ニコルズ代数

代数学において、（しばしば有限群によって誘導される）編み込みベクトル空間のニコルス代数は、数学者ウォーレン・ニコルズにちなんで名付けられ、 と表記される編み込みホップ代数である。これは、量子群やそのよく知られた有限次元切断などの尖端ホップ代数^[1]の量子ボレル部分の役割を果たす。ニコルス代数は、ラドフォードの重積を用いて、そのような新しい量子群をすぐに書き下すのに用いることができる。^[1]${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

このようなニコルス代数、さらには関連する量子群（応用参照）の分類は急速に進展しているが、依然として多くの未解決問題を抱えている。アーベル群の場合は2005年に解決されたが^[2]、それ以外ではこの現象は非常に稀であり、少数の例が知られており、強力な否定基準が確立されている（下記参照）。有限次元ニコルス代数の一覧も参照のこと。

有限次元理論は、ルート系とディンキン図の理論によって大きく支配されており、半単純リー代数の理論と驚くほど類似している。^[3]包括的な入門書はヘッケンベルガーの講義に記載されている。^[4]

意味

イェッター・ドリンフェルト圏におけるイェッター・ドリンフェルト加群Vを考える。これは特に編組ベクトル空間である。編組モノイド圏 を参照のこと。 ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$

イェッター・ドリンフェルト加群のテンソル代数は 常に編組ホップ代数である。の余積と余単位は、の元が原始的であるように定義される。 つまり、すべての${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

${\displaystyle \epsilon (v)=0}$

ニコルス代数は、ホップ代数構造に焦点を当てたものや、より組合せ論的なものなど、複数の同値な特徴付けによって一意に定義できます。いずれにせよ、ニコルス代数を明示的に決定すること（それが有限次元であるかどうかさえも）は非常に困難であり、いくつかの具体的な例において未解決です（以下を参照）。

定義I: 組み合わせ式

を編み込みベクトル空間とすると、任意の に対しての編み込み群の作用が存在することを意味します。ここで、転置はとして作用します。明らかに対称群への準同型性は存在しますが、これは切断を許容せず、一般に への作用は上で因数分解されません。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (i,i+1)}$ ${\displaystyle id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

それにもかかわらず、転置を転置と任意の元に任意の簡約表現を介して送る集合論的切断を考える。これは群準同型ではないが、松本の定理（群論）によれば、任意の の への作用は簡約表現の選択とは独立に明確に定義される。最終的に、ニコルス代数は ${\displaystyle s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}}$ ${\displaystyle s(\sigma )}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(quantum symmetrizer or quantum shuffle map)}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})}$

この定義は後に（しかし独立に）ウォロノヴィッチによって与えられた。代数的証明ではほとんど役に立たないという欠点があるが、それ自体が直感的なものであり、非常に明確でホップ代数の表記法に依存しないという教育的利点がある。

定義II: 規定プリミティブ

ニコルズ代数は、 が唯一の原始要素 であるような、与えられた によって生成される編組カテゴリ内の唯一のホップ代数です。${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle V\subset {\mathfrak {B}}(V)}$

これはニコルズによるオリジナルの定義であり、ホップ代数の分類における基本概念としてのニコルズ代数の役割を非常に明確にします。

定義III: 普遍商

とします。次の性質を持つ 最大イデアルが存在します。${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset TV}$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,}$

${\displaystyle \Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes TV+TV\otimes {\mathfrak {I}}}$ （これは自動です）

ニコルズ代数は

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}}$

定義IV: 非退化ペアリング

唯一のホップペアリングは、非退化ホップペアリングに因数分解され、この事実はニコルス代数を一意に特徴づけます。この理論的に非常に有用な特徴づけは、ルスティグによるものです。 ${\displaystyle V\otimes TV^{*}\to k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k}$

定義 V: 歪んだ微分

これは、前の定義をやや明示的に表現したものです。同次基底（つまり、共作用/漸化）を選択すると、テンソル代数の普遍的性質を使用して、 歪んだ微分を定義できます。${\displaystyle v_{i}\in V}$ ${\displaystyle v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$

