーパーキャット

これらのよく知られたカテゴリには、対称形式である（位相空間のカテゴリを参照）、位相空間であるオブジェクトとそれらの間の連続写像である射を持つカテゴリ^{[1] [32]}があります。拡張距離空間であるオブジェクトを持つ は、（接近空間と縮約をオブジェクトとして持つ）のサブカテゴリです（ ^{[57] [75]}も参照）。 をそれぞれ空でない集合 上の拡張擬計量とします。写像が縮約となるのは、 が縮約となるときのみです。空でない部分集合 に対して、距離関数は次のように定義されます 。${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Top}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AP}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \rho _{X},\rho _{Y}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$ ${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$ ${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$ ${\displaystyle D_{\rho }:2^{X}\times 2^{X}\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{\rho }(A,B)={\begin{cases}\inf {\{\rho (a,b):a\in A,b\in B\}},&{\text{if }}A{\text{ and }}B{\text{ are not empty}},\\\infty ,&{\text{if }}A{\text{ or }}B{\text{ is empty}}.\end{cases}}}$

したがって、APは、およびによって定義される関数によって、完全なサブカテゴリとして埋め込まれます。すると、が縮約である場合に限り、が縮約となります。したがって、は、およびによって定義される関数によって、完全なサブカテゴリとして埋め込まれます。拡張された距離空間と非拡大写像のカテゴリは、の完全なサブカテゴリであるため、は、の完全なスーパーカテゴリでもあります。カテゴリは位相的な構成概念です^[76]。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$ ${\displaystyle F(f)=f}$ ${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$ ${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$ ${\displaystyle F(f)=f.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$

図 4. フリゲス・リース、1880 ～ 1956 年

数学における「近い」と「遠い」の概念^[A]は、ヨハン・ベネディクト・リスティングとフェリックス・ハウスドルフの研究に遡ることができます。類似性と相似性という関連する概念は、 JHポアンカレに遡ることができます。彼は、GTフェヒナーの感覚感受性実験^[10]の結果を表すために類似した感覚の集合（新生許容クラス）を導入し、代表空間における類似性を研究するための枠組みを、彼が物理的連続体^{[63] [60] [61]}と呼ぶもののモデルとして導入しました。物理的連続体（pc）の要素は感覚の集合です。 pc の概念とさまざまな代表的空間 (触覚、視覚、運動空間) は、1894 年の数学的連続体に関する論文^[63]、1895 年の空間と幾何学に関する論文^[60]、および 1902 年の科学と仮説に関する包括的な本^[61]でポアンカレによって導入され、その後、たとえば^[62]などの多くの詳細化が行われました。1893 年と 1895 年の連続体に関する論文 (Pt. 1、ch. II) と代表的空間と幾何学 (Pt. 2、ch IV) は、^[61]に章として含まれています。その後、F. Riesz が 1908 年の国際数学者会議(ICM)で集合のペアの近接性の概念を導入しました^[65]。

1960年代に、EC Zeeman は視覚知覚をモデル化する許容空間を導入した^[83]。AB Sossinsky は1986年に^{[71] 、}許容空間理論の根底にある主要なアイデアはポアンカレ、特に^[60]に由来すると観察した。2002年に、Z. Pawlak と J. Peters ^[B]は雪片などの物理的オブジェクトの近さの知覚に対して、空間的な近さに限定されない非公式なアプローチを検討した。2006年に、オブジェクトの記述的近さに対する形式的なアプローチが近接空間のコンテキストでJ. Peters、A. Skowron、J. Stepaniuk ^{[C]によって検討された[39] [33] [35] [21] 。2007年に、J. Peters [D] [E]}によって記述的に近い集合が導入され、続いて許容近傍集合が導入された^{[41] [45]}。近年、記述的に近い集合の研究により、そのような集合の代数的^{[22] [51]}、位相的、近接空間的^[37]の基礎が生み出されました。

集合の近さ

近似集合の文脈における形容詞「近い」は、異なるオブジェクトの観測された特徴値の差が、区別できないほど小さい、つまりある程度の許容範囲内で あるという事実を表すために使用されます

近さや「類似性」、あるいは「許容範囲内にある」という概念は、ほぼあらゆる数学的状況においてごく自然に現れるほど普遍的である（例えば、^[66]を参照）。これは特に数学の応用において自然である。実際的な問題では、多くの場合、近似的な入力データが扱われ、許容可能なレベルの誤差を伴う実行可能な結果のみが求められる^[71]。

近い、遠いという言葉は日常生活で使われており、これらの直感的な概念を厳密なものにすることはF. リース^[65]の鋭い示唆であった。リースは 1908 年にローマの国際数学者会議 (ICM) で集合のペアの近接性の概念を導入した。この概念は微積分学や高度な微積分の教え方を簡素化するために役立つ。たとえば、ある点における関数の連続性の直感的な定義から厳密なイプシロン-デルタ定義への移行は、教師が説明し、生徒が理解するのが難しい場合がある。直感的には、近接性言語を使用して連続性を説明できる。つまり、近くの点が近くの点に入る限り、関数は点 で連続である。リースの考えを使用すると、この定義をより正確にすることができ、その対偶はよく知られている定義である^{[4] [36]}。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{f(x)\}}$ ${\displaystyle f(c)}$

集合積の一般化

空間的な観点から見ると、近さ（近接性）は集合の交差の一般化とみなされます。互いに素な集合の場合、集合の交差における近さの形態は、ある許容範囲内で類似した特徴を持つオブジェクト（素な集合から抽出された）の集合によって定義されます（例えば、 ^[80]の§3を参照）。例えば、図1の楕円は互いに近いとみなされます。なぜなら、これらの楕円には、類似した（視覚的に区別できない）色を表示するクラスのペアが含まれているからです。

エフレモビッチ近接空間

は1つ以上の近接関係を持つ計量位相空間を表し、は のすべての部分集合の集合を表すものとします。 この集合はの冪集合と呼ばれます${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X}$

位相空間上のエフレモビッチ近接を定義する方法は数多くある（離散近接、標準近接、計量近接、チェフ近接、アレクサンドロフ近接、フロイデンタール近接）。詳細については、^[6]の§ 2、93–94 ページを参照のこと。ここでは位相空間上の標準近接に焦点を当てる。 の場合、閉包が共通点を共有する限り、 は近い（ と表記される）。${\displaystyle A,B\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ \delta \ B}$

