ネミツキー演算子

数学において、ネミツキー作用素は、 L ^p 空間上の良好な連続性と有界性を持つ非線形作用素のクラスである。その名称は数学者ヴィクトル・ウラジミロヴィチ・ネミツキーに由来する。

重ね合わせ演算子の一般的な定義

を空でない集合とする。をそれぞれからおよびへの写像の集合とする。とする。 ${\textstyle \mathbb {X} 、\ \mathbb {Y} 、\ \mathbb {Z} \neq \varnothing }$ ${\textstyle \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} },\ \mathbb {Z} ^{\mathbb {X} }}$ ${\textstyle \mathbb {X} }$ ${\textstyle \mathbb {Y} }$ ${\textstyle \mathbb {Z} }$ ${\textstyle h\ \colon \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \to \mathbb {Z} }$

によって誘導されるNemytskii 重ね合わせ演算子は 、任意のマップをによって定義されたマップに変換するマップです。この関数はNemytskii 演算子の生成元と呼ばれます。 ${\textstyle H\ \colon \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} }\to \mathbb {Z} ^{\mathbb {X} }}$ $h$ ${\textstyle \varphi \in \mathbb {Y} ^{\mathbb {X} }}$ ${\textstyle H\varphi \in \mathbb {Z} ^{\mathbb {X} }}$ $(H\varphi )(x)=h(x,\varphi (x))\in \mathbb {Z} ,\quad {\mbox{for all}}\ x\in \mathbb {X} .$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle H}$

Nemytskii演算子の定義

Ω をn次元ユークリッド空間内の開連結集合とする。関数f : Ω × R ^m → Rがカラテオドリ条件を満たすとは次のようになる。

f ( x , u ) は、ほぼすべてのx ∈ Ωに対してuの連続関数である。
f ( x , u ) は、すべてのu ∈ R ^mに対してxの測定可能な関数です。

カラテオドリ条件を満たす関数fと^関数u :Ω→ Rmが与えられたとき、新しい関数F ( u ):Ω→ Rを次のように定義する。

F(u)(x)=f{\big (}x,u(x){\big )}.

関数FはNemytskii 演算子と呼ばれます。

リプシッツ作用素に関する定理

と仮定し、 ${\textstyle h:[a,b]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\textstyle X={\text{唇}}[a,b]}$

$H:{\text{唇}}[a,b]\to {\text{唇}}[a,b]$

ここで、演算子は任意の関数および任意のに対して定義される。これらの条件下で、演算子がリプシッツ連続となるのは、関数が存在する場合のみである。 ${\textstyle H}$ ${\textstyle \left(Hf\right)\left(x\right)}$ ${\textstyle =h(x,f(x))}$ ${\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x\in [a,b]}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle G,H\in {\text{唇}}[a,b]}$