${\displaystyle \partial _{i}(1)=0\quad \partial _{i}(v_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)}$

すると、ニコルス代数は、定数を含まず、すべての微分に対して不変である最大の同次イデアルでを割ったものになります。大まかに言えば、すべての歪微分における核の元を探し、それらを除算します。次に、すべての歪微分における核に含まれるすべての元を再び探し、それらも同様に除算します。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ ${\displaystyle TV}$ ${\displaystyle \partial _{i}}$ ${\displaystyle TV}$

例

有限次元ニコルス代数の例を示す。特性pにおいて、この効果は非編組状況、すなわちp制限リー代数の切断された普遍包絡において既に現れる可能性がある。特性ゼロで、かつアーベル群から編組が導かれる場合、これは同様に頻繁に発生するようである（ただし、より複雑であるため、分類を参照）。一方、非アーベル群Gについては、これまでのところ非常に少数の例しか知られておらず、強力な否定基準によって多くの群が全く除外されている（分類を参照）。

1次元の例

最初の例として、巡回群が乗法的に表記され（代数では普通）、何らかのgによって生成される、グループホップ代数H = k [ Z /2 Z ]上の1 次元 Yetter–Drinfeld 加群を考えます。 ${\displaystyle V_{\pm }=kx}$

• をH共作用（それぞれZ /2 Z漸化）としてとります。${\displaystyle V_{\pm }}$ ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• に対するH作用（それぞれZ /2 Z作用）として以下をとります。${\displaystyle V_{\pm }}$ ${\displaystyle g\otimes x\mapsto \pm x}$
• このように編み込みは${\displaystyle x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x}$

すると、符号の選択に応じて、ニコルス代数は次のようになります。

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})}$

最初の例は予想通り（編組されていないケース）ですが、2番目の例は有限次元になるまで切り捨てられていることに注意してください。同様に、 k内の何らかのqによって作用するgを持つ高次巡回群上のV _{q は}、 q ≠ 1 がn乗の原始根である場合にニコルス代数を持ち、そうでない場合はニコルス代数を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]}$

（物理的な観点からは、 V _{+ は}ボソンに対応し、 V _–はパウリの排他原理によって制限されたフェルミオンを表します。編組交換子を考えるときも、このアナロジーは繰り返されます。これらの場合は（反）交換子です。量子群としての超対称性とその議論も参照してください。）

上位の例Gアーベル：編組交換子

次の例は、2 つの基底要素の相互作用を示しています。群ホップ代数H = k [ Z /2 Z × Z /2 Z ]上の2 次元 Yetter–Drinfeld モジュールV _0,1 = kx ⊕ kyと、あるg,hによって乗法的に表記および生成されるKlein の 4 群を考えます。

• V _0,1上のH共作用/漸化式をとる:そして${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$ ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• V _0,1上のH作用（またはZ /2 Z作用）として以下をとります。
  • ${\displaystyle g\otimes x\mapsto -x}$
  • ${\displaystyle g\otimes y\mapsto +y}$
  • ${\displaystyle h\otimes y\mapsto -y}$
  • ${\displaystyle h\otimes x\mapsto \pm x}$ V ₀（対称）の場合は「+」 、 V ₁（非対称）の場合は「–」
• このように編み込みは
  • ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow -x\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes y\rightarrow -y\otimes y}$
  • ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y}$

すると、符号の選択に応じて、ニコルス代数は次元4と8になります（これらは の分類に現れます）。 ${\displaystyle q_{12}q_{21}=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)}$

半単純リー代数との著しい類似性が見られます。最初のケースでは、編組交換子[ x、y ] (ここでは反交換子) はゼロですが、2 番目のケースでは、ルート文字列の方が長く [ x、 [ x、y ]] = 0 です。したがって、これら 2 つはDynkin 図 と A ₂に属します。 ${\displaystyle A_{1}\cup A_{1}}$

