べき零演算子

作用素論において、バナッハ空間上の有界作用素 T は、ある正の整数nに対してT ⁿ = 0 であるとき、冪零であるという。^[1]そのスペクトルσ ( T ) = {0} であるとき、準冪零 あるいは位相的に冪零であるという。

例

有限次元の場合、すなわちTが複素要素を持つ正方行列（冪零行列）である場合、σ ( T ) = {0} となるのは 、 Tが超対角要素のみを非零要素とする行列と相似な場合のみである^{[2] （この事実は}ジョルダン標準形の存在を証明するために用いられる）。これは、あるnに対してTn = 0となることと等価である^。したがって、行列の場合、準冪零性は冪零性と一致する。

Hが無限次元の場合にはこれは成り立たない。ボルテラ作用素を次のように定義する：単位正方形X = [0,1] × [0,1] ⊂ R ²とルベーグ測度 mを考える。X上で核関数 Kを次のように 定義する。

${\displaystyle K(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if}}\;x\geq y\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{matrix}}\right.}$

ヴォルテラ作用素は、ヒルベルト空間L ² (0,1) 上の対応する積分作用素 Tであり、

${\displaystyle Tf(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)dy.}$

演算子Tは冪零ではありません。f をあらゆる点で 1 となる関数とすると、直接計算により、 すべてのnに対してT ⁿ f ≠ 0 ( L ²の意味で)となります。しかし、Tは準冪零です。まず、 KはL ² ( X , m )に含まれるため、 Tはコンパクトです。コンパクト演算子のスペクトル特性により、 σ ( T )内の任意の非ゼロλは固有値です。しかし、 T には非ゼロの固有値は存在しないことが示され、したがってTは準冪零です。

参考文献

1. Kreyszig, Erwin (1989). 「ノルム空間におけるスペクトル理論 7.5 スペクトル理論における複素解析の利用、問題1. (べき零演算子)」.関数解析入門とその応用. Wiley. p. 393.
2. Axler, Sheldon . 「冪零演算子」（PDF） .線形代数を正しく理解する.