部分集合の閉包（ と表記）は、§ 4、p. 20 ^[27]で導入された集合^[F]の通常のクラトフスキー閉包であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle A\in 2^{X}}$ ${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{cl}}(A)&=\left\{x\in X:D(x,A)=0\right\},\ {\mbox{where}}\\D(x,A)&=\inf \left\{d(x,a):a\in A\right\}.\end{aligned}}}$

すなわち、は に近いすべての点の集合である（はハウスドルフ距離（ ^[15]の§22、p.128を参照）と集合および（標準距離）の間の距離である）。標準 近接関係は次のように定義される 。${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D(x,A)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d(x,a)=\left|x-a\right|}$

${\displaystyle \delta =\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\ \cap \ {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

集合とに共通点がない場合は、それらの集合は互いに離れています ( と表記)。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}\ B}$

次のEF近接^[G]空間公理は、 1930年代前半にVadim Arsenyevič Efremovičによって導入された^[8]に基づいて、 Jurij Michailov Smirnovによって与えられた。${\displaystyle A,B,E\in 2^{X}}$

EF.1

集合が に近い場合、はに近いです${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

EF.2

${\displaystyle A\cup B}$ がに近い場合、かつその場合のみ、集合または の少なくとも1つがに近い${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

EF.3

2点が近いとは、それらが同じ点である場合に限ります。

EF.4

すべての集合は空集合からは程遠い。${\displaystyle \emptyset }$

EF.5

互いに離れている任意の2つの集合 と に対して、 、 が存在し、は から離れており、はから離れている（エフレーモヴィチ公理）。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$ ${\displaystyle C\cup D=X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$

この対はEF-近接空間と呼ばれます。この文脈において、空間とは何らかの構造が付加された集合です。近接空間において、 の構造はEF-近接関係 によって誘導されます。近接空間において、におけるの閉包は、を含むすべての閉集合の共通部分と一致します。 ${\displaystyle (X,\delta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$

定理1 ^[67]

近接空間内の任意の集合の閉包は、に近い点の集合です。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$

EF公理の可視化

図5.集合間の記述的EF近接関係の例${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C^{c}}$

集合 を図5の長方形領域内の点によって表すものとします。また、 を図5に示すように、内の任意の2つの非交差部分集合（すなわち、空間的に互いに離れた部分集合）とします。 （集合 の補集合）とします。EF公理から、以下が成り立ちます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{c}=X\backslash C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}\mathrel {\underline {\delta }} B,\\B&\subset C,\\D&=C^{c},\\X&=D\cup C,\\A&\subset D,\ {\mbox{hence, we can write}}\\A\ {\underline {\delta }}\ B\ &\Rightarrow \ A\ {\underline {\delta }}\ C\ {\mbox{and}}\ B\ {\underline {\delta }}\ D,\ {\mbox{for some}}\ C,D\ {\mbox{in}}\ X{\mbox{ so that }}C\cup D=X.\qquad \blacksquare \end{aligned}}}$

記述的近接空間

記述的に近い集合は、互いに類似した互いに素な集合から生じる分類およびパターン認識問題を解決する手段として導入された。^{[44] [43]} 最近では、EF空間の近い集合と記述的EF近接空間の近い集合の関係が研究されている。^{[53] [48]}

ここでも、 を計量位相空間とし、各 の特徴を表すプローブ関数の集合とします。ここでの仮定は、 には勾配方向などの測定可能な特徴を持つ非抽象点が含まれるというものです。非抽象点は、位置と測定可能な特徴を持ちます（^[26]の§ 3 を参照）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi =\left\{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\right\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$

プローブ関数は 、 n次元実ユークリッドベクトル空間におけるサンプル点の特徴を表す。この写像はによって定義される。ここで、 はn次元実ユークリッドベクトル空間である。 は の特徴ベクトルであり、 を記述する。例えば、これはデジタル画像における画像点集合の近似図となる。^[48]${\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Phi :X\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Phi (x)=(\phi _{1}(x),\dots ,\phi _{n}(x))}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

記述的近接関係（ と表記）を得るには、まずプローブ関数の集合を選択する。を のサブセットからのサブセットへの写像とする。例えば、 とをそれぞれ内の点の記述集合とする。つまり、 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}:2^{X}\longrightarrow 2^{R^{n}}}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle 2^{R^{n}}}$ ${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A),{\mathcal {Q}}(B)}$ ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Q}}(A)&=\left\{\Phi (a):a\in A\right\},\\{\mathcal {Q}}(B)&=\left\{\Phi (b):b\in B\right\}.\end{aligned}}}$

という表現は、記述的に に近い と解釈されます。同様に、は記述的に から遠い と解釈されます。 と の記述的近接性は次のように定義されます。 ${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B\Leftrightarrow {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(B))\neq \emptyset .}$

と の記述的共通部分 は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathop {\cap } _{\Phi }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B=\left\{x\in A\cup B:{\mathcal {Q}}(A)\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}(B)\right\}.}$

つまり、は の中にあり、何らかの が与えられます。 と は互いに素でありながら空でない可能性があることに注意してください。 ${\displaystyle x\in A\cup B}$ ${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$ ${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)=\Phi (b)}$ ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$

記述的近接関係は次のように定義される。 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle \delta _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

集合 と に記述が一致する点がない場合は、それらの集合は記述的に互いに離れています ( で示されます)。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B}$

2 項関係 は、に対して次の公理が満たされている場合、記述的な EF 近接性です。 ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle A,B,E\subset X}$

dEF.1

集合が記述的に に近い場合、は記述的にに近い${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

dEF.2

${\displaystyle A\cup B}$ が に記述的に近い場合、かつその場合のみ、集合の少なくとも1つまたはが に記述的に近い${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

dEF.3

2点が記述的に近いとは、 の記述が の記述と一致する場合のみである${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

dEF.4

すべての空でない集合は、記述的には空集合から遠いです。${\displaystyle \emptyset }$

dEF.5

互いに記述的に離れている任意の2つの集合 と に対して、 、 が存在し、はから記述的に離れており、は から記述的に離れている（記述的エフレモビッチ公理）。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$ ${\displaystyle C\cup D=X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$

このペアは記述的近接空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,\delta _{\Phi })}$