また、 Dynkin 図B ₂、 G ₂に対応するさらに長いルート文字列V ₂、V ₃を持つ例も作成します(ただし、これより高次のものはありません)。

リー代数の普遍包絡、量子群

ニコルズ代数は、量子群とその一般化のボレル部分として最もよく知られている。より正確には、

${\displaystyle V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C} }$

編組 アーベル群上の対角イェッター・ドリンフェル加群である${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle }$

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$

が半単純（有限次元）リー代数のキリング形式である場合、ニコルス代数はルスティグの小量子群の正の部分である。 ${\displaystyle (\alpha _{i},\alpha _{j})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$

超リー代数を含む

ヘッケンベルガーのリストにはリー代数よりも対角ニコルス代数が多く含まれており、ルートシステム理論は体系的であるものの、より複雑である（下記参照）。特に、超リー代数の分類（下記例）に加え、特定の有限特性においてのみ現れるリー代数と超リー代数も含まれる。

したがって、ニコルズ代数理論とルートシステム理論は、これらの概念に統一された枠組みを提供します。

非対角編組、非アーベル群

これまでのところ、 k = C上の有限次元ニコルス代数はごくわずかしか知られていない。この場合、各既約イェッター・ドリンフェルド加群は群の共役類（およびgの中心化群の既約表現）に対応することが知られている。任意のイェッター・ドリンフェルド加群はそのような の直和であり、加数の数は階数と呼ばれる。各加数はディンキン図（下記参照）の陽極に対応する。上記のようなアーベル群では、既約加数は1次元であるため、階数と次元は一致することに注意されたい。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

具体的な例としては、コクセター群の鏡映の共役類に関連するニコルス代数が挙げられ、これらはフォミン・キリロフ代数と関連しています。これらのニコルス代数は に対して有限次元であることが知られていますが、このケースは2000年以降既に未解決です。別のクラスの例は、アーベルの場合から図式自己同型を介した畳み込みによって構成できます。 ${\displaystyle \mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{6}}$

私たちの知る限りの 有限次元ニコルス代数のリストについては、ここを参照してください。

根系

非常に注目すべき特徴は、すべてのニコルス代数（十分な有限性条件の下で）に対して、ニコルス代数を制御するルートの集合を持つ一般化ルート系が存在することです。これは、双指標に関して対角ニコルス代数については^[5]で、一般の半単純ニコルス代数については^[6]で発見されています。リー代数で知られる通常の結晶学的ルート系とは対照的に、同じ一般化ルート系が、異なるカルタン行列と異なるディンキン図を持つ、正ルートの集合と単純正ルートの非同等な選択に対応する、複数の異なるワイル室を持つ場合があります。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle q_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

異なるワイルチェンバーは、実際には異なる非同型ニコルス代数に対応し、これらはワイル同値と呼ばれます。量子群は、すべてのボレル部分が同型であるという事実に関して非常に特殊です。しかし、この場合であっても、ルスティッヒの反射作用素はホップ代数同型で はありません。${\displaystyle T_{s}}$

ワイル群と一般化ルート系の定義

正式な根拠をもって、順位がどこにあるのかを明らかにしましょう。 ${\displaystyle I=\{1,\ldots n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$

まず、一般化されたカルタングラフについて議論する: ^[6]

• 一般化カルタン行列 は、 ${\displaystyle c_{ij},\;\;i,j\in I}$
  • ${\displaystyle c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0}$
  • ${\displaystyle c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0}$
• カルタングラフとは、オブジェクト/チャンバーの集合によってパラメータ化されたカルタン行列の集合であり、次のような （オブジェクト変更）射を伴う。${\displaystyle c_{ij}^{a},\;\forall a\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r_{i}:A\to A}$
  • ${\displaystyle r_{i}^{2}=id}$
  • ${\displaystyle c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}}$
• マップを定義する

