ノイマン・ノイマン法

数学において、ノイマン・ノイマン法は領域分割前処理法の一種であり、部分領域間の境界の両側にある各部分領域においてノイマン問題を解くことからその名が付けられています。 ^{[ 1 ]} すべての領域分割法と同様に、反復回数が部分領域の数に比例して増加しないように、ノイマン・ノイマン法では、大域的な通信を実現するために粗い問題を解く必要があります。バランス型領域分割は、特殊な種類の粗い問題を扱うノイマン・ノイマン法です。

より具体的には、ポアソン方程式を解く 領域Ωを考える。

$${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$$

ある関数fに対して、領域をΓを境界とする2つの重複しない部分領域Ω ₁とΩ ₂に分割し、各部分領域におけるuの値をu ₁とu ₂とする。2つの部分領域の境界において、2つの解は次の条件を満たす必要がある。

$${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}}$$

ここで、各サブドメインにおける Γ の単位法線ベクトルです。 ${\textstyle n_{i}}$

マッチング条件を満たす各u _i ( i = 1 , 2 )の近似値を求める反復法は、まずディリクレ問題を解くことである 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}~~{\text{in}}~~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.u_{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.u_{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}\end{aligned}}}$$

Γ上の何らかの関数λ ^{( k )}に対して、λ ⁽⁰⁾は任意の安価な初期推定値である。次に、2つのノイマン問題を解く。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta \psi _{i}^{(k)}=0~~{\text{in}}~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.\psi _{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.\partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\omega \left(\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}\right).\end{aligned}}}$$

次に次の反復処理を実行する。

$${\displaystyle \lambda^{(k+1)}=\lambda^{(k)}-\omega \left(\theta_{1}\psi_{1}^{(k)}+\theta_{2}\psi_{2}^{(k)}\right)~~{\text{on}}~\Gamma }$$

いくつかのパラメータω、θ ₁、およびθ ₂について。

この手順は、シュアー補数法から生じる方程式の反復解を求めるリチャードソン反復法とみなすことができる。^{[ 2 ]}

この連続反復は有限要素法によって離散化され、コンピュータ上で並列に解くことができます。より多くの部分領域への拡張は容易ですが、この手法をシュアー補集合系の前処理として用いる場合、部分領域の数に応じて拡張することはできません。そのため、大域的な粗解解が必要となります。

参照

• ノイマン・ディリクレ法

参考文献

1. A. KlawonnとOB Widlund、「FETIとNeumann–Neumann反復サブ構造化法：接続と新しい結果」、Comm. Pure Appl. Math.、54（2001）、pp.57–90。
2. A. Quarteroni と A. Valli、「偏微分方程式の領域分割法」、Oxford Science Publications 1999。