近接関係子空間

関係子とは、空でない集合^[72]上の関係の空でない族である 。その対（ とも表記される）は関係子空間と呼ばれる。関係子空間は、順序付き集合と一様空間の自然な一般化である。^{[73] [74]}上の近接関係の族を導入することにより、近接関係子空間が得られる。簡単のため、記述関係子を定義する際には、エフレモビッチ近接^[8]と記述近接の2つの近接関係のみを考慮する。^{[53] [48]}この対は近接関係子空間^[49]と呼ばれる。本研究では、は近接関係子内の関係が備わった計量位相空間を表す。 の導入により、部分集合の伝統的な閉包（例えば、^{[9] [7]}）を、より最近の部分集合の記述閉包と比較することができる ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle X({\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta })}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$

近接関係空間において、集合（ と表記）の記述閉包は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)=\left\{x\in X:{\Phi (x)}\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\right\}.}$

つまり、の閉包と の閉包には少なくとも 1 つの共通要素がある 場合、は の記述閉包内にあります。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))}$

定理2 ^[50]

記述的 EF 近接空間内の任意のセットの記述的閉包は、記述的に近い点の集合です。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$

定理3 ^[50]

集合の Kratowski 閉包は、記述的 EF 近接空間におけるの記述的閉包のサブセットです。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

定理4 ^[49]

を近似関係空間とします。すると、 となります。${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

証明

ある に対して となるような とします。したがって、となります。したがって、${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(X\setminus {\mbox{cl}}(A))}$ ${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)}$ ${\displaystyle a\in {\mbox{cl}}A}$ ${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}_{\Phi }(A))}$ ${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

近接関係空間では、EF 近接性により記述的近接性について次の結果が得られます。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

定理5 ^[49]

を近似関係空間とする。すると、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$ ${\displaystyle A,B,C\subset X}$

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\ {\mbox{implies}}\ A\ \delta _{\Phi }\ B}$ 。

2°

${\displaystyle (A\cup B)\ \delta \ C\ {\mbox{implies}}\ (A\cup B)\ \delta _{\Phi }\ C}$ 。

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B\ {\mbox{implies}}\ {\mbox{cl}}A\ \delta _{\Phi }\ {\mbox{cl}}B}$ 。

証明

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset }$ 。 および。したがって、${\displaystyle x\in A\cap B,\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(A)}$ ${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(B)}$ ${\displaystyle A\ \delta _{\Phi }\ B}$

1° ⇒ 2°

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B}$ は、 とが少なくとも1つの共通点を持つことを意味します。したがって、1° ⇒ 3° となります。${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$ ${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$

${\displaystyle \qquad \blacksquare }$

記述的𝛿-近傍

図6. -近傍を描いた例${\displaystyle \delta }$

擬似計量近似関係空間において、点（ と表記）の近傍は、 に対して、 で定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N_{x,\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle N_{x,\varepsilon }=\left\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon \right\}.}$

近接関係空間における集合の内部（ と表記）と境界（ と表記）は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mbox{int}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mbox{bdy}}(A)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{int}}(A)&=\left\{x\in X:N_{x,\varepsilon }\subseteq A\right\}.\\{\mbox{bdy}}(A)&={\mbox{cl}}(A)\setminus {\mbox{int}}(A).\end{aligned}}}$

集合は、 ^（と表記^）に関連付けられた集合に自然に強い包含を持つ。ただし、 が成り立つこと、すなわち、（の補集合から遠いこと）。同様に、集合は、 （ と表記）に関連付けられた集合に記述的に強い包含を持つ。ただし、 が成り立つこと、すなわち、（の補集合から遠いこと）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A\ll _{\delta }B}$ ${\displaystyle A\subset {\mbox{int}}(B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\underline {\delta }} X\setminus {\mbox{int}}(B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mbox{int}}(B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)\subset \ {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))}$ ${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ X\setminus {\mbox{int}}(B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)}$ ${\displaystyle {\mbox{int}}B}$

を次のように定義される記述的-近傍関係 とする。${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mathcal {Q}}(A)\subset {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))\right\}.}$

つまり、各 の記述が点 の記述の集合に含まれていると仮定する。ここで、 が隣接関係空間にある場合、任意の は互いに素な-近傍を持つ、すなわち、 ${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in {\mbox{int}}(B)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$ ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B\Leftrightarrow A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E1,B\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E2,\ {\mbox{for some}}\ E1,E2\subset X\ {\mbox{(See Fig. 6).}}}$

定理6 ^[50]

記述的に互いに離れている任意の 2 つの集合は、記述的近接空間内の互いに素な記述的近傍に属します。${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle X}$

空でない集合が他の集合に強く包含されるという考察は、ヒットアンドミス位相とウィズマン位相の研究につながる。^[2]

許容近傍集合

を0より大きい実数とする。ある許容範囲内で近接的に近い集合の研究において、近接関係の集合は、擬似距離的許容近傍関係（ と表記）によって拡張され、次のように定義される ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$ ${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\Phi }(A,B)&=\inf \left\{d(\Phi (a),\Phi (a)):\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(A),\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(B)\right\},\\d(\Phi (a),\Phi (a))&=\mathop {\sum } _{i=1}^{n}|\phi _{i}(a)-\phi _{i}(b)|,\\\delta _{\Phi ,\varepsilon }&=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:|D({\mbox{cl}}(A),{\mbox{cl}}(B))|<\varepsilon \right\}.\end{aligned}}}$

とする。言い換えれば、近接関係子を備えた空でない集合は、近接関係子によって提供される基礎構造を持ち、ある許容範囲内で近接する における許容近傍集合の研究の基礎を提供する。記述的擬似計量近接関係子空間内の集合は、 という条件を満たす許容近傍集合（すなわち）である。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}={\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}\cup \left\{\delta _{\Phi ,\varepsilon }\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$ ${\displaystyle A\ \delta _{\Phi ,\varepsilon }\ B}$

