デーン飛行機

幾何学において、マックス・デーンは、半ユークリッド幾何学と非レジェンド幾何学という2つの平面の例を紹介した。これらは、与えられた1本の直線に平行で与えられた点を通る直線が無限本あるが、三角形の内角の和は少なくともπであるような幾何学である。同様の現象は双曲幾何学でも起こるが、三角形の内角の和はπ未満である。デーンの例は非アルキメデス体を使用しているため、アルキメデスの公理は満たされない。これらはマックス・デーン（1900）によって紹介され、ヒルベルト（1902、pp. 127–130、または後の版ではpp. 42–43）によって論じられた。

デーンの非アルキメデス体 Ω(t）

デーンはその幾何学を構築するために、非アルキメデス的順序付けされたピタゴラス体Ω( t )を使用した。これは有理関数体R ( t ) のピタゴラス閉包であり、実定数、恒等関数t (任意の実数をそれ自身に取る)を含む実数値関数の最小の実数体から成り、演算 に関して閉じている。体 Ω( t ) は、十分に大きな実数に対して関数x がyよりも大きい場合、 x  >  yとすることで順序付けられる。Ω ( t ) の元xは、ある整数m、nに対してm  <  x  <  nの場合に有限と呼ばれ、それ以外の場合は無限と呼ばれる。 ${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$

デーンの半ユークリッド幾何学

すべてのペア（ x ​​、  y）の集合。xとyは体Ω( t )の任意の（無限個の場合もある）元であり、通常の計量

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

Ω( t )に値をとるこのモデルは、ユークリッド幾何学のモデルを与えます。このモデルでは平行線公理は成り立ちますが、垂線からの偏差が無限小（つまり、任意の正の有理数より小さい）の場合、交差する直線は平面の有限部分にない点で交差します。したがって、モデルを平面の有限部分（xとyが有限である点 ( x , y )）に制限すると、平行線公理は成り立たないものの三角形の角度の合計がπである幾何学が得られます。これがデーンの半ユークリッド幾何学です。これは Rucker（1982、pp. 91–2）で説明されています。

デーンの非レジェンド幾何学

同論文で、デーンは、ある点を通り他の直線と交わらない直線が無限に存在するが、三角形の角度の和がπ を超える、非レジェンドリアン幾何学の例も構築した。 Ω( t ) 上のリーマンの楕円幾何学は、Ω( t )上の射影平面で構成され、これは「無限遠直線」とともに点のアフィン平面 ( x : y :1)と同一視でき、任意の三角形の角度の和がπよりも大きいという性質を持つ。非レジェンドリアン幾何学は、txとtyが有限であるようなこのアフィン部分空間の点 ( x : y :1) で構成される(ただし、上記のようにtは恒等関数によって表されるΩ( t )の要素である)。ルジャンドルの定理は三角形の角度の和は最大でもπであると述べているが、アルキメデスの公理を前提としており、デーンの例はアルキメデスの公理を放棄すればルジャンドルの定理が成立する必要はないことを示している。

参考文献

• Dehn、Max (1900)、「Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck」、Mathematische Annalen、53 (3): 404–439、doi :10.1007/BF01448980、ISSN  0025-5831、JFM  31.0471.01、S2CID  122651688
• ヒルベルト、デイヴィッド（1902）『幾何学の基礎』（PDF）、The Open Court Publishing Co.、イリノイ州ラサール、MR  0116216
• ラッカー、ルディ（1982）『無限と心　無限の科学と哲学』ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー、ISBN 3-7643-3034-1、MR  0658492