最近傍分布

確率と統計において、最近接関数、最近接距離分布^[1] 、最近接分布関数^[2]または最近接分布^[3]は、点過程と呼ばれる数学的対象に関連して定義される数学関数であり、時間、空間、またはその両方でランダムに配置された点として表現可能な物理現象の数学的モデルとしてよく使用されます。 ^{[4] [5]}より具体的には、最近接関数は、点過程のある点に関して、この点から同じ点過程における最近接点までの距離の確率分布として定義されるため、ある点からある距離内に別の点が存在する確率を記述するために使用されます。最近接関数は、球面接触分布関数とは対照的です。球面接触分布関数は、ある初期点を基準として定義されるのではなく、球が点過程の点に最初に遭遇または接触するときの球の半径の確率分布として定義されます。

最近傍関数は点過程の研究^{[1] [5] [6]}や関連分野の確率幾何学^[4]や空間統計^{[1] [7]}で利用されており、生物学、地質学、物理学、電気通信などの様々な科学技術分野で応用されている。^{[4] [5] [8] [9]}

点過程記法

点過程は、何らかの基礎数学空間上に定義される数学的対象である。これらの過程は、空間、時間、またはその両方にランダムに散在する点の集合を表すために用いられることが多いため、基礎空間は通常、ここで で表されるd次元ユークリッド空間であるが、より抽象的な数学的空間上に定義されることもある。^[6]${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

点過程には様々な解釈があり、それは様々なタイプの点過程表記法に反映されている。^{[4] [9]}例えば、点がで表される点過程に属するかその要素である場合、これは次のように書くことができる。^[4]${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

は点過程をランダム集合として解釈することを表す。あるいは、あるボレル集合に位置する点の数は、しばしば次のように表記される：^{[8] [4] [7]}${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

これは点過程に対するランダム測度の解釈を反映している。これら2つの表記法はしばしば並行して、あるいは互換的に用いられる。^{[4] [7] [8]}

定義

最近傍関数

最近傍関数は、球面接触分布関数とは対照的に、空間のある領域に既に存在する点過程のある点との関係で定義されます。より正確には、点過程のある点について、最近傍関数はその点から最も近い点までの距離の確率分布です。 ${\displaystyle \textstyle {N}}$

この関数を、例えば原点にある点 に対して定義するには、原点oを中心とする半径 次元球体を考える。にある点 が与えられたとき、最近傍関数は次のように定義される。^[4]${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle o}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle b(o,r)}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle o}$

${\displaystyle D_{o}(r)=1-P({N}(b(o,r))=1\mid o).}$

ここで、 は、にの点が 1 つある場合に、 に の点が1 つ存在する条件付き確率を表します。 ${\displaystyle \textstyle P({N}(b(o,r))=1\mid o)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle b(o,r)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle o}$

参照点は原点である必要はなく、任意の点 に配置することができます。に点 が存在する場合、最近傍関数 は次のように定義されます。 ${\displaystyle \textstyle x\in {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-P({N}(b(x,r))=1\mid x).}$

例

最近傍分布の数学的表現は、いくつかの点過程に対してのみ存在します。

ポアソン点過程

強度測度を持つポアソン点過程 の場合、最近傍関数は次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\Lambda (b(x,r))},}$

同質の場合、これは

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda |b(x,r)|},}$

ここで、半径 の（超）球体の体積（より正確にはルベーグ測度）を表す。原点を基準点とする 平面では、これは${\displaystyle \textstyle |b(x,r)|}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{2}}$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}}.}$

他の機能との関係

球面接触分布関数

一般に、球面接触分布関数とそれに対応する最近傍関数は等しくありません。しかし、ポアソン点過程においては、これら2つの関数は同一です。^[4]実際、この特性はポアソン過程とそのパーム分布の特異な性質によるもので、スリヴニャック・メッケ^[8]またはスリヴニャックの定理^[1]として知られる結果の一部を形成しています。

J-関数

ポアソン点過程の球面分布関数H _s ( r )と最近傍関数D _o ( r )が一致するという事実は、点過程データがポアソン点過程のものであるかどうかを統計的に検定するために利用できる。例えば、空間統計学では、J関数はすべてのr  ≥ 0に対して次のように定義される。 ^[4]

${\displaystyle J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}}$

ポアソン点過程の場合、J関数は単にJ ( r ) = 1となるため、データがポアソン過程から得られたかのように振る舞うかどうかを判定するノンパラメトリック検定 として用いられます。しかしながら、 J ( r )  = 1となる非ポアソ​​ン点過程を構築することも可能であると考えられています^[10] 。しかし、そのような反例は一部の人々からやや「人為的」であると見なされており、他の統計検定にも用いられています^{[11] 。}

より一般的には、J関数は点過程における点間の相互作用を測定する1つの方法として機能する（他の方法としては階乗モーメント測定法^{[1]を使用する方法がある）。 [4]}

参照

• 階乗モーメント
• 局所特徴サイズ
• モーメント測定
• 球面接触分布関数

参考文献

1. A. Baddeley, I. Bárány, R. Schneider. 空間点過程とその応用.確率幾何学：2004年9月13～18日にイタリアのマルティナ・フランカで開催されたCIMEサマースクールでの講義、1～75ページ、2007年。
2. Torquato, S, Lu, B, Rubinstein, J (1990). 「相互作用粒子系における最近傍分布関数」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 23 (3): L103 – L107 . Bibcode :1990JPhA...23L.103T. doi :10.1088/0305-4470/23/3/005.
3. Doguwa, Sani I (1992). 「点過程における点-物体最近傍分布F(y)の推定について」. Journal of Statistical Computation and Simulation . 41 ( 1–2 ): 95–107 . doi :10.1080/00949659208811393.
4. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke, L. Ruschendorf.確率幾何学とその応用, 第2巻. Wiley Chichester, 1995.
5. DJ DaleyとD. Vere-Jones.点過程理論入門. 第1巻. 確率とその応用 (ニューヨーク). Springer, New York, 第2版, 2003年.
6. DJ DaleyとD. Vere-Jones.点過程理論入門. 第2巻. 確率とその応用 (ニューヨーク). Springer, New York, 第2版, 2008年.
7. J. MollerとRP Waagepetersen.空間点過程の統計的推論とシミュレーション. CRC Press, 2003. [1]
8. F. BaccelliとB. Błaszczyszyn.確率幾何学とワイヤレスネットワーク、第1巻-理論、ネットワークの基礎とトレンドの第3巻、第3-4号。NoW Publishers、2009年。[2]
9. F. Baccelli と B. Błaszczyszyn.確率幾何学とワイヤレスネットワーク、第2巻 – アプリケーション、第4巻、 Foundations and Trends in Networking の第1-2号、NoW Publishers、2009年。
10. Bedford, T, Van den Berg, J (1997). 「点過程におけるVan LieshoutとBaddeleyのJ関数に関する考察」 .応用確率論の進歩. 29 (1): 19– 25. doi :10.2307/1427858. JSTOR  1427858. S2CID  122029903.
11. Foxall, Rob, Baddeley, Adrian (2002). 「空間点過程とランダム集合間の関連性のノンパラメトリック測定と地質学的応用」Journal of the Royal Statistical Society, Series C. 51 ( 2): 165– 182. doi :10.1111/1467-9876.00261. S2CID  744061.