${\displaystyle D_{\Phi }(A,B)<\varepsilon .}$

寛容クラスとプレクラス

^{ポアンカレ[62]}によって考えられた感覚の相似関係と同じ形式的性質を持つ関係は、今日ではゼーマン^[83]にならって、許容関係と呼ばれています。集合 上の許容${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle O}$ 関係は、反射的かつ対称的な関係です。代数学では、許容関係という用語は、狭義にも、与えられた代数の操作とも互換性のある代数の宇宙上で定義された反射的かつ対称的な関係を表すために使用されます。つまり、それらは合同関係の一般化です (例えば、^[12]を参照)。このような関係に言及する際に、代数的許容関係または 代数的許容関係 という用語が使用されます。推移的許容関係は同値関係です。許容関係を伴う集合は、許容空間( と表記)と呼ばれます。集合 が-前クラス( が理解されている場合は簡単に前クラス) である場合と、任意の に対して である場合に限ります。 ${\displaystyle \tau \subseteq O\times O}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (O,\tau )}$ ${\displaystyle A\subseteq O}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x,y\in A}$ ${\displaystyle (x,y)\in \tau }$

許容空間のすべての前類の族は自然に集合包含によって順序付けられ、集合包含に関して最大​​の前類は-類、あるいは が理解される場合には単に類と呼ばれる。空間のすべての類の族は特に興味深く、 と表記される。この族は^[58]の被覆である。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (O,\tau )}$ ${\displaystyle H_{\tau }(O)}$ ${\displaystyle H_{\tau }(O)}$ ${\displaystyle O}$

ポアンカレとゼーマンによる相似性に関する研究は、近傍集合^{[44] [43]}や相似関係に関する研究（例えば[ ^{79] ）}の導入を予感させるものであった。科学と工学において、許容近傍集合はある許容範囲内で近い集合の研究の実際的な応用である。許容範囲は、対象を比較する際の近さや類似性（すなわち、ある許容範囲内にあること）という概念に直接関係している。視覚空間を定義するポアンカレのアプローチと許容関係に対するゼーマンのアプローチを応用した基本的な考え方は、デジタル画像内部の画像パッチなどの対象を比較するというものである。 ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

例

簡単な例

次の簡単な例は、実際のデータから許容範囲クラスを構築する方法を示しています。下の表にある20個のオブジェクトを考えてみましょう ${\displaystyle |\Phi |=1}$

サンプル知覚システム

${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle \phi (x)}$	${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle \phi (x)}$	${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle \phi (x)}$	${\displaystyle x_{i}}$	${\displaystyle \phi (x)}$
${\displaystyle x_{1}}$	.4518	${\displaystyle x_{6}}$	.6943	${\displaystyle x_{11}}$	.4002	${\displaystyle x_{16}}$	.6079
${\displaystyle x_{2}}$	.9166	${\displaystyle x_{7}}$	.9246	${\displaystyle x_{12}}$	.1910	${\displaystyle x_{17}}$	.1869
${\displaystyle x_{3}}$	.1398	${\displaystyle x_{8}}$	.3537	${\displaystyle x_{13}}$	.7476	${\displaystyle x_{18}}$	.8489
${\displaystyle x_{4}}$	.7972	${\displaystyle x_{9}}$	.4722	${\displaystyle x_{14}}$	.4990	${\displaystyle x_{19}}$	.9170
${\displaystyle x_{5}}$	.6281	${\displaystyle x_{10}}$	.4523	${\displaystyle x_{15}}$	.6289	${\displaystyle x_{20}}$	.7143

許容関係を次のように定義 する

${\displaystyle \cong _{\varepsilon }{}\Leftrightarrow \{(x,y)\in O\times O:\;\parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{_{2}}\leq \varepsilon \}}$

次に、設定により次の許容クラスが与えられます。 ${\displaystyle \varepsilon =0.1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\cong _{\varepsilon }}(O)={}&\{\{x_{1},x_{8},x_{10},x_{11}\},\{x_{1},x_{9},x_{10},x_{11},x_{14}\},\\&\{x_{2},x_{7},x_{18},x_{19}\},\\&\{x_{3},x_{12},x_{17}\},\\&\{x_{4},x_{13},x_{20}\},\{x_{4},x_{18}\},\\&\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{16}\},\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{20}\},\\&\{x_{6},x_{13},x_{20}\}\}.\end{aligned}}}$

許容クラス内の各オブジェクトは条件 を満たし、ほぼすべてのオブジェクトが複数のクラスに出現することに注意してください。さらに、識別不能関係を用いると、記述が一致する2つのオブジェクトは存在しないため、クラスは20になります。 ${\displaystyle \parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{2}\leq \varepsilon }$

画像処理の例

図7.互いに近接した画像の例。(a)および(b)は無料で入手可能なLeavesDatasetからの画像（例えば、www.vision.caltech.edu/archive.htmlを参照）。

以下の例は、デジタル画像に基づく例を示します。サブイメージは、デジタル画像に属するピクセルの小さなサブセットとして定義され、サブイメージに含まれるピクセルは正方形を形成します。次に、セットとがそれぞれ 2 つの異なる画像から取得されたサブイメージを表すものとし、とします。最後に、オブジェクトの記述がRGB カラーモデルの緑の要素によって与えられるものとします。次のステップは、前の例で定義した許容関係を使用して、すべての許容等級を見つけることです。この情報を使用すると、RGB カラーモデルの緑の要素の値が類似している (ある程度の小さな 以内) オブジェクトを含む許容等級を形成できます。さらに、互いに近い (類似している) 画像の場合、許容等級は両方の画像に分割される必要があります (許容等級が 1 つの画像にのみ含まれるのではなく)。たとえば、この例に添付されている図は、2 枚の葉の画像から取得された許容等級のサブセットを示しています。この図では、各許容等級に別々の色が割り当てられています。ご覧のとおり、2 枚の葉は同様の許容等級を共有しています。この例では、2 つのセットの近さの度合いを測定する必要があることがわかります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O=\{X\cup Y\}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

近接測度

近接関係と空でない部分集合、そしてプローブの集合とによって定義された許容関係を備えた、特定の記述的擬似距離EF近接関係空間を とすると、ここ で${\displaystyle (U,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$ ${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle X,Y\in 2^{U}}$ ${\displaystyle \cong _{\Phi ,\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

図 8. 2 つのセット間の近接度の例: (a) 近接度が高い場合、(b) 近接度が低い場合。

${\displaystyle \simeq _{\Phi ,\varepsilon }=\{(x,y)\in U\times U\mid \ |\Phi (x)-\Phi (y)|\leq \varepsilon \}.}$

さらに、 を仮定し、 が空間内のすべてのクラスの族を表すものとします。 ${\displaystyle Z=X\cup Y}$ ${\displaystyle H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}$ ${\displaystyle (Z,\simeq _{\Phi ,\varepsilon })}$