${\displaystyle s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}}$

${\displaystyle s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}}$

（リー代数の文献には、例えばハンフリーの本のように、 の転置規則も記載されていることに注意）${\displaystyle c_{ij}}$

• ワイル群は、オブジェクトと射が正式には生成する群であるカテゴリである。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Hom(a,b)}$ ${\displaystyle s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)}$
• 実根の集合 は、${\displaystyle \Phi _{a}^{+}}$ ${\displaystyle \{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}}$
• 定義する、${\displaystyle m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|}$
• すると、型のルートシステム は集合である ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (c_{i,j}^{a})_{a\in A}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}}$ と${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}}$
  • ${\displaystyle s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}}$
  • 有限の場合${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a}$

結晶学的超平面配置との同値性

^[7]では、ワイル群は結晶学的超平面配置と1:1で対応していることが示された。これらは、原点と法ベクトルの選択を通る における超平面の集合であり、法ベクトルを持つ超平面で囲まれたすべての単体チャンバーに対して、他の選択された法ベクトルはすべての整線形結合として表される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }}$ ${\displaystyle \alpha ^{\perp }}$ ${\displaystyle \alpha _{i}^{\perp }}$

^[8]では、有限結晶学的超平面配置（ひいては有限ワイル群または有限一般化ルート系）の集合が分類されている。鏡映配置とは別に、さらに1つの無限族が存在し、ランクが までの例外が合計74個存在する。 ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle 8}$

ランク3の例（これも超リー代数）

通常のリー型ではない、最小の結晶学的超平面配置、すなわちワイル群の一般化ルート系は、以下の通りである。これは対角ニコルス代数、さらには超リー代数にも現れる。この超平面配置は、正八面体（プラトン立体）から構成することができる。

ワイル方程式には根（それぞれ超平面、図では正三角形と正方形の対角線を囲むもの、超リー代数では奇数と偶数根）がある。ワイル方程式には、異なるカルタン行列を持つ異なる種類のワイル方程式（正三角形と直角三角形）があり、それらの根は単純根に関して以下のように表される。 ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}}$

図では、例えば基底を持つ白いチャンバーが描かれている。このタイプのチャンバーのディンキン図は、明らかに単純な三角形である。${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ ${\displaystyle a\in A}$

考察は2番目のタイプの部屋へと私たちを導きます ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle \Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}}$

図は灰色のチャンバー（例えば基底）です。このタイプのチャンバーのディンキン図は次のようになります（ただし根が1つ多くなります）。${\displaystyle \alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}}$ ${\displaystyle a'\in A}$ ${\displaystyle A_{2}}$

このルート系は無限級数の最小の要素です。図は^[9]からの引用で、この例についても徹底的に議論されています。

分類（詳細）

アーベル群上

k = Cのアーベル群上の有限次元ニコルス代数は、2004年から2005年にかけてイシュトヴァン・ヘッケンベルガー^{[2]によって算術}ルート系と一般化ディンキン図式を分類することによって分類された。この分類では、既にカルチェンコによって、それらが反復（編組）交換子のポアンカレ・バーコフ・ウィット基底を持つことが証明されていた。必要な情報は編組行列のみであり、この設定では対角行列となる（上記の例を参照）。

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$

ほとんどの場合、古典的なカルタンケースしか現れないが、小さな素数に対しては三角形のようないくつかの珍しい図式が可能である。

有限次元ニコルス代数に関連するランク3のディンキン図

これらの場合、一つの図のワイル反射は「同じ」図ではなく、いわゆるワイル同値図に収束することがあります。これは、これらの特殊なケースが通常の群ではなくワイル群を持つ理由でもあります。

ニコルス代数の生成元と関係は、ルート系から容易に得られるわけではない。むしろ、リノンド語を用いた面倒な作業が必要となる。これは[10]で完全に行われている^。

否定的な基準: アーベルサブラック

特に既約なVには部分加群は存在しない。しかし、より抽象的な概念であるサブラック（subrack）は、含まれる2つの元の組紐のみを反映する。ニコラス・アンドルスキエヴィッチらはいくつかの論文において、群が（非分解な）ニコルス代数を持たないことを否定する基準を示した。彼らの手法は概ね次のように要約できる^[11] （詳細はこちら）。

