ニルセミグループ

数学、より正確には半群論において、冪半群または冪零半群は、すべての要素が冪零である半群です。

定義

正式には、半群Sがニル半群である場合:

• Sには0が含まれ、
• 各要素a ∈ Sに対して、 a ^k = 0となる正の整数kが存在する。

有限ニル半群

有限半群にも同等の定義が存在する。有限半群Sが冪零であるとは、次式が成立する場合である。

• ${\displaystyle x_{1}\dots x_{n}=y_{1}\dots y_{n}}$ 各 に対して、 はSの基数です。${\displaystyle x_{i},y_{i}\in S}$ ${\displaystyle n}$
• ゼロはSの唯一のべき等性です。

例

単一要素の自明な半群は、自明にニル半群です。

厳密に上三角行列の集合は、行列乗算によりべき乗零になります。

正の実数の有界区間をx , yがIに属する場合、と定義します。ここで、が零点をnとする零半群であることを示します。任意の自然数kについて、kxは に等しいです。kがに少なくとも等しい場合、kx はn に等しいです。この例は、アルキメデスの順序付き半群の任意の有界区間に対して一般化されます。 ${\displaystyle I_{n}=[a,n]}$ ${\displaystyle x\star _{n}y}$ ${\displaystyle \min(x+y,n)}$ ${\displaystyle \langle I,\star _{n}\rangle }$ ${\displaystyle \min(kx,n)}$ ${\displaystyle \left\lceil {\frac {nx}{x}}\right\rceil }$

プロパティ

非自明なニル半群は単位元を含まない。したがって、唯一の冪零モノイドは自明なモノイドである。

ニル半群のクラスは次の通りです。

• 準準グループを採択して閉鎖
• 商を取ることで閉じる
• 有限積の下で閉じている
• しかし、任意の直積に関して閉じていません。実際、半群 （は上で定義されています）を取ります。半群Sは零半群の直積ですが、冪零元を含みません。${\displaystyle S=\prod _{i\in \mathbb {N} }\langle I_{n},\star _{n}\rangle }$ ${\displaystyle \langle I_{n},\star _{n}\rangle }$

したがって、ニル半群のクラスは普遍代数の多様体ではない。しかし、有限ニル半群の集合は有限半群の多様体である。有限ニル半群の多様体は、有限等式によって定義される。 ${\displaystyle x^{\omega }y=x^{\omega }=yx^{\omega }}$

参考文献

• Pin, Jean-Éric (2018-06-15).オートマトン理論の数学的基礎(PDF) . p. 198.
• ペンシルベニア州グリレット (1995)。セミグループ。CRC を押します。 p. 110.ISBN​ 978-0-8247-9662-4。