とします。距離は次のように定義されます 。${\displaystyle A\subseteq X,B\subseteq Y}$ ${\displaystyle D_{_{tNM}}:2^{U}\times 2^{U}:\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{_{tNM}}(X,Y)={\begin{cases}1-tNM(A,B),&{\mbox{if }}X{\mbox{ and }}Y{\mbox{ are not empty}},\\\infty ,&{\mbox{if }}X{\mbox{ or }}Y{\mbox{ is empty}},\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle tNM(A,B)={\Biggl (}\sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\Biggr )}^{-1}\cdot \sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\frac {\min(|C\cap A|,|[C\cap B|)}{\max(|C\cap A|,|C\cap B|)}}.}$

に関する詳細は^{[14] [16] [17]}に記載されています。背後にある考え方は、類似したセットは各許容クラス内のオブジェクトの数が類似している必要があるというものです。したがって、 の被覆から得られた各許容クラスについて、はおよびに属するオブジェクトの数を数え、それらの基数の比率を（適切な分数として）取ります。さらに、各比率は許容クラスの合計サイズによって重み付けされ（したがって、より大きなクラスが重要になります）、最終結果はすべての基数の合計で割ることで正規化されます。 の範囲は[0,1] の区間にあり、セットが（オブジェクトの説明に基づいて）同等である場合は値 1 が得られ、共通の説明がない場合は値 0 が得られます。 ${\displaystyle tNM}$ ${\displaystyle tNM}$ ${\displaystyle Z=X\cup Y}$ ${\displaystyle tNM}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle tNM}$

2つの集合間の近さの度合いの例として、下の図を考えてみましょう。この図では、各画像が2つのオブジェクト集合（と）で構成されています。図中の各色は、そのクラス内のすべてのオブジェクトが同じ説明を共有する集合に対応しています。この考え方の背景にあるのは、知覚システムにおける集合の近さは、それらが共有する許容クラスの濃度に基づいているということです。したがって、図の左側の集合は、説明の観点から、図の右側の集合よりも互いに近い（より近い）と言えます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle tNM}$

近似集合評価・認識（NEAR）システム

図 9. NEAR システムの GUI。

近距離集合評価・認識（NEAR）システムは、近距離集合理論を画像セグメンテーション評価と画像対応の問題に実用的に応用できることを実証するために開発されたシステムです。このシステムは、研究成果を提供し、近距離集合理論への関心を高めることができる、無料で利用できるソフトウェアツールの必要性から開発されました。このシステムは、各処理タスクがそれぞれの子フレームで実行されるマルチドキュメントインターフェース（MDI）を実装しています。このシステムにおけるオブジェクト（近距離集合の意味での）は、処理対象画像のサブイメージであり、プローブ関数（特徴）はサブイメージ上で定義された画像処理関数です。このシステムはC++で記述されており、新しい処理タスクとプローブ関数の追加を容易にするように設計されています。現在、このシステムは、画像の同値クラスと許容クラスの表示、セグメンテーション評価の実行、2つの画像の近接性の測定、コンテンツベース画像検索（CBIR）の実行、特定のプローブ関数を用いた画像処理の出力の表示という、6つの主要タスクを実行しています。

近接システム

図10.近接システム

近接システムは、デジタル画像分析のコンテキスト内での近接性と近さに対する記述ベースの位相的アプローチを実証するために開発されたアプリケーションです。近接システムは、位相空間に関する S. Naimpally と J. Peters の研究から生まれました。近接システムは Java で記述されており、2 つの異なるオペレーティング環境、つまり Android スマートフォンとタブレット、および Java 仮想マシンを実行するデスクトップ プラットフォームで実行することを目的としています。デスクトップ環境に関しては、近接システムは、Windows、OSX、および Linux システム用のクロスプラットフォーム Java アプリケーションであり、Sun Java 6 ランタイムを使用して Windows 7 および Debian Linux でテストされています。理論的アプローチの実装に関しては、Android ベース アプリケーションとデスクトップ ベース アプリケーションの両方で、記述ベースの計算を実行するために同じバックエンド ライブラリが使用されています。唯一の違いはユーザー インターフェイスであり、Android バージョンではシステム リソースの制限により利用できる機能が少なくなっています。

参照

• 代替集合論
• カテゴリ：数学的関係
• カテゴリ：位相幾何学
• 特徴ベクトル
• 近接空間
• ラフ集合
• 位相幾何学

注釈

1. JRイズベルは、一様空間において「近い」と「遠い」という概念が重要であると指摘した。集合は、離散集合である限り、遠い（一様的に遠い）集合である。空でない集合は、集合の補集合が集合から遠い限り、集合の一様近傍である。 ^[23]の§33を参照。${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$
2. 記述的に近い集合の発見につながった直感は、Pawlak, Z.;Peters, JF (2002, 2007)「Jak blisko (How Near)」に示されています。Systemy Wspomagania Decyzji I 57 (109)
3. 記述的に近い集合は^[48]で導入されている。従来のEF近接性と記述的EF近接性の関係については^[37]で検討されている。
4. M. Pavelのアプローチを彷彿とさせるように、集合オブジェクトのメンバーの記述は、プローブと呼ばれる実数値関数から得られる値のベクトルを基準として定義されます。画像レジストレーションの文脈で考察されるプローブ関数の導入については、Pavel, M. (1993). Fundamentals of pattern recognition . 2nd ed. New York: Marcel Dekker を参照してください。
5. 近接集合の非空間的な見方は、CJ Mozzochi、MS Gagrat、およびSA Naimpallyの「対称一般化位相構造」（Exposition Press、Hicksville、NY、1976年）に示されています。さらに最近では、素集合と近接集合の近さが、要素のペア間の類似性に基づいています（つまり、とには類似した特徴ベクトルとノルムがあります） 。例えば、^{[43] [42] [53]}を参照してください。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X,y\in Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\phi (x)}},{\boldsymbol {\phi (y)}}}$ ${\displaystyle \parallel {\boldsymbol {\phi (x)}}-{\boldsymbol {\phi (y)}}\parallel _{_{p}}<\varepsilon }$
6. 集合の閉包に関する基本的な事実は、M.フレシェ^[11]によって最初に指摘され、B.クナスターとC.クラトフスキー^[25]によって詳しく述べられました。
7. 1970年代までは、近接性とはEF近接性を意味していたことに注意してください。これは、集中的に研究されていたEF近接性です。1970年以前の近接空間に関する研究は、1950年代前半のJM Smirnovによる一連の論文^{[68] [67] [69] [70]}に例示され、SA NaimpallyとBD Warrackによる包括的な研究成果集^[34]に至っています。しかし、その後の発展を考慮すると、様々な近接性を区別する必要があります。基本的な近接性、すなわちČech近接性は、1930年代後半にE. Čechによって導入されました（ ^[78]の§25 A.1、439-440ページを参照）。近接性に対する非対称ケースの条件はS. Leader ^[28]によって導入され、対称ケースの条件はMW Lodato ^{[29] [30] [31]}によって導入されました。