^{アーベル的サブラックを考え、より大きなラックから継承できる表現を確認し、ヘッケンベガーのリスト[2]}で調べる。

この仮説は、特に任意のg次数元xとそれ自身との組紐に関して、時に強い条件を課す（例えば、上記の最初の例ではq ≠1である）。gは中心化関数において中心となるため、シュール補題の結果として、既約表現に対してスカラーによる作用を及ぼす。したがって、この自己組紐、すなわち1次元部分イェッター・ドリンフェルト加群／組紐ベクトル空間／1次元部分ラックは対角的である。

${\displaystyle x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx}$

これは通常、奇数次数や高次元のχなどを除外するために使用されます。[ ^12]

• gが実数（つまり逆数と共役）の場合 、 q = –1（特にgは偶数次でなければならない）
• gが準実数（つまり、j乗共役）の 場合 、
  • 上記のようにq = –1
  • または、表現χは1次元でq = ζ ₃の原始3乗根である（特にgの位数は3で割り切れる）${\displaystyle g^{(j^{2})}=g}$
• 逆にg が反転であり、何らかの中心化h = tgtである場合、作用するh (行列として見られる)の固有値は強く制限されます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$

非可換群上のルート系

非可換の場合にもルート系が存在することは^[3]、以下の非常に強い意味を直ちに意味する。

g、hが交換する2階ニコルス代数の場合、直ちに次の結果が導かれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)}$

• 元の編組交換子 [ x , y ] はすべてゼロではありません。${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}}$
• 編組交換子の空間は、既約な部分イェッター・ドリンフェルト加群を形成する （つまり、リー代数の場合のように根は一意である）${\displaystyle ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[gh]}}$
• 「通勤に近い」 ${\displaystyle \;(gh)^{2}=(hg)^{2}}$

これは、大まかに言えば、非可換群上の有限次元ニコルス代数は（もしあるとしても）非常に低い階数でなければならないか、または群が可換に近くなければならないことを意味します。

否定的な基準: 非可換サブラック (タイプ D)

アーベルサブラックはアーベル群上のニコルス代数に対するヘッケンベルガーの構造分類を用いるため（上​​記参照）、非アーベルサブラックも考慮することができる。このようなサブラックが複数の部分に分解される場合（共役となる元が少なくなるため）、ルート系に関する上記の結果が適用される。

これが非常に成功した具体的なケース^[12]はタイプDであり、${\displaystyle r,s\in [g]\;}$

• r、s は生成された部分群では共役ではない${\displaystyle \langle r,s\rangle \;}$
• ${\displaystyle (rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;}$

この場合、サブラックのニコルス代数は無限次元であり、ニコルス代数全体も無限次元である。

有限次元ニコルス代数を許容しない既知の群

上記の両方の否定法は、有限次元ニコルス代数の否定（分解不可能）に非常に効果的である。 ^[12]

• 交代グループ の場合^[13]${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$
• 対称群 については、いくつかの例を除いて^[13]${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$
• 嘘タイプの いくつかのグループ（ソース、完全なリスト？）
• すべて実数またはj = 3 準実数で ある可能性のある短いリスト（それぞれ ATLAS 表記の共役類）を除くすべての散在群:
  • ...フィッシャーグループ の場合、クラス${\displaystyle Fi_{22}\;}$ ${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...ベビーモンスターグループ Bのクラス${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...モンスターグループ Mのクラス${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

通常、D型（「十分に可換ではない」）の共役類aeが多数存在しますが、それ以外の共役類は十分なアーベルサブラックを持つ傾向があり、それらを考慮すると除外できます。いくつかのケースは手作業で行う必要があります。未解決のケースでは、中心化子（通常は巡回的）と表現χ（通常は1次元符号表現）が非常に小さい傾向があることに注意してください。重要な例外として、位数16、32の共役類が、それぞれ位数2048、128の p群を中心化子として持ち、現在χに制限がないことが挙げられます。