参考文献

1. アダメック、J.；ヘルリッヒ、H.；ストレッカー、GE（1990）『抽象カテゴリーと具象カテゴリー』ロンドン：ワイリー・インターサイエンス、pp. ix+482
2. Beer, G. (1993).閉集合および閉凸集合上の位相. ロンドン, イギリス: Kluwer Academic Pub.
3. Bentley, HL; Colebunders, E.; Vandermissen, E. (2009). 「完備化と関数空間のための便利な設定」 Mynard, F.; Pearl, E. (編). 『位相を超えて』 . 現代数学. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp.  37– 88.
4. Cameron, P.; Hockingand, JG; Naimpally, SA (1974). 「近似性 ― 連続性と極限へのより良いアプローチ」American Mathematical Monthly . 81 (7): 739– 745. doi :10.2307/2319561. JSTOR  2319561.
5. Di Concilio, A. (2008). 「動作、均一性、近接性」 Naimpally, SA; Di Maio, G. (編).近接性、近さ、均一性の理論と応用ナポリ第二大学、ナポリ: Prentice-Hall. pp.  71– 88.
6. ディ・コンシリオ、アンナ (2009). 「近接性：拡張理論、関数空間、超空間、ブール代数、点自由幾何学における強力なツール」.位相を超えて. 現代数学. 第486巻. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. pp.  89– 114. doi :10.1090/conm/486/09508. ISBN 9780821842799 MR  2521943
7. Devi, R.; Selvakumar, A.; Vigneshwaran, M. (2010). 「位相空間における -一般化半閉集合」. Filomat . 24 (1): 97– 100. CiteSeerX 10.1.1.430.5991 . doi :10.2298/fil1001097d.${\displaystyle (I,\gamma )}$  
8. バージニア州エフレモヴィッチ（1952年）。 「近接幾何学 I (ロシア語)」。マテマチェスキー・スボルニク。ノヴァヤ・セリヤ。 31(73) (1): 189–200 .
9. Peters, JF (2008). 「a-開集合とe∗{\displaystyle ^{*}}-集合に関する注記」. Filomat . 22 (1): 89–96 . doi : 10.2298/ FIL0801087E
10. フェヒナー, GT (1966). 『精神物理学要綱』第1巻. ロンドン, イギリス: ホールド, ライナーハート & ウィンストン. pp. HE アドラー訳『精神物理学要綱』1860年.
11. フレシェ、M. (1906)。 「計算機能を使用するポイント」。レンド。円マット。パレルモ。22 : 1– 74。土井:10.1007/bf03018603。hdl : 10338.dmlcz/100655。S2CID  123251660。
12. Grätzer, G.; Wenzel, GH (1989). 「許容差、被覆システム、そして選択公理」. Archivum Mathematicum . 25 ( 1–2 ): 27– 34.
13. Gupta, S.; Patnaik, K. (2008). 「顔の特徴を選択するための近傍集合アプローチを用いた顔認識システムの性能向上」.理論・応用情報技術ジャーナル. 4 (5): 433– 441.
14. Hassanien, AE; Abraham, A.; Peters, JF; Schaefer, G.; Henry, C. (2009). 「医用画像におけるラフ集合とニア集合：レビュー」. IEEE Transactions on Information Technology in Biomedicine . 13 (6): 955– 968. Bibcode :2009ITITB..13..955H. CiteSeerX  10.1.1.475.6138 . doi :10.1109/TITB.2009.2017017. PMID  19304490. S2CID  1262076.
15. ハウスドルフ、F. (1914). 『メンゲンレの基本』ライプツィヒ：ファイト・アンド・カンパニー. pp. viii+476
16. Henry, C.; Peters, JF (2010). 「知覚ベースの画像分類、国際」. International Journal of Intelligent Computing and Cyber​​netics . 3 (3): 410– 430. doi :10.1108/17563781011066701. hdl : 10680/1731 . S2CID  24382697.
17. Henry, CJ (2010).近傍集合：理論と応用（博士論文）. マニトバ大学電気・コンピュータ工学部. hdl :1993/4267.
18. Henry, C.; Peters, JF (2011). 「関節炎における手指運動の類似性測定：許容近傍法」. Computational and Mathematical Methods in Medicine . 2011 569898. doi : 10.1155/2011/569898 . PMC  3087412. PMID  21559241 .
19. Henry, CJ; Ramanna, S. (2011). 「近傍探索における並列計算」.ラフ集合と知識技術. コンピュータサイエンス講義ノート. 第6954巻. pp.  523– 532. doi :10.1007/978-3-642-24425-4_67. ISBN 978-3-642-24424-7。
20. ハーリッヒ, H. (1974). 「近さの概念」.一般位相幾何学とその応用. 4 (3): 191–212 . doi : 10.1016/0016-660x(74)90021- x
21. ホッキング, JG; ナインパリー, SA (2009). 「近さ ― 連続性と極限へのより良いアプローチ」.均一性と近接性. アラハバード数学協会講演録シリーズ. 第3巻. アラハバード: アラハバード数学協会. pp. iv+66. ISBN 978-81-908159-1-8。
22. Ïnan, E.; Öztürk, MA (2012). 「近傍近似空間上の近傍群」. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics . 41 (4): 545– 558.
23. イズベル、JR (1964).一様空間. プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会. pp. 11+175
24. イワノワ, VM; イワノフ, AA (1959). 「隣接空間と位相空間の双コンパクト拡張（ロシア語）」. Dokl. Akad. Nauk SSSR . 127 : 20–22 .
25. クナスター、B.クラトフスキー、C. (1921)。 「シュール・レ・アンサンブル・コネクス」。数学の基礎。2 : 206–255 .土井: 10.4064/fm-2-1-206-255。
26. Kovár, MM (2011). 「新しい因果的位相と宇宙が共コンパクトである理由」arXiv : 1112.0817 [math-ph].
27. クラトフスキー、C. (1958)。トポロジー i。ワルシャワ: Panstwowe Wydawnictwo Naukowe。
28. Leader, S. (1967). 「近接空間の計量化」.アメリカ数学会誌. 18 (6): 1084–1088 . doi : 10.2307/2035803 . JSTOR  2035803.
29. ロダート, MW (1962).位相的に誘導された一般化近接関係について（博士論文）. ラトガース大学.
30. ロダート, MW (1964). 「位相的に誘導された一般化近接関係について I」.アメリカ数学会誌. 15 (3): 417– 422. doi : 10.2307/2034517 . JSTOR  2034517.
31. ロダート, MW (1966). 「位相的に誘導された一般化近接関係について II」.パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス. 17 : 131–135 . doi : 10.2140/pjm.1966.17.131 .
32. MacLane, S. (1971). 『働く数学者のためのカテゴリー』ベルリン: Springer. 262頁.
33. Mozzochi, CJ; Naimpally, SA (2009). 「均一性と近接性」.均一性と近接性. アラハバード数学協会講演ノートシリーズ. 第2巻. アラハバード: アラハバード数学協会. pp. xii+153. ISBN 978-81-908159-1-8。
34. Naimpally, SA (1970). Proximity spaces . Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. x+128. ISBN 978-0-521-09183-1。
35. Naimpally、SA (2009)。トポロジーと解析の問題に対する近接アプローチ。ミュンヘン、ドイツ: オルデンブルク市。 pp. ix + 204。ISBN 978-3-486-58917-7。
36. Naimpally, SA; Peters, JF (2013). 「連続性の保存」. Scientiae Mathematicae Japonicae . 76 (2): 1– 7
37. Naimpally, SA; Peters, JF (2013).位相幾何学とその応用. 近距離と遠距離を介した位相空間. シンガポール: World Scientific.
38. Naimpally, SA; Peters, JF; Wolski, M. (2013).近傍集合論とその応用. コンピュータサイエンスにおける数学特集号. 第7巻. ベルリン: Springer. p. 136.
39. Naimpally, SA; Warrack, BD (1970).近接空間. Cambridge Tracts in Mathematics. 第59巻. ケンブリッジ大学出版局. 英国ケンブリッジ.
40. Pal, SK; Peters, JF (2010).ラフファジー画像解析. 基礎と方法論. ロンドン, イギリス: CRC Press, Taylor & Francis Group. ISBN 9781439803295。
41. Peters, JF (2009). 「許容近傍集合と画像対応」. International Journal of Bio-Inspired Computation . 1 (4) 24722: 239–245 . doi :10.1504/ijbic.2009.024722
42. Peters, JF; Wasilewski, P. (2009). 「近傍集合の基礎」.情報科学. 179 (18): 3091– 3109. doi :10.1016/j.ins.2009.04.018.
43. Peters, JF (2007). 「近接集合：物体の近接性に関する一般理論」.応用数学科学. 1 (53): 2609– 2629.
44. Peters, JF (2007). 「近接集合：物体の近接性に関する特殊理論」Fundamenta Informaticae . 75 ( 1–4 ): 407– 433.
45. Peters, JF (2010). 「訂正と補遺：近傍集合と画像対応の許容範囲」. International Journal of Bio-Inspired Computation . 2 (5) 36157: 310– 318. doi :10.1504/ijbic.2010.036157.
46. Peters, JF (2011). 「ズジスワフ・パウラックの絵画はどれほど近いのか？ 関心領域間のメロトピック距離」 Skowron, A.; Suraj, S. (編).ラフ集合とインテリジェントシステム ― ズジスワフ・パウラック教授追悼. インテリジェントシステムリファレンスライブラリ. 第42巻. ベルリン: Springer. pp.  1– 19.
47. Peters, JF (2011). 「十分に近い近傍集合」. Yao, JT, Ramanna, S., Wang, G., Suraj, Z. (編).ラフ集合と知識技術：第6回国際会議 RSKT 2011, バンフ, カナダ, 2011年10月9日～12日, Proceedings . 人工知能講義ノート. 第6954巻. ベルリン: Springer. pp.  17– 24. doi :10.1007/978-3-642-24425-4_4. ISBN 978-3-642-24424-7。
48. Peters, JF (2013). 「近傍集合：入門」.コンピュータサイエンスにおける数学. 7 (1): 3–9 . doi : 10.1007/s11786-013-0149-6 . S2CID  1573876
49. Peters, JF (2014). 「近位リレーター空間」Filomat : 1–5 (印刷中).
50. ピーターズ, JF (2014).デジタル画像のトポロジー. 近接空間における視覚パターン発見. 第63巻. シュプリンガー. p. 342. ISBN 978-3-642-53844-5。
51. Peters, JF; İnan, E.; Öztürk, MA ( 2014). 「近接空間における空間的および記述的等長変換」一般数学ノート21 ( 2): 125–134
52. Peters, JF; Naimpally, SA (2011). 「近接する家族のための接近空間」一般数学ノート2 ( 1): 159–164 .
53. Peters, JF; Naimpally, SA (2011). 「近接族の接近空間」(PDF) .一般数学ノート. 2 (1): 159– 164.
54. Peters, JF; Puzio, L. (2009). 「異方性ウェーブレットに基づく近接性尺度を用いた画像解析」. International Journal of Computational Intelligence Systems . 2 (3): 168– 183. doi :10.1016/j.ins.2009.04.018.
55. Peters, JF; Shahfar, S.; Ramanna, S.; Szturm, T. (2007). 「生物学に着想を得た適応学習：ニアセットアプローチ」IEEE Frontiers in the Convergence of Bioscience and Information Technology (FBIT 2007), 済州島（韓国）、2007年10月11日～13日。
56. Peters, JF; Tiwari, S. (2011). 「メロトピーと近傍フィルタへのアプローチ：理論と応用」.一般数学ノート. 3 (1): 32–45
57. Peters, JF; Tiwari, S. (2011). 「メロトピーと近傍フィルタへのアプローチ：理論と応用」.一般数学ノート. 3 (1): 32–45
58. Peters, JF; Wasilewski, P. (2012). 「許容空間：起源、理論的側面、そして応用」.情報科学. 195 : 211– 225. doi :10.1016/j.ins.2012.01.023.