アプリケーション

ニコルス代数は、ニコラス・アンドルスキエヴィッチとハンス＝ユルゲン・シュナイダーによる有限次元尖端ホップ代数^{[1] （小さな素数を含まない）の分類、特に}量子群において、量子ボレル部として現れる。例えば、 qが単位根であるときのよく知られた切断は、通常の半単純リー代数と同様に、 E（ボレル部）、双対F、K（カルタン代数） に分解される。${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

ここで、古典理論と同様に、V はEによって張られるn次元（の階数）のベクトル空間であり、σ（いわゆるコサイクルツイスト）はEとFの間に非自明な連結を作り出す。古典理論とは異なり、連結された成分が2つ以上出現する場合がある点に注意されたい。A ₃型の4つの部分を持つ特殊な例については、引用文献を参照されたい。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

4つのA3コピーを連結する尖端ホップ代数の一般化ディンキン図

この分類は、与えられた仮説的な例を、対応する「次数付きオブジェクト」（すべての連結を消去）を取ることで、（コラディカル）群とニコルス代数を含む（連結）部分とのラドフォードの双積に大まかに還元する。上記の有限次元ニコルス代数の分類から得られた知見を用いて、著者らは連結部分（次数1の生成）に追加の要素が現れないことを証明し、最終的にすべての可能な持ち上げを一般化ディンキン図における「点線」として記述する。

最近、この対応は大幅に拡張され、いわゆるコイデアル部分代数がワイル群と1:1対応していることが^[14]特定されるようになった。これは以前から「数値的一致」として予想され、場合によっては手作業で証明されていた。

参考文献

^{[1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}

1. Andruskiewitsch, Schneider: Pointed Hopf algebras , New directions in Hopf algebras, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
2. Heckenberger:対角型ニコルズ代数と算術ルート系、Habilitation thesis 2005。
3. Heckenberger, Schneider:ニコルス代数のルート系と Weyl gruppoid、2008年。
4. Heckenberger: Nichols Algebras (Lecture Notes)、2008 https://www.mi.uni-koeln.de/~iheckenb/na.pdf
5. Heckenberger:対角型ニコルス代数のワイル群、Invent. Math. 164 (2006), 175-188。
6. Andruskiewitsch、Heckenberger、Schneider:半単純なYetter-Drinfeld加群のニコルス代数、Amer. Ｊ．Ｍａｔｈ． 132 (2010)、いいえ。 6、1493 ～ 1547 年
7. Cuntz:結晶学的配置：ワイル群と単体配置、Bull. London Math. Soc. 43 (2011), no.4, 734-744.
8. Cuntz、Heckenberger: Finite Weyl groupoids、J. Reine Angew。数学。 702 (2015)、77-108。
9. Cuntz, Lentner: A simplicial complex of Nichols algebras、https://arxiv.org/abs/1503.08117 のプレプリント。
10. Iván Ezequiel Angiono:対角型ニコルス代数とルート系上の凸順序の生成元と関係による表現．J . Eur. Math. Soc. 17 (2015), no. 10, 2643—2671
11. Andruskiewitsch、Fantino、Grana、Vendramin：「単純ラックに関連するニコルス代数について」、2010年。
12. Andruskiewitsch、Fantino、Grana、Vendramin：散在単純群上の尖端ホップ代数、2010年。
13. Andruskiewitsch、Fantino、Grana、Vendramin：「交代群を持つ有限次元尖端ホップ代数は自明である」、2010年。
14. Heckenberger, Schneider:ニコルス代数の右コイデアル部分代数と Weyl グループ体のデュフロ順序、2009 年。
15. Schneider, Milinski: Coxeter 群上のニコルス代数、2000 年。
16. Andruskiewisch, Grana:ラックから尖端ホップ代数へ、2003年。
17. フォミン、キリロフ：二次代数、ダンクル要素、シューベルト計算、1999年。
18. グラナ: https://mate.dm.uba.ar/~matiasg/zoo.html
19. Heckenberger, Schneider:階数2の有限ルート系を持つ群上のニコルス代数 I、2010年。