59. ピカド, J.「ヴェイユ近傍空間」.ポルトガル数学. 55 (2): 233– 254.
60. ポアンカレ、JH (1895)。 「空間と地理」。メタフィジックとモラルのレビュー。3 (6): 631–646。
61. ポアンカレ、JH (1902)。 「確実な表面は代数を表し、トロワジームは「分析的状況」を補う。」フランス数学協会紀要。30 : 49 – 70.土井: 10.24033/bsmf.657。
62. ポアンカレ、JH (2009) [1913]。デルニエール パンセ、トランス。 JW Bolduc著「数学と科学: 最後のエッセイ」パリとニューヨーク：フラマリオンとケッシンガー。
63. ポアンカレ、JH (1894)。 「数学的な自然の存在」。メタフィジックとモラルのレビュー。2 (4): 371–384。
64. Ramanna, S.; Meghdadi, AH (2009). 「群集行動間の類似性の測定：知覚的許容度近傍集合アプローチ」Fundamenta Informaticae . 95 (4): 533– 552. doi :10.3233/FI-2009-163.
65. リース、F. (1908)。 「Stetigkeitsbegriff und abstrakte mengenlehre」(PDF)。アッティ デル IV 国際会議マテマティ II : 18 ～ 24。
66. シュライダー、JA（1975）『平等、類似性、そして秩序』ロシア：ミール出版社、279頁。
67. スミルノフ、JM (1952)。 「近接空間について」。マテマチェスキー・スボルニク。ノヴァヤ・セリヤ。 31(73) (3): 543–574 .（英訳：Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 38, 1964, 5–35）
68. スミルノフ、JM (1952). 「VAエフレモヴィッチの意味における近接空間について」.マテマティチェスキー・スボルニク. ノヴァヤ・セリヤ. 84 : 895–898英語訳: Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 38, 1964, 1–4
69. Smirnov, JM (1954). 「近接空間の完全性について I.」Trudy Moskov. Mat. Obšč . 3 : 271–306 , 英訳: Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 38, 1964, 37–74 .
70. Smirnov, JM (1955). 「近接空間の完全性について II」Trudy Moskov. Mat. Obšč . 4 : 421– 438, 英訳: Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 38, 1964, 75– 94.
71. ソシンスキー、AB (1986)。 「許容空間理論といくつかの応用」。Acta Applicandae Mathematicae。5 (2): 137–167。土井:10.1007/bf00046585。S2CID  119731847。
72. Száz, Á. (1997). 「一様コンパクト、近似コンパクト、位相コンパクト関係子」. Mathematica Pannonica . 8 (1): 103– 116.
73. Száz, Á. (1987). 「関係空間における基本ツールと軽度連続性」. Acta Mathematica Hungarica . 50 ( 3–4 ): 177–201 . doi : 10.1007/bf01903935 . S2CID  122231880.
74. Száz, Á (2000). 「Kelleyの閉関係定理の関係空間への拡張」. Filomat . 14 : 49–71 .
75. Tiwari, S. (2010).一般位相幾何学のいくつかの側面とその応用. メロトピック構造へのアプローチとその応用(博士論文). インド、アラハバード (UP) 大学数学部.
76. ティワリ、S.ピーターズ、JF (2013)。 「拡張計量空間の研究への新しいアプローチ」。マセマティカ アエテルナ。3 (7): 565–577 .
77. Tukey, JW (1940).位相幾何学における収束と均一性. Annals of Mathematics Studies. Vol. AM-2. プリンストン, ニュージャージー: プリンストン大学出版局. p. 90.
78. チェフ、E. (1966)。位相空間、改訂版。 Z.フロリックとM.カチェトフ著。ロンドン：ジョン・ワイリー＆サンズ。 p. 893.
79. Wasilewski, P. (2004).選択された類似関係とその認知科学への応用について（博士論文）. 論理学科.
80. Wasilewski, P.; Peters, JF; Ramanna, S. (2011). 「知覚的許容交差」. Transactions on Rough Sets XIII . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 6499. pp.  159– 174. Bibcode :2011LNCS.6499..159W. doi :10.1007/978-3-642-18302-7_10. ISBN 978-3-642-18301-0。
81. ヴァイル、A. (1938). Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale . Actualités scientifique et industrielles. Paris: Harmann & cie
82. Wolski, M. (2010). 「知覚と分類：近似集合と粗集合に関する一考察」Fundamenta Informaticae . 101 ( 1–2 ): 143– 155. doi :10.3233/FI-2010-281.
83. ゼーマン, EC (1962). 「脳の位相幾何学と視覚知覚」. フォート, Jr., MK (編). 3次元多様体の位相幾何学と関連トピック. ジョージア大学研究所会議録. プレンティス・ホール. pp.  240– 256.

さらに詳しい文献

• Naimpally, SA; Peters, JF (2013). 位相幾何学とその応用. 近距離と遠距離を介した位相空間. World Scientific Publishing. Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-4407-65-6。
• Naimpally, SA; Peters, JF; Wolski, M. (2013). 近傍集合論とその応用. コンピュータサイエンスにおける数学. 第7巻. ベルリン: Springer
• Peters, JF (2014). デジタル画像のトポロジー. 近接空間における視覚パターン発見. インテリジェントシステムリファレンスライブラリ. 第63巻. ベルリン: Springer.
• Henry, CJ; Peters, JF (2012). 近傍集合評価・認識 (NEAR) システム V3.0. マニトバ大学計算知能研究所 技術報告書 No. TR-2009-015. マニトバ大学計算知能研究所.
• Concilio, A. Di (2014).近接性：拡張理論、関数空間、超空間、ブール代数、点自由幾何学における強力なツール. マニトバ大学計算知能研究所 技術報告書 No. TR-2009-021. マニトバ大学計算知能研究所
• Peters, JF; Naimpally, SA (2012). 「近傍集合の応用」(PDF) .アメリカ数学会報. 59 (4): 536– 542. CiteSeerX  10.1.1.371.7903 . doi :10.1090/noti817.